Aufgaben zur Ableitung 1 – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Ableitung mit Differentialquotient berechnen
BearbeitenAufgaben zum Kapitel Ableitung und Differenzierbarkeit
BearbeitenAufgabe (Differenzierbare Potenzfunktion)
Zeige, dass die Potenzfunktion an der Stelle differenzierbar ist, und berechne dort die Ableitung. Wie lautet die Ableitung von an einer beliebigen Stelle ?
Lösung (Differenzierbare Potenzfunktion)
Der Differentialquotient von an der Stelle lautet
Also ist an der Stelle differenzierbar, mit Ableitung . Für ein allgemeines gilt
Aufgabe (Ableitung einer Produkt-Funktion)
Sei definiert durch
Bestimme .
Lösung (Ableitung einer Produkt-Funktion)
Es gilt
Dabei haben wir bei benutzt, dass stetig ist als Produkt der stetigen Funktionen für .
Aufgabe (Ableitung einer Funktion mit Fallunterscheidung)
Untersuche, ob die folgenden Funktionen in differenzierbar sind.
Lösung (Ableitung einer Funktion mit Fallunterscheidung)
Teilaufgabe 1: Da , genau wie , für sehr schnell zwischen und osziliert, ist zu erwarten, dass in nicht stetig ist. Dazu betrachten wir die Nullfolgen und . Für diese gilt
und
Also existiert nicht. Nach dem Folgenkriterium ist daher im Nullpunkt nicht stetig, und damit auch nicht differenzierbar.
Teilaufgabe 2: Die Funktion ist nach dem Folgenkriterium, wegen , im Nullpunkt stetig. Also betrachten wir den Differentialquotienten. Für diesen gilt
In Teilaufgabe 1 hatten wir gezeigt, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Damit ist auch in null nicht differenzierbar.
Aufgabe (Kriterium für Nicht-Differenzierbarkeit einer allgemeinen Funktion in null)
Sei . Zeige: Gilt für ein und , so ist in null nicht differenzierbar.
Lösung (Kriterium für Nicht-Differenzierbarkeit einer allgemeinen Funktion in null)
Es gilt
Daher existiert nicht.
Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)
Sei in differenzierbar. Zeige die folgenden Grenzwerte
- für
Wie kommt man auf den Beweis? (Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)
Da in differenzierbar ist, gilt
Außerdem wissen wir aus den Aufgaben im Kapitel Ableitung und Differenzierbarkeit, dass gilt
Die Idee ist es nun die Grenzwerte so umzuformen, dass wir sie mit Hilfe der Differentialquotienten berechnen können.
Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)
Teilaufgabe 1: Wegen gilt auch . Damit ist
Teilaufgabe 2: Mit und gilt auch und . Daher ist
Teilaufgabe 3: Hier benötigen wir den „ursprünglichen“ Differenrentialquotienten . Mit diesem gilt
Aufgabe (Folgerung aus Differenzierbarkeit)
Sei in differenzierbar. Weiter seien und Folgen mit für alle , sowie . Zeige: Dann gilt
Zusatzfrage: Gilt auch die umgekehrte Aussage: Existiert der Grenzwert mit Folgen und wie oben, so ist in differenzierbar, und ist gleich diesem Grenzwert.
Hinweis: Zeige zunächst
Lösung (Folgerung aus Differenzierbarkeit)
Es gilt
Da nun das Produkt aus einer beschränkten Folge und einer Nullfolge gegen null konvergiert, gilt mit den Rechenregeln für Folgen
Zur Zusatzfrage: Die Umkehrung ist falsch. Betrachten wir die in nicht stetige (und damit nicht differenzierbare) Funktion
Dann gilt für alle Nullfolgen und mit :
Aufgaben zum Kapitel Beispiele von Ableitungen
BearbeitenAufgabe (Ableitung von linearen und quadraischen Funktionen)
Bestimme direkt mit der Definition die Ableitung einer linearen Funktion
und einer quadratischen Funktion
mit .
Lösung (Ableitung von linearen und quadraischen Funktionen)
1. Lineare Funktion: Für gilt
2. Quadratische Funktion: Für gilt
Aufgabe (Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion)
Berechne die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
direkt mit Hilfe des Differentialquotienten.
Lösung (Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion)
1.Möglichkeit: Standardmethode
Für gilt
Nun gilt für die Ungleichung
Vertauschen wir die Rollen von und , so gilt
Da nun die linke und die rechte Seite der Ungleichung für gegen konvergieren, folgt aus dem Einschnürungssatz
2.Möglichkeit: -Methode
Für gilt
Aufgabe (Berechnung der Ableitung der hyperbolischen Funktionen und )
Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen mithilfe des Differentialquotienten
Lösung (Berechnung der Ableitung der hyperbolischen Funktionen und )
Teilaufgabe 1: Sei . Dann gilt
Alternativer Beweis:
Teilaufgabe 2: Sei . Dann gilt
Alternativer Beweis:
Teilaufgabe 3: Sei . Dann gilt
Damit ist
Alternativer Beweis:
Rechengesetze für Ableitungen
BearbeitenAnwenden der Rechengesetze
BearbeitenAufgabe (Ableitungen der Potenzfunktion)
Zeige mittels vollständiger Induktion über , das die Potenzfunktion
differenzierbar ist mit
Beweis (Ableitungen der Potenzfunktion)
Induktionsanfang:
Ist , dann gilt
Induktionsvoraussetzung:
Ist für ein , dann gilt
Induktionsschritt:
Sei . Dann ist nach der Induktionsvoraussetzung mit der Produktregel differenzierbar, und für gilt
Aufgabe (Ableitungen von Sekans und Kosekans)
Die Funktionen (Sekans) und (Kosekans) sind folgendermaßen definiert
sowie
Bestimme deren Definitionsbereich und Ableitungen auf diesen.
Lösung (Ableitungen von Sekans und Kosekans)
Teilaufgabe 1: Sekans
Definitionsbereich: definiert
Ableitung: Da auf differenzierbar ist, gilt mit der Kettenregel
Teilaufgabe 2: Kosekans
Definitionsbereich: definiert
Ableitung: Da auf differenzierbar ist, gilt mit der Kettenregel
Aufgabe (Berechnung von Ableitungen)
Bestimme den Definitionsbereich der folgenden Funktionen, sowie deren Ableitungen
Lösung (Berechnung von Ableitungen)
Teilaufgabe 1:
Definitionsbereich:
Ableitung: Für gilt mit der Produktregel
Teilaufgabe 2:
Definitionsbereich: , denn
Ableitung: Für gilt mit der Kettenregel
Teilaufgabe 3:
Definitionsbereich:
Ableitung: Für gilt mit der Ketten- und Produktregel
Teilaufgabe 4:
Definitionsbereich: , denn es muss gelten
Ableitung: Für gilt mit der Quotientenregel
Teilaufgabe 5:
Definitionsbereich:
Ableitung:
Für gilt
Für gilt
Weiter gilt
sowie
Daher ist
Fassen wir die drei Fälle zusammen, so ergibt sich für
Aufgabe (Ableitungen von Exponentialfunktionen)
Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen auf deren Definitionsbereich ()
Bei der Funktion darf die Klammer auch weggelassen werden, da allgemein definiert ist.
Lösung (Ableitungen von Exponentialfunktionen)
Teilaufgabe 1: Es gilt . ist differenzierbar mit . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt
Teilaufgabe 2: Es gilt . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt
Teilaufgabe 3: Es gilt . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt
Teilaufgabe 4: Es gilt . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt
Teilaufgabe 5: Es gilt . ist differenzierbar mit . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt
Aufgabe (Beweis von Summenformeln mit Ableitung)
Beweise mittels des binomischen Lehrsatzes für alle die Formeln
Setze im binomischen Lehrsatz und bilde die Ableitung auf beiden Seiten.
Beweis (Beweis von Summenformeln mit Ableitung)
Für lautet der binomische Lehrsatz
für und . Nun ist die linke Seite der Gleichung ein Polynom und die rechte Seite eine Potenzfunktion . Beide Seiten sind daher auf differenzierbar mit
und
Wegen gilt auch . Insbesondere sind also
und
Aufgabe (Logarithmische Ableitungen berechnen)
Bestimme die logarithmische Ableitung der folgenden Funktionen
- mit
Beweis von Rechengesetzen
BearbeitenAufgabe (Alternativer Beweis der Produktregel)
Beweise für differenzierbare die Produktregel
unter Verwendung der Kettenregel.
Hinweis: Es gilt:
Beweis (Alternativer Beweis der Produktregel)
Die Funktion ist differenzierbar auf mit
Nach der Kettenregel ist daher differenzierbar mit
für alle . Unter Verwendung des Hinweises folgt daraus mit der Faktor- und Summenregel
Aufgabe (Sonderfall der Kettenregel)
Leite eine allgemeine Ableitungsformel für die folgende Funktion her:
Falls differenzierbar sind.
Lösung (Sonderfall der Kettenregel)
Es gilt
mit und für alle . ist nach der Produktregel differenzierbar mit
Mit der Kettenregel ist auch differenzierbar, und es gilt
Satz (Rechenregeln für logarithmische Ableitung)
Für zwei differenzierbare Funktionen und ohne Nullstellen gilt
- für und
- für und