Aufgaben zur Ableitung 2 – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Ableitung der Umkehrfunktion Bearbeiten
Aufgabe (Ableitung der Umkehrfunktion)
Betrachte die Funktion
Begründe, dass die folgenden Ableitungen und Grenzwerte existieren, und berechne sie:
- und
- und
Lösung (Ableitung der Umkehrfunktion)
Teilaufgabe 1:
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von
ist auf differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung
Damit ist .
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von
ist auf differenzierbar als Summe der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung
Weiter ist , da für . Also ist nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist bijektiv. Weiter ist , also , und es gilt . Damit ist in differenzierbar mit
Teilaufgabe 2:
Beweisschritt: Berechnung von
Es gilt
Damit ist
Beweisschritt: Berechnung von
Es gilt . Nach dem Zwischenwertsatz ist daher bijektiv. Für alle ist somit
Damit folgt
Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion Bearbeiten
Aufgabe (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)
Zeige, dass die allgemeine Exponentialfunktion
zur Basis bijektiv und differenzierbar auf ist. Zeige weiter, dass die Umkehrfunktion
auf ganz differenzierbar ist mit der Ableitung .
Lösung (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)
Beweisschritt: ist bijektiv und differenzierbar
Fall 1:
ist stetig auf als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen , und :
sowie
Nach dem Zwischenwertsatz ist somit und daher surjektiv. Außerdem ist differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und
für alle . Nach dem Monotoniekriterium ist streng monoton steigend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von gezeigt.
Fall 2:
ist stetig auf als Komposition stetiger Funktionen. Weiter gilt, wegen , und :
sowie
Nach dem Zwischenwertsatz ist somit und daher surjektiv. Außerdem ist differenzierbar nach der Kettenregel als Komposition differenzierbarer Funktionen, und
für alle . Nach dem Monotoniekriterium ist streng monoton fallend, und damit injektiv. Also haben wir die Bijektivität von gezeigt.
Beweisschritt: existiert und ist differenzierbar
ist bijektiv auf und damit umkehrbar. Weiter gilt
Also ist
Da außerdem für alle ist, folgt aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion: auf differenzierbar ist, mit
Aufgabe (Ableitungen von und der Area-Funktionen)
Zeige, dass die Funktionen
differenzierbar sind, und bestimme deren Ableitung.
Beweis (Ableitungen von und der Area-Funktionen)
Differenzierbarkeit von :
Für die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton fallend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Differenzierbarkeit von :
Die Sinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Differenzierbarkeit von :
Die Cosinus Hyperbolicusfunktion ist differenzierbar mit auf . Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Differenzierbarkeit von :
Für die Cotangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist . Also ist bijektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für gilt:
Aufgabe (Nicht differenzierbare Funktionen in null)
Sei . Zeige:
- Sind mit und gelte für alle . Dann sind und im Nullpunkt nicht gleichzeitig differenzierbar.
- Sind , und sei in null differenzierbar. Weiter gelte und für alle . Dann ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Lösung (Nicht differenzierbare Funktionen in null)
Teilaufgabe 1: Angenommen und sind in null differenzierbar, dann ist nach der Produktregel auch in null differenzierbar, und aus folgt für alle :
Also können und in null nicht beide differenzierbar sein.
Teilaufgabe 2: Angenommen ist in null differenzierbar, dann ist nach der Kettenregel auch in null differenzierbar, und aus folgt für alle :
Also kann in null nicht differenzierbar sein.
Ableitungen höherer Ordnung Bearbeiten
Aufgabe 1 Bearbeiten
Aufgabe (Beliebig oft differenzierbare Funktion)
Zeige, dass die Funktion beliebig oft differenzierbar ist, wobei für alle gilt:
Beweis (Beliebig oft differenzierbare Funktion)
Wir beweisen die Aufgabe mittels vollständiger Induktion über :
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:
1. Induktionsanfang:
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
2b. Induktionsbehauptung:
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Aufgabe 2 Bearbeiten
Aufgabe (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)
Gib jeweils ein Beispiel einer
- Funktion
- differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren Funktion auf
- Funktion
Lösung (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)
Lösung Teilaufgabe 1:
Lösung Teilaufgabe 2:
Lösung Teilaufgabe 3:
Lösung Teilaufgabe 4:
Hinweis
Führen wir die Konstruktion der Funktionen sukzessive fort, so ist für alle , falls
Aufgabe 3 Bearbeiten
Aufgabe (Anwendung der Leibniz-Regel)
Bestimme mit Hilfe der Leibniz-Regel die folgenden Ableitungen
- für
Lösung (Anwendung der Leibniz-Regel)
Lösung Teilaufgabe 1:
Die Funktionen und sind aúf beliebig oft differenzierbar. Daher gilt
Lösung Teilaufgabe 2:
Die Funktionen und sind aúf beliebig oft differenzierbar. Daher gilt