Lösung (Ableitung der Umkehrfunktion)
Teilaufgabe 1:
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von 
Beweisschritt: Existenz und Berechnung von 
Teilaufgabe 2:
Beweisschritt: Berechnung von 
Es gilt
Damit ist
Beweisschritt: Berechnung von 
Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion
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Aufgabe (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)
Zeige, dass die allgemeine Exponentialfunktion
zur Basis
bijektiv und differenzierbar auf
ist. Zeige weiter, dass die Umkehrfunktion
auf ganz
differenzierbar ist mit der Ableitung
.
Lösung (Ableitung der allgemeinen Logarithmusfunktion)
Beweisschritt:
ist bijektiv und differenzierbar
Fall 1: 
Fall 2: 
Beweisschritt:
existiert und ist differenzierbar
Aufgabe (Ableitungen von
und der Area-Funktionen)
Zeige, dass die Funktionen




differenzierbar sind, und bestimme deren Ableitung.
Beweis (Ableitungen von
und der Area-Funktionen)
Differenzierbarkeit von
:
Für die Cotangensfunktion
gilt:
. Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton fallend, und damit injektiv. Weiter ist
. Also ist
bijektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für
gilt:
Differenzierbarkeit von
:
Die Sinus Hyperbolicusfunktion
ist differenzierbar mit
. Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist
. Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für
gilt:
Differenzierbarkeit von
:
Die Cosinus Hyperbolicusfunktion
ist differenzierbar mit
auf
. Also ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist
. Also ist sie auch surjektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für
gilt:
Differenzierbarkeit von
:
Für die Cotangensfunktion
gilt:
. Also ist die Funktion streng monoton steigend, und damit injektiv. Weiter ist
. Also ist
bijektiv. Die Umkehrfunktion
ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für
gilt:
Aufgabe (Nicht differenzierbare Funktionen in null)
Sei
. Zeige:
- Sind
mit
und gelte
für alle
. Dann sind
und
im Nullpunkt nicht gleichzeitig differenzierbar.
- Sind
, und sei
in null differenzierbar. Weiter gelte
und
für alle
. Dann ist
im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Aufgabe (Beliebig oft differenzierbare Funktion)
Zeige, dass die Funktion
beliebig oft differenzierbar ist, wobei für alle
gilt:
Beweis (Beliebig oft differenzierbare Funktion)
Wir beweisen die Aufgabe mittels vollständiger Induktion über
:
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für
bewiesen werden soll:
1. Induktionsanfang:
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
2b. Induktionsbehauptung:
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Aufgabe (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)
Gib jeweils ein Beispiel einer
- Funktion

- differenzierbaren, aber nicht stetig differenzierbaren Funktion auf

- Funktion

Lösung (Genau ein-, zwei- und dreimal differenzierbare Funktionen)
Lösung Teilaufgabe 1:

oder

oder
Lösung Teilaufgabe 2:

oder
Lösung Teilaufgabe 3:

oder

oder
Lösung Teilaufgabe 4:

oder

oder
Hinweis
Führen wir die Konstruktion der Funktionen sukzessive fort, so ist
für alle
, falls

oder

oder
Aufgabe (Anwendung der Leibniz-Regel)
Bestimme mit Hilfe der Leibniz-Regel die folgenden Ableitungen

für 
Lösung (Anwendung der Leibniz-Regel)