Aufgabe
Gibt es ein , so dass zwei verschiedene Nullstellen in hat?
Lösung
Angenommen es gibt ein , so dass zwei Nullstellen hat. Da stetig auf und differenzierbar auf ist, gibt es nach dem Satz von Rolle ein mit . Nun gilt aber für jedes : . Also kann keine zwei Nullstellen haben.
Beweis
ist stetig auf und . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher ein mit .
Weiter ist stetig auf , differenzierbar auf und . Nach dem Satz von Rolle gibt es daher ein mit . Also hat mindestens eine Nullstelle (auf ).
Aufgabe (Nützliche Ungleichung 1)
Zeige: Für alle gilt
Lösung (Nützliche Ungleichung 1)
Beweisschritt:
Fall 1:
Wir definieren durch . Dann ist stetig, und auf differenzierbar. Damit ist der Mittelwertsatz anwendbar, und es existiert ein mit
Wegen ist nun
Fall 2:
Hier gilt , also Gleichheit.
Fall 3:
Wieder gibt es nach dem Mittelwertsatz ein mit
Also gilt für alle
Beweisschritt:
Hier zeigen wir nur den Fall :
Wir definieren wieder . Dann ist stetig, und auf differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein mit
Für gilt wieder Gleichheit, und für folgt die Aussage analog mit dem Mittelwertsatz.
Hinweis
Aus der ersten Ungleichung lässt sich durch den Übergang zu für noch die Ungleichung
folgern.
Aufgabe (Nützliche Ungleichung 2)
Zeige: Für gilt
Lösung (Nützliche Ungleichung 2)
Beweisschritt:
Sei . Dann ist die Sinusfunktion auf stetig und auf differenzierbar. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein mit
Nun ist aber für . Damit folgt
Beweisschritt:
Sei . Dann ist die Tangesfunktion auf stetig und auf differenzierbar. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein mit
Nun ist aber für . Damit folgt
Hinweis
Die Ungleichung lässt sich für alle noch erweitern zu
Wobei Gleichheit nur in gegeben ist.
Aufgabe (Folgerung des Mittelwertsatzes)
Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
Seien auf stetig und auf differenzierbar. Außerdem gelte und auf . Dann gilt: auf .
Als Anwendung: Zeige die folgende Verallgemeinerung der Bernoulli-Ungleichung: Für und alle gilt
Beweis (Folgerung des Mittelwertsatzes)
Wir betrachten die Hilfsfunktion
Diese ist stetig und differenzierbar auf . Weiter gilt
- für alle
1. Möglichkeit: Mit Mittelwertsatz
Nach dem Mittelwertsatz gibt es für alle ein mit
für alle
2. Möglichkeit: Mit Monotoniekriterium
Aus 1. folgt, dass monoton steigend auf (sogar ) ist.
für alle
für alle
3. Möglichkeit: Mit HDI
Nach Voraussetzung ist integrierbar und wegen der Monotonie des Integrals gilt für alle :
Nun ist aber nach dem HDI
Zur Anwendungsaufgabe: Wir definieren
und
Dann sind und auf stetig und auf differenzierbar mit
und
Weiterhin ist . Da die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, gilt außerdem für alle :
Mit der bewiesenen Aussage folgt daher für alle :
Hinweis
Die verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung lässt sich sogar für alle zeigen. Dabei gilt Gleichheit nur im Fall .
Lösung (Mittelwertsatz für stetig differenzierbare Funktionen)
Wir betrachten eine beliebige Funktion mit den angegebenen Eigenschaften und deren Sekante durch die Punkte und . Die Steigung der Sekante ist gegeben durch den Differenzenquotienten . Als nächstes sehen wir uns die Steigung des Graphen, also die Ableitungswerte der Funktion, im Intervall an.
Fall 1: Der Funktionsgraph ist eine Gerade.
Dann ist die Ableitungsfunktion konstant und folglich gilt für alle .
Fall 2: Der Funktionsgraph ist keine Gerade.
Dann muss ein existieren mit oder , damit keine Gerade als Funktionsgraphen hat. Daraus wiederum folgt, dass ein existiert mit oder , da der Graph bei sonst nie den Funktionswert annehmen kann. Insgesamt existieren also mit . Nach dem Zwischenwertsatz, der hier auf die Ableitungsfunktion anwendbar ist weil sie stetig ist, gibt es nun ein mit .
Also gibt es in jedem Fall ein mit .
Aufgabe (Unbeschränkte Ableitung und gleichmäßige Stetigkeit)
Sei eine differenzierbare Funktion mit . Beweise, dass dann keine gleichmäßig stetige Funktion ist.
Aufgabe (Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes)
Seien differenzierbar. Weiter gelte für alle . Zeige, dass dann auch
für alle gilt.
Beweis (Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes)
Seien beliebig mit . Dann sind und nach Voraussetzung auf stetig und auf differenzierbar. Dann gibt es mit dem zweiten Mittelwertsatz ein mit
Da nach Voraussetzung für alle gilt, ist .
Daraus folgt
Aufgabe (Lipschitz-Stetigkeit von Funktionen)
Zeige, mit Hilfe des Schrankensatzes, dass die folgenden Funktionen Lipschitz-stetig sind. Bestimme außerdem geeignete Lipschitz-Konstanten.
Lösung (Lipschitz-Stetigkeit von Funktionen)
Teilaufgabe 1: Für alle gilt
Also hat eine beschränkte Ableitung, und ist mit dem Schrankensatz daher Lipschitz-stetig. Weiter gilt für alle
Daher ist eine geeignete Lipschitz-Konstante.
Teilaufgabe 2: Hier ist für alle :
Also ist mit dem Schrankensatz ebenfalls Lipschitz-stetig. Außerdem gilt für alle
Daher ist hier eine geeignete Lipschitz-Konstante.
Teilaufgabe 3: schließlich gilt für alle :
Also ist auch mit dem Schrankensatz Lipschitz-stetig, und für alle gilt
Daher ist eine geeignete Lipschitz-Konstante.
Aufgabe (Variante des Schrankensatzes)
Sei eine stetige Funktion, die auf differenzierbar ist. Seien zwei beliebige reelle Zahlen, so dass für alle ist. Beweise, dass für alle die folgende Abschätzung erfüllt ist:
Beweis (Variante des Schrankensatzes)
Sei eine stetige Funktion mit der Eigenschaften der Aufgabenstellung. Sei beliebig. Ist so ist und , so dass obige Abschätzung erfüllt ist. Sei also im Folgenden .
Beweisschritt:
Widerspruchsbeweis: Sei . So ist . Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, dass es ein mit gibt. Somit ist im Widerspruch zu für alle .
Beweisschritt:
Widerspruchsbeweis: Sei . So ist . Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, dass es ein mit gibt. Somit ist im Widerspruch zu für alle .
Beweis (Lokale Lipschitz-Stetigkeit)
Sei eine stetig differenzierbare Funktion, wobei offen ist. Sei beliebig. Da offen ist, gibt es ein , so dass ist. Wähle . Dann ist . Da stetig ist, ist auf eine beschränkte Funktion.
Nun haben wir bereits bewiesen, dass differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung Lipschitz-stetig sind. Damit ist auf und damit auch auf Lipschitz-stetig.