Aufgaben zur Ableitung 4 – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Kriterium für KonstanzBearbeiten

Aufgabe (Einfache Anwendung)

Seien   und  . Für die Funktion   gelte

 

für alle  . Zeige: Dann ist   konstant.

Lösung (Einfache Anwendung)

Mit der Voraussetzung gilt

 

Weiter ist  , da   ist. Mit dem Einschnürungssatz folgt daraus

 

für alle  . Aus den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir daraus für den Differentialquotienten

 

für alle  . Daher ist   konstant.

Aufgabe (Beweis von Identitäten)

Zeige

  1.  
  2.   für alle  

Beweis (Beweis von Identitäten)

Teilaufgabe 1: Die Funktion

 

ist nach der Ketten- und Differenzenregel differenzierbar mit

 

Also ist   konstant. Da weiter gilt

 

folgt  .

Teilaufgabe 2:

 

ist nach der Summenregel differenzierbar, da die Arcus-Funktionen differenzierbar sind. Weiter gilt

 

Damit ist   konstant. Außerdem gilt

 

da   und   ist. Also ist   und es folgt die Behauptung.

Aufgabe (Logarithmus-Darstellungen von   und  )

Zeige

  1.   für  
  2.   für  

Beweis (Logarithmus-Darstellungen von   und  )

Teilaufgabe 1:

Die Funktion   ist nach den Beispielen für Ableitungen differenzierbar, mit

 

Nach der Ketten- und Summenregel ist auch   differenzierbar, mit

 

Nach dem Identitätssatz ist daher  . Nun ist aber

 

wegen  , sowie

 

Also ist  , und damit  .

Teilaufgabe 2:

  ist ebenfalls differenzierbar, mit

 

Nach der Faktor-, Ketten- und Quotientenregel ist auch   differenzierbar, mit

 

Nach dem Identitätssatz ist daher  . Wegen

 

wegen  , sowie

 

ist wieder  , und damit  .

Aufgabe (Erweiterung des Identitätsatzes der Differentialrechnung)

Seien   zweimal differenzierbar mit  . Dann unterscheiden sich   und   nur durch eine lineare Funktion   mit  .

Lösung (Erweiterung des Identitätsatzes der Differentialrechnung)

Wegen   gibt es nach dem Identitässatz ein   mit

 

Setzen wir nun  , dann gilt

 

Wieder mit dem Identitätssatz gibt es daher ein   mit

 

Aufgabe (Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung)

Seien   differenzierbar und  . Weiter gelte

 

Zeige:

  1.   und   erfüllen die Differentialgleichungen.
  2. Genügen zwei Funktionen   und   den Differentialgleichungen, so gilt   und  .
  3. Ist außerdem   und gilt   und  , so ist   und  .

Hinweis zu Teil 2: Betrachte   und   für Funktionen   und   die die Differentialgleichungen erfüllen.

Beweis (Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung)

Teilaufgabe 1: Es gilt

 

und

 

Also erfüllen   und   die Differentialgleichungen.

Teilaufgabe 2:Wir definieren wie im Hinweis die Hilfsfunktionen

 

Diese sind nach der Produkt-, Summen- und Differenzenregel ableitbar mit

 

und

 

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher

 

mit  . Weiter gilt

 

Also ist   und  .

Teilaufgabe 3: Gilt weiter   und

 

so ist

 

Hinweis

Wegen   und analog   genügen   und   beide der Differentialgleichung   (bzw.  ).

MonotoniekriteriumBearbeiten

Aufgabe (Monotonie Exponentialfunktion)

Zeige mit Hilfe des Monotoniekriteriums die folgenden Aussagen:

  1. Für alle   gilt  
  2.   ist streng monoton steigend.

Hinweis: Benutze 1. zum Beweis von 2.

Lösung (Monotonie Exponentialfunktion)

Teilaufgabe 1: Für die differenzierbare Hilfsfunktion   gilt

 

Also ist   nach dem Monotoniekriterium streng monoton fallend. Weiter ist

 
Graph der Funktion  
 

und

 

Da   stetig und streng monoton fallend ist muss nun   gelten.

Teilaufgabe 2:

Es gilt  . Da   streng monoton steigend ist, ist   genau dann streng monoton steigend, wenn die „innere Funktion“   streng monoton steigend ist. Diese ist auf   mit der Produktregel differenzierbar, und es gilt

 

Nach dem Monotoniekriterium ist  , und damit auch   streng monoton steigend.

Aufgabe (Bedingung für Monotonie einer kubischen Funktion)

Seien  . Gibt Bedingungen an   an, dass

 

auf ganz   streng monoton steigend ist.

Hinweis: Unterscheide die Fälle  ,   und  

Lösung (Bedingung für Monotonie einer kubischen Funktion)

Damit   auf ganz   streng monoton steigend, muss nach dem Monotoniekriterium

 

für alle   gelten.

Fall 1:  

Dann ist  . Damit   streng monoton steigend ist, muss gelten  . Für   ist dies aber niemals für alle   möglich.

Ist hingegen  , so gilt  . Also ist   für   und   streng monoton steigend.

Fall 2:  

Mit Hilfe von quadratischer Ergänzung erhalten wir

 

Damit ist   streng monoton steigend, wenn gilt

 

Dies ist für alle   genau dann erfüllt, wenn die rechte Seite   negativ ist. Dies ist genau für

 

der Fall.   ist daher für   und   streng monoton steigend.

Fall 3:  

Hier gilt

 

Dies ist jedoch niemals für alle   erfüllt. Also ist in diesem Fall   niemals streng monoton wachsend.

Hinweis

Ebenso können wir zeigen, dass   in den Fällen   und  , sowie   und   streng monoton fallend ist.

Aufgabe (Anwendung des Monotoniekriteriums)

Sei   differenzierbar mit  . Weiter gelte   für ein (festes)   und alle  . Zeige, dass gilt

  für alle  

Hinweis: Betrachte die Hilfsfunktion  .

Beweis (Anwendung des Monotoniekriteriums)

Wie im Hinweis angegeben betrachten wir

 

  ist nach der Produktregel differenzierbar mit

 

Nun ist   und nach Voraussetzung  . Also gilt

  für alle  

Nach dem Monotoniekriterium ist   monoton fallend. Da weiter gilt   folgt

  für alle  

Damit ist aber auch

  für alle  

Ableitung und ExtremaBearbeiten

Aufgabe (Extrema von Funktionen 1)

Untersuche, ob die folgenden Funktionen lokale/globale Extrema besitzen. Bestimme und charakterisiere diese gegebenenfalls.

  1.  
  2.  

Lösung (Extrema von Funktionen 1)

Teilaufgabe 1:

Teil 1: Lokale Extrema von  

  ist auf   nach der Quotientenregel differenzierbar mit

 

Nach dem hinreichenden Kriterium für die Existenz eines Extremums  , muss für dieses   gelten. Nun ist

 

Also sind   und   die Kandidaten für lokale Extrema in  . Nun gilt

 

Der Fall   und   ist nicht möglich. Damit ist   auf  

Weiter gilt

 

Also ist   auf   und auf  .

Nach dem hinreichenden Kriterium ist daher   ein (strenges) lokales Minimum und   ein (strenges) lokales Maximum von  .

Teil 2: Globale Extrema von  

Für globale Extrema müssen wir zunächst die Grenzwerte   und   bestimmen.

Wegen   und   gilt

 
Graph der Funktion  
 

Damit ist   nach oben unbeschränkt, und hat daher kein lokales Extremum. Weiter wächst für   jede Potenz von   schwächer als  . Also ist

 

(Da Zähler und Nenner positiv sind.) Nun ist  . Somit ist   ein globales Minimum von  .

Teilaufgabe 2:

Teil 1: Lokale Extrema von  

  ist auf   nach der Kettenregel differenzierbar mit

 
Graph der Funktion  
 

Da nun   und   gilt, ist  . Nach dem notwendigen Kriterium für Extrema besitzt   damit auf   keine lokalen Extrema.

Da   stetig auf   ist, folgt aus   für alle  , dass   auf   streng monoton fällt. Daher besitzt   in   ein lokales Maximum.

Teil 2: Globale Extrema von  

Mit dem gleichen Argument wie in Teil 1, folgt, dass   sogar ein globales Maximum von   ist.

Aufgabe (Extrema von Funktionen 2)

Untersuche, ob die folgenden Funktionen auf Steigkeit, Differenzierbarkeit und lokale/globale Extrema:

 

Lösung (Extrema von Funktionen 2)

Teil 1: Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Stetigkeit:

Auf   ist   stetig als Polynom und auf   ist   stetig als Komposition der stetigen Funktionen  ,   und  . In   gilt

 

Außerdem gilt wegen   und der Stetigkeit der Exponentialfunktion

 

Also ist   auch im Nullpunkt, und damit auf ganz   stetig.

Differenzierbarkeit:

Auf   ist   als Polynom differenzierbar mit

 

Auf   ist   nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar als Komposition der differenzierbaren Funktionen  ,   und  . Es gilt

 

In   gilt mit Hilfe der Regel von L'Hospital:

 

Also ist   im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Teil 2: Lokale und globale Extrema

Lokale Extrema:

Auf   gilt  . Also kann   dort keine lokalen Extrema haben.

Auf  hingegen ist

 

Also ist   der Kandidat für ein Extremum in  . Weiter ist

 

Damit hat   in   ein striktes lokales Minimum.

Nun müssen wir noch   untersuchen. Da   in dort nicht differenzierbar ist, sind unsere notwendigen und hinreichenden Kriterien nicht anwendbar. Es gilt allerdings

  für alle  

und

  für alle  

Damit ist   auf   streng monoton steigend, und auf   streng monoton fallend. Da   stetig in null ist, folgt daraus

  für alle  

Also hat   in   ein striktes lokales Maximum.

Globale Extrema:

Es gilt

 
Graph der Funktion  
 

und

 

Daher ist   nach oben und unten unbeschränkt, und besitzt keine globalen Extrema.

Aufgabe (Extrema von Funktionen 3)

Zeige, dass die Funktion

 

genau zwei lokale Extrema besitzt, und bestimme deren Art.

Lösung (Extrema von Funktionen 3)

Kandidaten für die Extremwerte ergeben sich nach unserer notwendigen Bedingung aus

 
 
Graph der Hilfsfunktion  

Da sich die Nullstellen von   nicht explizit berechnen lassen, müssen wir diese Funktion genauer untersuchen. Es gilt

  1.  
  2.  ,   und  

Wegen der Stetigkeit und 2. ist hat   mit dem Zwischenwertsatz (mindestens) zwei Nullstellen   und  .

Wegen 1. ist   streng monoton steigend auf   und streng monoton fallend auf  . Damit ist   jeweils injektiv auf   und   und hat damit genau die beiden Nullstellen   und  .

Für die Ableitung von   folgt nun

 

Nach unseren ersten hinreichendem Kriterium hat daher   ein striktes lokales Maximum in   und ein striktes lokales Minimum in  .

Grenzwerte mit L'Hospital berechnenBearbeiten

To-Do:
  • Im entsprechenden Kapitel oder in den Aufgaben sollte zu allen möglichen Typen ein Beispiel vorhanden sein:   ✓,   ✓,   ✓,  ,  ,   ✓,  , Weitere?, mehrfache Anwendung von L'Hospital

Aufgabe (L'Hospital 1)

Berechne die folgenden Grenzwerte:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   mit  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  

Lösung (L'Hospital 1)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

Hier ist die Regel von L'Hospital nicht anwendbar. Die Funktion   ist jedoch im Punkt   stetig, und daher gilt

 

Teilaufgabe 3:

 

Teilaufgabe 4:

Dieser Grenzwert existiert nicht. Zunächst lässt er sich zerlegen in

 

Für den linksseitigen Grenzwert gilt nun mit Teilaufgabe 1:

 

Analog gilt jedoch für den rechtsseitigen Grenzwert:

 

Also ist  , und damit existiert   nicht.

Teilaufgabe 5:

 

Teilaufgabe 6:

L'Hospital lässt sich hier anwenden, bringt jedoch nichts:

 

Stattdessen macht es hier Sinn, auf die Definitionen von   und   zurückzugreifen, und den Quotienten dann umzuformen:

 

Teilaufgabe 7:

L'Hospital lässt sich hier nicht anwenden, da der Zähler   für   uneigentlich divergiert. Stattdessen lässt sich der Bruch wie folgt abschätzen:

 

Mit dem Einschließungssatz folgt  .

Teilaufgabe 8:

 

Teilaufgabe 9:

 

Teilaufgabe 10:

 

Aufgabe (L'Hospital 2)

Berechne die folgenden Grenzwerte:

  1.  
  2.  
  3.   für  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.   für  

Lösung (L'Hospital 2)

Teilaufgabe 1:
 

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

Teilaufgabe 2:
 

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

Teilaufgabe 3:
 

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

Teilaufgabe 4:
 
Teilaufgabe 5:
 

Für den Ausdruck im Exponenten gilt nun

 

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

Wegen der Stetigkeit von   im Punkt   folgt nun

 

Teilaufgabe 6: Zunächst gilt: Existiert der Grenzwert  , so existiert auch der Folgengrenzwert  .

Weiter ist

 

Für den Ausdruck im Exponenten gilt

 

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

Wegen der Stetigkeit von   im Punkt   folgt nun

 

Mit der Vorbemerkung gilt auch  .

Teilaufgabe 7:
 

Für den Ausdruck im Exponenten gilt

 

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

Wegen der Stetigkeit von   im Punkt   folgt nun

 
Teilaufgabe 8:
 

Für den Ausdruck im Exponenten gilt

 

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

Wegen der Stetigkeit von   im Punkt   folgt nun

 
Teilaufgabe 9: