Aufgaben zu komplexen Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Real- und Imaginärteil

Aufgabe (Imaginär- und Realteil bestimmen)

Bestimme Realteil und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen:

1. $z_{1}=\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} \right)(2+3\mathrm {i} )$
2. $z_{2}={\frac {1+\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}$
3. $z_{3}={\frac {(4+2\mathrm {i} )(3-\mathrm {i} )}{\mathrm {i} (1+\mathrm {i} )}}$

Lösung (Imaginär- und Realteil bestimmen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Es ist

${\begin{aligned}z_{1}&=\left(1-{\frac {1}{2}}\mathrm {i} \right)(2+3\mathrm {i} )=2-\mathrm {i} +3\mathrm {i} -{\tfrac {3}{2}}\cdot \underbrace {\mathrm {i} ^{2}} _{=-1}\\&=2-\mathrm {i} +3\mathrm {i} +{\tfrac {3}{2}}={\tfrac {7}{2}}+2\mathrm {i} \end{aligned}}$

Damit ist ${\text{Re}}(z_{1})={\tfrac {7}{2}}$ und ${\text{Im}}(z_{1})=2$.

Lösung Teilaufgabe 2:

Es ist

${\begin{aligned}z_{2}={\frac {1+\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}={\frac {(1+\mathrm {i} )^{2}}{(1+\mathrm {i} )(1-\mathrm {i} )}}={\frac {1+2\mathrm {i} +\mathrm {i} ^{2}}{1-\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {2\mathrm {i} }{2}}=\mathrm {i} \end{aligned}}$

Damit ist ${\text{Re}}(z_{2})=0$ und ${\text{Im}}(z_{2})=1$.

Lösung Teilaufgabe 3:

Es ist

${\begin{aligned}z_{3}&={\frac {(4+2\mathrm {i} )(3-\mathrm {i} )}{\mathrm {i} (1+\mathrm {i} )}}={\frac {12+6\mathrm {i} -4\mathrm {i} -2\mathrm {i} ^{2}}{\mathrm {i} +\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {14+2\mathrm {i} }{\mathrm {i} -1}}\\[0.5em]&={\frac {(14+2\mathrm {i} )(\mathrm {i} +1)}{(\mathrm {i} -1)(\mathrm {i} +1)}}={\frac {14+14\mathrm {i} +2\mathrm {i} +2\mathrm {i} ^{2}}{\mathrm {i} ^{2}-1}}\\[0.5em]&={\frac {12+16\mathrm {i} }{-2}}=-6-8\mathrm {i} \end{aligned}}$

Damit ist ${\text{Re}}(z_{3})=-6$ und ${\text{Im}}(z_{3})=-8$.

Zahlenebene

Aufgabe

Skizziere die folgenden Mengen in der Gauß'schen Zahlenebene:

1. $M_{1}=\{z\in \mathbb {C} :\;|z-\mathrm {i} |\leq 2\}$
2. $M_{2}=\{z\in \mathbb {C} :\;1\leq |z|\leq 3\}$
3. $M_{3}=\{z\in \mathbb {C} :\;|z|\leq 2\}\cap \{z\in \mathbb {C} :\;\operatorname {Re} (z)>\operatorname {Im} (z)\}$

Lösung

Lösung Teilaufgabe 1:

Die Menge $M_{1}$ beschreibt alle komplexen Zahlen, die die Bedingung $|z-\mathrm {i} |\leq 2$ erfüllen. In der komplexen Zahlenebene entspricht das genau den Zahlen $z\in \mathbb {C}$, deren Abstand von der Zahl $\mathrm {i}$ höchstens $2$ beträgt. Also beschreibt $M_{1}$ einen Kreis um $\mathrm {i}$ mit Radius $2$. Die Kreislinie ist in der Menge eingeschlossen:

Menge M1

Lösung Teilaufgabe 2:

Für alle Elemente der Menge $M_{2}$ soll $1\leq |z|\leq 3$ gelten. Also soll ihr Abstand vom Ursprung mindestens $1$, jedoch höchstens $3$ betragen. Damit beschreibt die Menge $M_{2}$ einen Kreisring zwischen den Kreisen mit den Radien $1$ und $3$, wobei die Kreislinien eingeschlossen sind:

Menge M2

Lösung Teilaufgabe 3:

Die Menge $\{z\in \mathbb {C} :\;|z|\leq 2\}$ beschreibt einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius $2$:

Erster Teil von M3

Der zweite Teil $\{z\in \mathbb {C} :\;{\text{Re}}(z)>{\text{Im}}(z)\}$ der Menge $M_{3}$ beschreibt alle komplexen Zahlen, deren Realteil größer als ihr Imaginärteil ist. Nun liegen auf der Winkelhalbierenden des ersten bzw. dritten Quadranten alle Zahlen, deren Real- und Imaginärteil gleich groß sind. Rechts neben dieser Geraden liegen alle komplexe Zahlen mit größeren Real- als Imaginärteil:

Zweiter Teil der Menge M3

Schneidet man diese beiden Mengen, so erhält man folgendes Bild:

Schnitt der Mengen

Damit kann man die Menge $M_{3}$ skizzieren. Zu beachten ist, dass eine der begrenzenden Linien nur gestrichelt ist. Denn die Zahlen direkt auf der Ursprungsgerade gehören nicht zur Menge $M_{3}$, schließlich muss der Realteil jedes Elements echt größer sein als dessen Imaginärteil:

Menge M3

Polardarstellung

Aufgabe (In Polardarstellung umformen)

Berechne die Komplexen Zahlen und gib sie in Polardarstellung an:

1. $z_{1}=\mathrm {i}$
2. $z_{2}=1-\mathrm {i}$
3. $z_{3}=2+2\mathrm {i}$
4. $z_{4}=(4+4\mathrm {i} )\cdot (2+5\mathrm {i} )$
5. $z_{5}=(9-{\sqrt {19}}\mathrm {i} )\cdot (2+{\sqrt {5}}\mathrm {i} )\cdot (3+4\mathrm {i} )$
6. $z_{6}=(37+{\sqrt {395}}\mathrm {i} )^{123}$

Lösung (In Polardarstellung umformen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Der Betrag ist $|z_{1}|={\sqrt {0^{2}+1^{2}}}=1$. Wegen $\operatorname {Re} (z_{1})=0$ und $\operatorname {Im} (z_{1})>0$ ist $\varphi ={\tfrac {\pi }{2}}$. Damit ist $z_{1}=\mathrm {i} =e^{{\frac {\pi }{2}}\mathrm {i} }$. Diese Formel könnte dir auch direkt bekannt sein.

Lösung Teilaufgabe 2:

Wir haben den Betrag $|z_{2}|={\sqrt {1^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {2}}$. Mit $\operatorname {Re} (z_{2})>0$ und $\operatorname {Im} (z_{2})<0$ liegt die Zahl im vierten Quadranten. Die Formel dafür ist $\varphi ={\text{arctan}}\left({\tfrac {-1}{1}}\right)=-45^{\circ }=-{\tfrac {\pi }{4}}$. Also gilt $z_{2}={\sqrt {2}}\cdot e^{-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {i} }$.

Lösung Teilaufgabe 3:

Man erhält die Polardarstellung von $z_{3}$, indem man die Polardarstellung von $z_{2}$ zunächst komplex konjugiert und dann mit $2$ multipliziert. Denn es ist:

$z_{3}=2+2\mathrm {i} =2(1+\mathrm {i} )=2\cdot {\overline {(1-\mathrm {i} )}}=2{\overline {z_{2}}}$

Bei der komplexen Konjugation wird in der Polardarstellung im Exponenten $\mathrm {i}$ durch $-\mathrm {i}$ ersetzt. Also ist $z_{3}=2{\sqrt {2}}\cdot e^{{\frac {\pi }{4}}\mathrm {i} }$.

Lösung Teilaufgabe 4:

Durch Ausmultiplizieren erhält man $z_{4}=(8-20)+(8+20)\cdot \mathrm {i} =-12+28\cdot \mathrm {i}$. Also $|z_{4}|={\sqrt {(-12)^{2}+(28)^{2}}}=4{\sqrt {58}}$. Mit $\operatorname {Re} (z_{4})<0$ und $\operatorname {Im} (z_{4})>0$ liegt die Zahl im zweiten Quadranten. Für den Winkel $\varphi$ gilt dann $\varphi =\pi -\arctan \left({\tfrac {28}{12}}\right)\approx 1,976$. Dieses entspricht im Gradmaß einem Winkel von $\varphi \approx 113,2^{\circ }$. Insgesamt ergibt sich $z_{4}=4{\sqrt {58}}\cdot e^{\left(\pi -\arctan \left({\frac {7}{3}}\right)\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 30,46\cdot e^{1,976\mathrm {\cdot } \mathrm {i} }$.

Lösung Teilaufgabe 5:

Man bestimmt zunächst die Polardarstellung der drei Faktoren von $z_{5}$:

${\begin{aligned}w_{1}&=9-{\sqrt {19}}\cdot \mathrm {i} ={\sqrt {9^{2}+{\sqrt {19}}^{2}}}\cdot e^{\arctan \left({\frac {-{\sqrt {19}}}{9}}\right)\cdot \mathrm {i} }\\&=10\cdot e^{\arctan \left({\frac {-{\sqrt {19}}}{9}}\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 10\cdot e^{-0.451\cdot \mathrm {i} }\\[0.5em]w_{2}&=2+{\sqrt {5}}\cdot \mathrm {i} ={\sqrt {2^{2}+{\sqrt {5}}^{2}}}\cdot e^{\arctan \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\cdot \mathrm {i} }\\&=3\cdot e^{\arctan \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 3\cdot e^{0,841\cdot \mathrm {i} }\\[0.5em]w_{3}&=3+4\cdot \mathrm {i} ={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}\cdot e^{\arctan \left({\frac {4}{3}}\right)\cdot \mathrm {i} }\\&=5\cdot e^{\arctan \left({\frac {4}{3}}\right)\cdot \mathrm {i} }\approx 5\cdot e^{0,927\cdot \mathrm {i} }\end{aligned}}$

Dann gilt

${\begin{aligned}z_{5}&=w_{1}\cdot w_{2}\cdot w_{3}=\left(10\cdot e^{\arctan \left({\frac {-{\sqrt {19}}}{9}}\right)\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(3\cdot e^{\arctan \left({\frac {\sqrt {5}}{2}}\right)\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(5\cdot e^{\arctan \left({\frac {4}{3}}\right)\cdot \mathrm {i} }\right)\\[0.5em]&\approx \left(10\cdot e^{-0,451\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(3\cdot e^{0,841\cdot \mathrm {i} }\right)\cdot \left(5\cdot e^{0,927\cdot \mathrm {i} }\right)\\[0.5em]&\approx 150\cdot e^{(-0,451+0,841+0,927)\cdot \mathrm {i} }\approx 150\cdot e^{1,317\cdot \mathrm {i} }\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 6:

Zunächst bestimmen wir den Betrag und den Winkel von $w=37+{\sqrt {395}}\mathrm {i}$. Es ist $|w|={\sqrt {37^{2}+{\sqrt {395}}^{2}}}=42$ und $\varphi =\operatorname {Arg} (w)=\arctan \left({\tfrac {\sqrt {395}}{37}}\right)\approx 0{,}493\ldots$. Nun können wir die Polardarstellung von $z_{6}$ bestimmen:

${\begin{aligned}z_{6}&=(37+{\sqrt {395}}\mathrm {i} )^{123}=\left(42\cdot e^{\varphi \cdot \mathrm {i} }\right)^{123}=42^{123}\cdot e^{\varphi \cdot \mathrm {i} \cdot 123}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \varphi \approx 0{,}493\right.}\\[0.3em]&\approx 42^{123}\cdot e^{60{,}639\cdot \mathrm {i} }\underbrace {=} _{{\text{Modulo }}2\pi }42^{123}\cdot e^{4{,}090\cdot \mathrm {i} }\end{aligned}}$