Rechenregeln der bestimmten Divergenz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Am Ende des letzten Kapitels hatten wir bereits erwähnt, dass wir die Rechenregeln für konvergente Folgen nicht einfach auf uneigentlich konvergente Folgen anwenden dürfen. Konvergiert beispielsweise eine Folge $(a_{n})$ (uneigentlich) gegen $\infty$ und eine weitere Folge $(b_{n})$ (eigentlich) gegen $0$, so ist es unmöglich, eine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Produktfolge zu machen!

Aufgabe

Gib Beispiele von Folgen $(a_{n})$ und $(b_{n})$ mit den oben beschriebenen Eigenschaften an, so dass

1. $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=0$
2. $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=c$ mit $c\neq 0$
3. $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\infty$
4. $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=-\infty$
5. $(a_{n}b_{n})$ beschränkt ist und divergiert
6. $(a_{n}b_{n})$ unbeschränkt ist und nicht bestimmt divergiert

Lösung

Teilaufgabe 1: Wähle beispielsweise $a_{n}=n$ und $b_{n}={\tfrac {1}{n^{2}}}$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}=0$

Teilaufgabe 2: Wähle beispielsweise $a_{n}=n$ und $b_{n}={\tfrac {c}{n}}$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\lim _{n\to \infty }c=c$

Teilaufgabe 3: Wähle beispielsweise $a_{n}=n^{2}$ und $b_{n}={\tfrac {1}{n}}$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\lim _{n\to \infty }n=\infty$

Teilaufgabe 4: Wähle beispielsweise $a_{n}=n^{2}$ und $b_{n}=-{\tfrac {1}{n}}$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\lim _{n\to \infty }-n=-\infty$

Teilaufgabe 5: Wähle beispielsweise $a_{n}=n$ und $b_{n}={\tfrac {(-1)^{n}}{n}}$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und $(a_{n}b_{n})=((-1)^{n})$ ist beschränkt und divergiert

Teilaufgabe 6: Wähle beispielsweise $a_{n}=n^{2}$ und $b_{n}={\tfrac {(-1)^{n}}{n}}$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und $(a_{n}b_{n})=((-1)^{n}n)$ ist unbeschränkt und divergiert nicht bestimmt

Rechenregeln für uneigentlich konvergente Folgen

Nun werden wir uns überlegen, inwiefern wir unter bestimmten Einschränkungen trotzdem Regeln für uneigentlich konvergente Folgen herleiten können. Wir werden sehen, dass auch hier, unter Berücksichtigung der Voraussetzungen, Summen-, Produkt-, und Quotientenregeln gelten.

Produktregel

Überlegen wir uns zunächst, inwiefern wir die Produktregel übertragen können. Wir setzen voraus, dass $(a_{n})$ eine Folge mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ ist, und überlegen uns, was mit der Produktfolge $(a_{n}b_{n})$ passiert. Da wir oben schon bemerkt haben, dass der Fall $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ Probleme bereitet, schließen wir diesen aus.

1. Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$. In dieser Fall ist es intuitiv vollkommen klar, dass auch $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\infty$ gelten sollte. Dies müssen wir aber formal sauber beweisen. Wir müssen also zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}b_{n}\geq S$

Sei daher so ein $S\in \mathbb {R}$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es dann ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq {\sqrt {|S|}}$ für alle $n\geq N_{1}$. Analog gibt es wegen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$ ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $b_{n}\geq {\sqrt {|S|}}$ für alle $n\geq N_{2}$. Für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ gilt somit

$a_{n}b_{n}\geq {\sqrt {|S|}}{\sqrt {|S|}}=|S|\geq S$

Also gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\infty$.

2. Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$. Auch in diesem Fall ist intuitiv klar, dass auch $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=-\infty$ gelten sollte. Wir müssen also zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}b_{n}\leq S$

Sei daher $S\in \mathbb {R}$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq {\sqrt {|S|}}$ für alle $n\geq N_{1}$. Analog gibt es wegen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$ ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $b_{n}\leq -{\sqrt {|S|}}$ für alle $n\geq N_{2}$. Für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ gilt somit

$\underbrace {a_{n}} _{\geq {\sqrt {|S|}}\geq 0}\overbrace {b_{n}} ^{\leq -{\sqrt {|S|}}\leq 0}\leq {\sqrt {|S|}}(-{\sqrt {|S|}})=-|S|\leq S$

Also gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=-\infty$.

3. Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b>0$. In diesem Fall sollte wie im 1.Fall $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\infty$ gelten. Wir müssen also wieder zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}b_{n}\geq S$

Sei daher $S\in \mathbb {R}$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $|b_{n}-b|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{1}$. Setzen wir $\epsilon ={\tfrac {b}{2}}$, so gilt daher $\forall n\geq N_{1}$: $|b_{n}-b|<{\tfrac {b}{2}}$, also insbesondere $b_{n}>{\tfrac {b}{2}}>0$. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq {\tfrac {|S|}{\tfrac {b}{2}}}={\tfrac {2|S|}{b}}\geq 0$ für alle $n\geq N_{1}$. Für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ gilt somit

$a_{n}b_{n}\geq {\tfrac {2|S|}{b}}{\tfrac {b}{2}}=|S|\geq S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\infty$.

4. Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b<0$. Hier gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=-\infty$.

Aufgabe

Beweise dies.

Lösung

Hier müssen wir zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}b_{n}\leq S$

Sei daher $S\in \mathbb {R}$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b<0$ gibt es zu jedem $\epsilon >0$ ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $|b_{n}-b|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{1}$. Setzen wir $\epsilon =-{\tfrac {b}{2}}$, so gilt daher $\forall n\geq N_{1}$: $|b_{n}-b|<-{\tfrac {b}{2}}$, also insbesondere $b_{n}<{\tfrac {b}{2}}<0$. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq -{\tfrac {2|S|}{b}}\geq 0$ für alle $n\geq N_{1}$. Für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ gilt somit

$a_{n}b_{n}\leq -{\tfrac {2|S|}{b}}{\tfrac {b}{2}}=|S|\leq S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=-\infty$.

Die vier Fälle lassen sich auch kompakt zusammenfassen. Dazu führen wir folgende praktische Erweiterung der reellen Zahlen ein: Wir erweitern $\mathbb {R}$ durch $\pm \infty$ und erhalten so die Menge ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$.

Satz (Produktregel für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b\in {\overline {\mathbb {R} }}$. Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}={\begin{cases}\infty &{\text{ falls }}b>0{\text{ oder }}b=\infty ,\\-\infty &{\text{ falls }}b<0{\text{ oder }}b=-\infty .\end{cases}}$

Summenregel

Sei erneut $(a_{n})$ eine Folge mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$. Die Frage ist nun, wie es sich mit dem Grenzwert der Summenfolge $(a_{n}+b_{n})$ verhält. Uns wir schnell klar, dass hier der kritische Fall $\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$ ist. In diesem Fall ist es unmöglich, eine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten von $(a_{n}+b_{n})$ zu machen. Für $a_{n}=n$ und $b_{n}=-n$ gilt beispielsweise $\lim _{n\to \infty }a_{n}+b_{n}=\lim _{n\to \infty }0=0$, für $a_{n}=2n$ und $b_{n}=-n$ gilt $\lim _{n\to \infty }a_{n}+b_{n}=\lim _{n\to \infty }n=\infty$. Wir schließen daher den Fall $\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$ aus, und betrachten nur die übrigen relevanten Fälle:

1. Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$. Hier ist klar, dass $\lim _{n\to \infty }a_{n}+b_{n}=\infty$ gelten muss. Wir müssen zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}+b_{n}\geq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es dann ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq {\tfrac {S}{2}}$ für alle $n\geq N_{1}$. Analog gibt es wegen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$ ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $b_{n}\geq {\tfrac {S}{2}}$ für alle $n\geq N_{2}$. Für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ gilt somit

$a_{n}+b_{n}\geq {\tfrac {S}{2}}+{\tfrac {S}{2}}=S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}+b_{n}=\infty$.

2. Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b\in \mathbb {R}$. Hier gilt ebenfalls $\lim _{n\to \infty }a_{n}+b_{n}=\infty$. Auch hier müssen wir zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}+b_{n}\geq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ gibt es dann zu jedem $\epsilon >0$ ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $|b_{n}-b|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{2}$. Insbesondere auch für $\epsilon =1$. Also gilt $b_{n}>b-1$ für alle $n\geq N_{2}$. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es außerdem ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq S-b+1$ für alle $n\geq N_{1}$. Für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ gilt somit

$a_{n}+b_{n}\geq (S-b+1)+b-1=S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}+b_{n}=\infty$.

Die beiden Fälle fassen wir wieder zusammen:

Satz (Summenregel für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$. Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }a_{n}+b_{n}=\infty$

Inversionsregeln

Auch die nächste Regel ist intuitiv vollkommen logisch. Ist $(a_{n})$ eine Folge mit $a_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ oder $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$, so muss $\left({\tfrac {1}{a_{n}}}\right)$ eine Nullfolge sein.

1.Fall: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$. Wir müssen zeigen

$\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|<\epsilon$

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es zu $S={\tfrac {1}{\epsilon }}+1$ ein $N\in \mathbb {N}$, so dass $\forall n\geq N$ gilt $a_{n}\geq {\tfrac {1}{\epsilon }}+1$. Damit gilt $\forall n\geq N$ auch

$\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|\leq {\tfrac {1}{{\tfrac {1}{\epsilon }}+1}}<{\tfrac {1}{\tfrac {1}{\epsilon }}}=\epsilon$

Somit ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

2.Fall: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$.

Aufgabe

Zeige, dass auch in diesem Fall $\left({\tfrac {1}{a_{n}}}\right)$ eine Nullfolge ist.

Lösung

Auch hier müssen wir zeigen:

$\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq n:\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|<\epsilon$

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ gibt es zu $S=-{\tfrac {1}{\epsilon }}-1$ ein $N\in \mathbb {N}$, so dass $\forall n\geq N$ gilt $a_{n}\leq -{\tfrac {1}{\epsilon }}-1<0$. Damit ist $|a_{n}|\geq \left|-{\tfrac {1}{\epsilon }}-1\right|={\tfrac {1}{\epsilon }}+1$. Also gilt $\forall n\geq N$ auch

$\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|\leq {\tfrac {1}{{\tfrac {1}{\epsilon }}+1}}<{\tfrac {1}{\tfrac {1}{\epsilon }}}=\epsilon$

Somit ist auch hier $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$.

Wir halten das Ergebnis noch einmal fest:

Satz (Inversionsregel 1 für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $a_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\in \{-\infty ,\infty \}$. Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{a_{n}}}=0$

Verständnisfrage: Gilt im Allgemeinen auch die Rückrichtung der Inversionsregel, d.h. folgt aus $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{a_{n}}}=0$ immer $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ oder $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$?

Nein, die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht. Betrachte die Folge $(a_{n})$ mit $a_{n}=(-1)^{n}n$. Dann gilt $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{(-1)^{n}n}}={\tfrac {(-1)^{n}}{n}}=0$, aber $(a_{n})$ divergiert nicht bestimmt gegen $\infty$ oder $-\infty$.

Die Frage ist nun, wie wir die Voraussetzungen einschränken müssen, damit auch die Rückrichtung der Inversionsregel gilt. Bei dem Gegenbeispiel war das Problem, dass die Folge $((-1)^{n}n)$ alternierend war. Daher gibt es unendlich viele Folgenglieder, die positiv sind, und unendlich viele Folgenglieder, die negativ sind. Fordern wir als zusätzliche Voraussetzung an $(a_{n})$, dass entweder nur endlich viele Folgenglieder negativ, oder nur endlich viele Folgenglieder positiv sind, so tritt das Problem nicht mehr auf.

1.Fall: Sei zunächst $(a_{n})$ eine Folge mit $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{a_{n}}}=0$, alle Folgenglieder seien $\neq 0$ und und fast alle Folgenglieder seien positiv. Dann ist es intuitiv klar, dass $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gilt. Zum Beweis müssen wir zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}\geq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ gegeben. Da $\left({\tfrac {1}{a_{n}}}\right)$ eine Nullfolge ist, gibt es zu $\epsilon ={\tfrac {1}{|S|}}>0$ ein ${\tilde {N}}\in \mathbb {N}$ mit $\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|<{\tfrac {1}{|S|}}$ für alle $n\geq {\tilde {N}}$. Da fast alle Folgenglieder von $(a_{n})$ positiv sind, gibt es ein $N\geq {\tilde {N}}$ mit $\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|={\tfrac {1}{a_{n}}}<{\tfrac {1}{|S|}}$ für alle $n\geq N$. Damit gilt nun $a_{n}\geq |S|\geq S$ für alle $n\geq N$. Also ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$.

2.Fall: Sei nun $(a_{n})$ eine Folge mit $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{a_{n}}}=0$, alle Folgenglieder seien $\neq 0$ und fast alle Folgenglieder seien negativ.

Aufgabe

Zeige, dass in diesem Fall $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ gilt.

Lösung

Hier müssen wir zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:a_{n}\leq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ gegeben. Da $\left({\tfrac {1}{a_{n}}}\right)$ eine Nullfolge ist, gibt es zu $\epsilon ={\tfrac {1}{|S|}}>0$ ein ${\tilde {N}}\in \mathbb {N}$ mit $\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|<{\tfrac {1}{|S|}}$ für alle $n\geq {\tilde {N}}$. Da fast alle Folgenglieder von $(a_{n})$ negativ sind, gibt es ein $N\geq {\tilde {N}}$ mit $\left|{\tfrac {1}{a_{n}}}\right|=-{\tfrac {1}{a_{n}}}<{\tfrac {1}{|S|}}$ für alle $n\geq N$. Damit gilt nun $-a_{n}\geq |S|$, und daraus folgt $a_{n}\leq -|S|\leq S$ für alle $n\geq N$. Also ist $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$.

Wir halten die beiden Fälle für die Rückrichtung der Inversionsregel noch einmal fest

Satz (Inversionsregel 2 für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge mit $a_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{a_{n}}}=0$. Dann gilt

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$, falls $a_{n}>0$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$, falls $a_{n}<0$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$

Beispiel (Inversionsregel)

Im Kapitel Beispiele für Grenzwerte hatten wir gezeigt, dass $\left({\tfrac {n^{k}}{z^{n}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ für $|z|>1$ und $k\in \mathbb {N}$ eine Nullfolge ist. Für $z>1$ sind nun alle Folgenglieder nicht-negativ. Daher gilt nach der Inversionsregel

$\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{\tfrac {n^{k}}{z^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {z^{n}}{n^{k}}}=\infty$

Analog gilt für $z>1$:

$\lim _{n\to \infty }{\tfrac {n!}{z^{n}}}=\infty$

Quotientenregel

Als nächstes wenden wir uns Quotientenfolgen mit uneigentlichen Grenzwerten zu. Seien also $(a_{n})$ und $(b_{n})$ Folgen mit $b_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und $\left({\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\right)$ die daraus gebildete Quotientenfolge.

Zunächst setzen wir $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$ voraus. Klar ist, dass wir die Fälle $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\pm \infty$ ausschließen müssen, denn hier können wir keine allgemeine Aussage über das Konvergenz-/Divergenzverhalten der Quotientenfolge machen. Sei daher $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\in \mathbb {R}$. Dann gilt $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0$. Wir müssen dazu zeigen

$\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:\left|{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\right|<\epsilon$

Sei $\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ ist $(a_{n})$ beschränkt, d.h. es gibt ein $K>0$ mit $|a_{n}|\leq K$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Weiter gilt, wegen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$, nach der Inversionsregel $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{b_{n}}}=0$. Also gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $\left|{\tfrac {1}{b_{n}}}\right|<{\tfrac {\epsilon }{K}}$ für alle $n\geq N$. Damit gilt $\forall n\geq N$:

$\left|{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\right|=|a_{n}|\cdot \left|{\tfrac {1}{b_{n}}}\right|<K\cdot {\tfrac {\epsilon }{K}}=\epsilon$

Somit ist $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0$.

Völlig analog gilt im Fall $\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$ und $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\in \mathbb {R}$ ebenfalls $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0$.

Zusammen ergibt sich

Satz (Quotientenregel 1 für uneigentlich konvergente Folgen)

Seien $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\in \mathbb {R}$ und $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b\in \{-\infty ,\infty \}$. Dann gilt $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=0$.

Nun setzen wir für die Zählerfolge fest: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$. Wieder müssen wir die Fälle $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\pm \infty$ ausschließen.

1.Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b>0$. Hier gilt $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$. Zum Beweis haben wir zu zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\geq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ gegeben. Da $\left(b_{n}\right)$ gegen $b>0$ konvergiert, gibt es ein $N_{1}\in \mathbb {N}$, so dass $b_{n}\leq {\tfrac {3}{2}}b$ für alle $n\geq N_{1}$. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq {\tfrac {3}{2}}b|S|$ für alle $n\geq N_{2}$. Damit gilt für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$:

${\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\geq {\tfrac {{\tfrac {3}{2}}b|S|}{{\tfrac {3}{2}}b}}=|S|\geq S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$.

2.Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und fast alle $b_{n}$ seien positiv. Hier gilt ebenfalls $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$. Zum Beweis müssen wir erneut zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\geq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ gegeben. Da $\left(b_{n}\right)$ gegen $0$ konvergiert und fast alle Folgenglieder positiv sind, gibt es ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $b_{n}\leq {\tfrac {1}{2}}$ für alle $n\geq N_{1}$. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ gibt es ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\geq {\tfrac {1}{2}}|S|$ für alle $n\geq N_{2}$. Damit gilt für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$:

${\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\geq {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}|S|}{\tfrac {1}{2}}}=|S|\geq S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$.

Aufgabe

Zeige, dass in den Fällen $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b<0$ und $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$, und fast alle $b_{n}$ seien negativ, gilt: $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=-\infty$

Lösung

1.Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b<0$. Wir zu zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\leq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ gegeben. Da $\left(b_{n}\right)$ gegen $b<0$ konvergiert, gibt es ein $N_{1}\in \mathbb {N}$, so dass $b_{n}\geq {\tfrac {3}{2}}b$ für alle $n\geq N_{1}$. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ gibt es ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\leq -{\tfrac {3}{2}}b|S|$ für alle $n\geq N_{2}$. Damit gilt für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$:

${\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\leq -{\tfrac {{\tfrac {3}{2}}b|S|}{{\tfrac {3}{2}}b}}=-|S|\leq S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=-\infty$.

2.Fall: $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und fast alle $b_{n}$ seien negativ. Wir müssen erneut zeigen:

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\leq S$

Sei $S\in \mathbb {R}$ gegeben. Da $\left(b_{n}\right)$ gegen $0$ konvergiert und fast alle Folgenglieder negativ sind, gibt es ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ mit $b_{n}\geq -{\tfrac {1}{2}}$ für alle $n\geq N_{1}$. Wegen $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ gibt es ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit $a_{n}\leq {\tfrac {1}{2}}|S|$ für alle $n\geq N_{2}$. Damit gilt für alle $n\geq N=\max\{N_{1},N_{2}\}$:

${\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}\leq {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}|S|}{-{\tfrac {1}{2}}}}=-|S|\leq S$

Also ist $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=-\infty$.

Zusammengefasst lautet die zweite Version der Quotientenregel

Satz (Quotientenregel 2 für uneigentlich konvergente Folgen)

Seien $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty \in \mathbb {R}$.

• Ist $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b>0$ oder $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und fast alle $b_{n}>0$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$.
• Ist $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b<0$ oder $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ und fast alle $b_{n}<0$, dann gilt $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {a_{n}}{b_{n}}}=-\infty$.

Minorantenkriterium für Folgen

Intuitiv ist dieses Kriterium vollkommen klar. Haben wir eine Folge $(x_{n})$ gegeben und wissen wir von einer weiteren Folge $(y_{n})$, dass diese "kleiner oder gleich" $(x_{n})$ ist für fast alle $n\in \mathbb {N}$ und uneigentlich gegen $\infty$ konvergiert, so muss auch $(x_{n})$ uneigentlich gegen $\infty$ konvergieren. Beweisen können wir dies folgendermaßen: Wir müssen zeigen

$\forall S\in \mathbb {R} \ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:x_{n}\geq S$

Sei also $S\in \mathbb {R}$ gegeben. Wegen $\lim _{n\to \infty }y_{n}=\infty$ gibt es ein ${\tilde {N}}\in \mathbb {N}$ mit $y_{n}\geq S$ für alle $n\geq {\tilde {N}}$. Wegen $x_{n}\geq y_{n}$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$ existiert ein $N\geq {\tilde {N}}$ mit $x_{n}\geq y_{n}\geq S$ für alle $n\geq N$. Also gilt $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$.

Halten wir noch einmal fest:

Satz (Minorantenkriterium für Folgen)

Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge und $(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine weitere Folge mit $x_{n}\geq y_{n}$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$ ist und $\lim _{n\to \infty }y_{n}=\infty$. Dann gilt auch $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$.

Beispiel (Minorantenkriterium für Folgen)

Betrachten wir die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\tfrac {n^{n}}{n!}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$. Für $n\geq 2$ gilt

$x_{n}={\tfrac {n^{n}}{n!}}={\tfrac {n\cdot n\cdot \ldots \cdot n}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n}}={\tfrac {n}{1}}\underbrace {\tfrac {n\cdot \ldots \cdot n}{2\cdot \ldots \cdot n}} _{\geq 1}\geq n=y_{n}.$

Außerdem ist $\lim _{n\to \infty }y_{n}=\lim _{n\to \infty }n=\infty$. Nach dem Minorantenkriterium gilt somit

$\lim _{n\to \infty }{\tfrac {n^{n}}{n!}}=\infty$