Aufgaben zu Folgen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Verständnisfragen zu Folgen

Aufgabe

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

1. Bei einer Folge wird jedem Index $n$ eindeutig ein Folgenglied $a_{n}$ zugeordnet.
2. Bei einer Folge kann jedem Folgenglied $a_{n}$ eindeutig ein Index $n$ zugeordnet werden.
3. Es gibt keine Folge, die weder nach unten noch nach oben beschränkt ist.
4. Es gibt keine Folge, die gleichzeitig monoton steigt und fällt.
5. Es gibt keine Folge, die gleichzeitig streng monoton steigt und fällt.
6. Es gibt keine Folge, die streng monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.

Lösung

1. Wahr.
2. Falsch. Wenn ein Folgenglied mehr als einmal in der Folge vorkommt (z. B. bei konstanten Folgen), kann diesem Folgenglied nicht eindeutig ein Index zugeordnet werden.
3. Falsch. Die Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=1,\,-2,\,3,\,-4,\,5,\,-6,\,\ldots$ ist weder nach unten noch nach oben beschränkt.
4. Falsch. Jede konstante Folge steigt und fällt monoton. Bei monotonem Wachstum darf eine Folge bzw. eine Funktion auch konstant sein. Erst der Begriff „strenge Monotonie“ impliziert, dass nachfolgende Werte nicht gleich sein dürfen.
5. Wahr.
6. Falsch. Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}:=1-{\tfrac {1}{n}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist nach oben beschränkt, denn für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt $a_{n}<1$. Weiter ist sie monoton wachsend. Für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt ${\tfrac {1}{n+1}}<{\tfrac {1}{n}}$ und somit $a_{n}=1-{\tfrac {1}{n}}<1-{\tfrac {1}{n+1}}=a_{n+1}$.

Aufgaben zur Bildung von Folgen

Aufgabe

Finde mögliche Fortsetzungen der untenstehenden Folgenanfänge. Gib dazu zu jedem Folgenanfang jeweils eine explizite und eine rekursive Bildungsvorschrift einer Folge an, welche so beginnt.

1. $(1,4,7,10,13,\ldots )$
2. $(1,8,27,64,125,\ldots )$
3. $(1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},\ldots )$
4. $(1,2,6,24,120,\ldots )$

Lösung

Wir geben einen Lösungsvorschlag. Natürlich sind auch andere Fortsetzungen der Folgen möglich (z.B. konstant mit Null fortsetzen).

1. $a_{1}=1\ {\overset {+3}{\longrightarrow }}\ a_{2}=4\ {\overset {+3}{\longrightarrow }}\ a_{3}=7\ {\overset {+3}{\longrightarrow }}\ a_{4}=10\ {\overset {+3}{\longrightarrow }}\ a_{5}=13\ {\overset {+3}{\longrightarrow }}\ {\underline {\underline {a_{6}=13+3=16}}}\ {\overset {+3}{\longrightarrow }}\ {\underline {\underline {a_{7}=16+3=19}}}$

   Rekursive Bildungsvorschrift:

   $a_{n+1}-a_{n}=3\Longrightarrow {\underline {\underline {a_{n+1}=a_{n}+3,\ a_{1}=1}}}$

   Explizite Bildungsvorschrift:

   $a_{n+1}=a_{n}+3=a_{n-1}+2\cdot 3=a_{n-2}+3\cdot 3=\ldots a_{1}+n\cdot 3=1+3n=3n+1\Longrightarrow {\underline {\underline {a_{n}}}}=3(n-1)+1={\underline {\underline {3n-2}}}$
2. $a_{1}=1=1^{3}\ \longrightarrow \ a_{2}=8=2^{3}\ \longrightarrow \ a_{3}=27=3^{3}\ \longrightarrow \ a_{4}=64=4^{3}\ \longrightarrow \ a_{5}=125=5^{3}\ \longrightarrow \ {\underline {\underline {a_{6}=6^{3}=216}}}\ \longrightarrow \ {\underline {\underline {a_{7}=7^{3}=343}}}$

   Explizite Bildungsvorschrift:

   ${\underline {\underline {a_{n}=n^{3}}}}$

   Rekursive Bildungsvorschrift:

   ${\underline {\underline {a_{n+1}}}}=(n+1)^{3}=n^{3}+3n^{2}+3n+1={\underline {\underline {a_{n}+3n^{2}+3n+1,\ a_{1}=1}}}$
3. $a_{1}=1\ {\overset {\cdot (-{\frac {1}{2}})}{\longrightarrow }}\ a_{2}=-{\frac {1}{2}}\ {\overset {\cdot (-{\frac {1}{2}})}{\longrightarrow }}\ a_{3}={\frac {1}{4}}\ {\overset {\cdot (-{\frac {1}{2}})}{\longrightarrow }}\ a_{4}=-{\frac {1}{8}}\ {\overset {\cdot (-{\frac {1}{2}})}{\longrightarrow }}\ a_{5}={\frac {1}{16}}\ {\overset {\cdot (-{\frac {1}{2}})}{\longrightarrow }}\ {\underline {\underline {a_{6}={\frac {1}{16}}\cdot (-{\frac {1}{2}})=-{\frac {1}{32}}}}}\ {\overset {\cdot (-{\frac {1}{2}})}{\longrightarrow }}\ {\underline {\underline {a_{7}=-{\frac {1}{32}}\cdot (-{\frac {1}{2}})={\frac {1}{64}}}}}$

   Rekursive Bildungsvorschrift:

   ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=-{\frac {1}{2}}\Longrightarrow {\underline {\underline {a_{n+1}=-{\frac {1}{2}}\cdot a_{n},\ a_{1}=1}}}$

   Explizite Bildungsvorschrift:

   $a_{n+1}=-{\frac {1}{2}}\cdot a_{n}=(-{\frac {1}{2}})^{2}\cdot a_{n-1}=(-{\frac {1}{2}})^{3}\cdot a_{n-2}=\ldots =(-{\frac {1}{2}})^{n}\cdot a_{1}=(-{\frac {1}{2}})^{n}\Longrightarrow {\underline {\underline {a_{n}=(-{\frac {1}{2}})^{n-1}}}}$
4. $a_{1}=1\ {\overset {\cdot 2}{\longrightarrow }}\ a_{2}=2\ {\overset {\cdot 3}{\longrightarrow }}\ a_{3}=6\ {\overset {\cdot 4}{\longrightarrow }}\ a_{4}=24\ {\overset {\cdot 5}{\longrightarrow }}\ a_{5}=120\ {\overset {\cdot 6}{\longrightarrow }}\ {\underline {\underline {a_{6}=6\cdot 120=720}}}\ {\overset {\cdot 7}{\longrightarrow }}\ {\underline {\underline {a_{7}=720\cdot 7=5040}}}$

   Rekursive Bildungsvorschrift:

   ${\underline {\underline {a_{n+1}=(n+1)\cdot a_{n},\ a_{1}=1}}}$

   Explizite Bildungsvorschrift:

   ${\begin{aligned}a_{n+1}&=(n+1)\cdot a_{n}=(n+1)\cdot n\cdot a_{n-1}=(n+1)\cdot a_{n}=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot a_{n-2}=\ldots \\&=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot a_{1}\\&=(n+1)\cdot n\cdot \ldots \cdot 1=\prod _{i=1}^{n+1}i=(n+1)!\end{aligned}}$
   $\Longrightarrow {\underline {\underline {a_{n}=n!}}}$

Aufgabe

Finde eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, für die folgende Bedingungen gelten:

1. $a_{n}<a_{n+2}$ für alle $n\in \mathbb {N}$
2. $a_{n}>a_{n+1}$ für alle ungeraden $n$

Schreibe anschließend eine explizite und eine rekursive Bildungsvorschrift für deine Folge auf!

Lösung

Eine mögliche Folge ist

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=1,0,2,1,3,2,4,3,5,4,6,5,7,6,\ldots$

Eine explizite Bildungsvorschrift für diese Folge ist

$a_{n}={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\{\frac {n}{2}}-1&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\\\end{cases}}$

Eine rekursive Bildungsvorschrift für diese Folge ist gegeben durch $a_{1}:=1,a_{2}:=0$ und über folgende Rekursionsformel für alle $n\geq 2$:

$a_{n}:=a_{n-2}+1$