Konstanzkriterium: Zusammenhang zwischen Konstanz einer Funktion und ihrer Ableitung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
In diesem Kapitel wollen wir eine nützliche Folgerung aus dem Mittelwertsatz besprechen, die bereits aus der Schulzeit bekannt ist: Das Kriterium für Konstanz. Dieses besagt, dass eine Funktion konstant sein muss, wenn ihre Ableitung überall verschwindet (gleich Null ist).
Kriterium für Konstanz
BearbeitenSatz
Sei ein Intervall und eine differenzierbare Funktion mit für alle . Dann ist konstant.
Beweis
Seien mit beliebig. Sei außerdem auf dem Intervall differenzierbar und für alle gelte . Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit
Wir wissen, dass gelten muss. Also:
Wegen ist . Nun multiplizieren wir beide Seiten mit . Wir erhalten:
Es folgt . Da dies für alle und in gilt, ist konstant.
Identitätssatz der Differentialrechnung
BearbeitenDie erste Folgerung besagt, dass Funktionen mit identischer Ableitung bis auf eine Konstante übereinstimmen. Dieses Ergebnis wird sich später beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als sehr nützlich erweisen.
Satz (Identitätssatz)
Seien zwei differenzierbare Funktionen mit . Dann gilt für alle . Dabei ist eine konstante Zahl.
Beweis (Identitätssatz)
Wir definieren die Hilfsfunktion
Diese ist differenzierbar, da und differenzierbar sind, und es gilt
Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher für alle mit einer konstanten Zahl . Dies ist äquivalent zu
Anwendung: Charakterisierung der Exponentialfunktion
BearbeitenSatz (Charakterisierung der Exponentialfunktion)
Sei differenzierbar. Weiter sei und für alle gelte
Dann gilt für alle mit einer Konstanten . Ist und gilt zusätzlich , so ist .
Beweis (Charakterisierung der Exponentialfunktion)
Wir definieren die Hilfsfunktion
Diese ist nach der Produkt- und Kettenregel differenzierbar. Es gilt
Nach dem Kriterium für Konstanz gibt es ein mit für alle . Dies ist nun aber äquivalent zu
Gilt nun und zusätzlich , so ist
Also ist .
Hinweis
Alternativ kann man auch als schreiben und die Quotientenregel anwenden, um die Ableitung zu bestimmen. Außerdem erfüllt die Funktion die Differentialgleichung . Es ist nämlich:
Übungsaufgaben
BearbeitenIntervallvoraussetzung des Konstanzkriteriums
BearbeitenDie Voraussetzung, dass die Funktion auf einem Intervall definiert ist, ist für das Kriterium für Konstanz notwendig! Dies zeigt folgende Aufgabe:
Aufgabe
Finde eine differenzierbare Funktion mit und für alle , die nicht konstant ist.
muss hier so gewählt werden, dass es kein Intervall ist. Ansonsten würde aus dem vorherigen Satz folgen, dass konstant ist.
Lösung
Wir definieren und setzen
Die Funktion ist offensichtlich nicht konstant. Es gilt aber für alle die Gleichung . Hierzu betrachten wir zunächst ein . Sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Dann gibt es ein , so dass für alle die Ungleichung erfüllt ist. Daraus folgt . Es gilt folglich für alle , dass ist. Also:
Damit gilt:
Der Beweis, dass auch für alle die Gleichung erfüllt ist, geht komplett analog.
Trigonometrischer Pythagoras
BearbeitenMit Hilfe des Kriteriums für Konstanz lassen sich auch sehr gut Identitäten über Funktionen beweisen:
Aufgabe (Trigonometrischer Pythagoras)
Zeige, dass für alle gilt
Dabei ist und .
Lösung (Trigonometrischer Pythagoras)
Wir definieren die Hilfsfunktion
Diese ist nach der Ketten- und Summenregel für Ableitungen auf ganz differenzierbar, und es gilt
Damit ist konstant eine Zahl . Diese können wir bestimmen, indem wir berechnen:
Also ist konstant und es gilt damit:
Funktionalgleichung für Arkustangens
BearbeitenAufgabe (Funktionalgleichung für )
Zeige: für
Lösung (Funktionalgleichung für )
Wir definieren und . Die Funktion ist auf nach der Summen- und Kettenregel für Ableitungen differenzierbar. Damit gilt
Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher konstant. Um den genauen Wert zu bestimmen reicht es eine konkreten Wert einzusetzen. Wir wählen und erhalten
Es ist nämlich und damit . Damit folgt die Behauptung.
Übungsaufgabe zum Identitätssatz
BearbeitenAufgabe (Logarithmus-Darstellung des Areasinus Hyperbolicus)
Zeige, dass für alle gilt
Beweis (Logarithmus-Darstellung des Areasinus Hyperbolicus)
Die Funktion ist nach den Beispielen für Ableitungen auf ganz differenzierbar. Ihre Ableitung ist
Nach der Ketten- und Summenregel ist auch auf ganz differenzierbar. Es gilt:
Es ist für alle und nach dem Identitätssatz ist daher mit einer Konstanten . Nun ist aber wegen :
Außerdem ist
Also ist und damit folgt die Behauptung.
Charakterisierung vom Sinus und Kosinus
BearbeitenAufgabe (Charakterisierung von Sinus und Cosinus)
Seien zwei differenzierbare Funktionen mit
Beweise:
- Es gilt für alle
- Es gibt genau ein Funktionenpaar, welches die obigen Bedingungen erfüllt, nämlich und .
Hinweis: Betrachte bei der zweiten Teilaufgabe die Hilfsfunktion .
Lösung (Charakterisierung von Sinus und Cosinus)
Lösung Teilaufgabe 1:
Wir betrachten die Hilfsfunktion
wobei und die Bedingungen von oben erfüllen. Dann ist mit der Summen- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt
Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher für ein . Nach den Vorraussetzungen gilt
Also ist und es gilt die Behauptung .
Lösung Teilaufgabe 2:
Wir betrachten die differenzierbare Hilfsfunktion
Für diese gilt
Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher mit . Auf Grund der Voraussetzungen gilt
Also ist . Nun ist sowohl und für alle . Damit also die Summe gleich Null sein kann, müssen beide Summanden und gleich Null sein. Es folgt
Damit ist und , was zu beweisen war.