Aufgaben zu Integralen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungBearbeiten

Aufgabe 1Bearbeiten

Aufgabe

Sei die Funktion   mit   für  .

  1. Berechne   und  .
  2. Bestätige mit einfachen Ober- und Untersummen:   und  

Lösung

Lösung Teilaufgabe 1:

Da   stetig ist, gilt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

 

Weiter ist   differenzierbar, und mit der Kettenregel folgt

 

Lösung Teilaufgabe 2:

1. Abschätzung: Da   auf   monoton fällt, gilt mit der Monotonie des Integrals:

 

sowie

 

2. Abschätzung: Ebenso ist   auf   monoton fallend, und mit der Linearität des Integrals folgt

 

Schließlich ist

 

Aufgabe 2Bearbeiten

Aufgabe

Gegeben sei  .

  1. Bestimme den Definitionsbereich von  .
  2. Untersuche das Monotonieverhalten von   und bestimme gegebenenfalls Extrema.

Lösung

Lösung Teilaufgabe 1:

  ist genau für alle reellen Zahlen definiert, für die der Integrand   definiert und stetig ist. Dies ist zunächst auf   als Komposition stetiger Funktionen der Fall. Weiter gilt

 

Siehe dazu die Anwendungsbeispiele zur Regel von L'Hospital. Somit ist   in   stetig fortsetzbar, und daher   auf   definiert.

Lösung Teilaufgabe 2:

Monotonie: Nach dem Monotoniekriterium ist   genau dann streng monoton steigend bzw. fallend, wenn   bzw.   ist.

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt nun für alle  :

 

Weiter ist für  :

 

Damit ist   in   streng monoton steigend und in   streng monoton fallend.

Extrema: Es gilt:

 

Da   rechts von   monoton fällt, besitzt die Funktion dort eine lokale (Rand-)Extremstelle. Schließlich fällt   links von   und steigt rechts davon. Somit ist   eine lokale Minimalstelle.

To-Do:

konvexes und konkaves Verhalten

Aufgabe 3Bearbeiten

Aufgabe

Für   sei die Funktion   definiert durch  .

  1. Begründe:   hat im Nullpunkt ein globales Minimum.
  2. Berechne die Ableitung   für  .

Lösung

Lösung Teilaufgabe 1:

Zunächst ist

 

Für den Integranden gilt weiter auf  :

 

Aus der Monotonie des Integrals folgt für alle  :

 

Somit hat   im Nullpunkt ein lokales und sogar globales Minimum.

Lösung Teilaufgabe 2:

Für die Hilfsfunktion

 

gilt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für alle  :

 

Weiter ist

 

Mit der Kettenregel folgt damit für alle  :

 

SubstitutionsregelBearbeiten

Aufgabe (Substitutionsregel 1)

Berechne die unbestimmten Integrale

  1.   für  
  2.   für  
  3.   für  
  4.   für  
  5.   für  
  6.   für  

Lösung (Substitutionsregel 1)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

 

Teilaufgabe 3:

 

Teilaufgabe 4:

 

Teilaufgabe 5:

 

Teilaufgabe 6:

 

Aufgabe (Substitutionsregel 2)

Berechne die bestimmten/unbestimmten Integrale

  1.   für  
  2.   für  
  3.  
  4.  
  5.   für  
  6.   für  
  7.   für  
  8.  

Lösung (Substitutionsregel 2)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

 

Teilaufgabe 3:

 

Teilaufgabe 4:

 

Teilaufgabe 5:

1.Möglichkeit:

 

2.Möglichkeit:

 

3.Möglichkeit:

 

Teilaufgabe 6:

 

Teilaufgabe 7:

 

Teilaufgabe 8:

 

Partielle IntegrationBearbeiten

Aufgabe (Rekursionsformeln für Integrale)

Bestimme Rekursionsformeln für

  1.   mit  
  2.   für   und   und berechne damit den Wert des Integrals.

Hinweis: Beim zweiten Integral dürft ihr verwenden, dass der Integrand im Nullpunkt stetig fortsetzbar ist, und dort den Wert null hat.

Lösung (Rekursionsformeln für Integrale)

Teilaufgabe 1:

 

Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir

 

Ersetzen wir noch   durch  , so erhalten wir schließlich

 

Für   und   erhalten wir noch

 

und

 

Teilaufgabe 2:

 

Wiederholen wir die analoge Rechnung  -Mal, so erhalten wir

 

Substitution und partielle IntegrationBearbeiten

Aufgabe

Bestimme die Integrale

  1.  
  2.  

Lösung

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2: Aus der Teilaufgabe zuvor wissen wir, dass   eine Stammfunktion von   ist. Nun können wir partielle Integration verwenden. Wir haben also

 

Aufgabe

Berechne für   die Integrale

  1.  
  2.  
  3.  

Hinweis: Unterscheide jeweils die Fälle   und  .

Lösung

Teilaufgabe 1:

Fall 1:  

 

Fall 2:  

 

Subtrahieren wir nun das Integral auf der rechtenen Seite, so ist die gesamte Gleichung äquivalent zu

 

Daraus folgt schließlich

 

Teilaufgabe 2:

Fall 1:  

 

Fall 2:  

 

Subtrahieren wir nun das Integral auf der rechtenen Seite, so ist die gesamte Gleichung äquivalent zu

 

Daraus ergibt sich

 

Teilaufgabe 3:

Fall 1:  

 

Fall 2:  

 

Aufgabe

Sei   stetig differenzierbar mit  ,   und   für  . Zeige:

 

Lösung

 

Beispiele von StammfunktionenBearbeiten

Aufgabe (Stammfunktionen der hyperbolischen Funktionen)

Zeige:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Aufgabe (Stammfunktionen der Area Funktionen)

Zeige:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Konvergenz von IntegralenBearbeiten

 
Die Funktionen   haben jeweils das Integral   und konvergieren punktweise gegen die Nullfunktion

Aufgabe

Finde integrierbare Funktionen   für alle  , so dass

  1.  
  2. Für alle   gilt  .

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir machen eine Vorüberlegung. Angenommen, wir haben Funktionen   gefunden, die die geforderten Eigenschaften erfüllen. Für alle   betrachten wir die Funktion  . Dann gilt:

  1.  
  2. Für alle   gilt  .

Es reicht also, dass wir Funktionen   suchen, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergieren, für die aber   gilt.

Für alle   ist   eine reelle Zahl und die Folge dieser reelle Zahlen soll nicht gegen   konvergieren. Wir versuchen, die   so zu wählen, dass für alle   gilt  . Dann ist die zweite Bedingung erfüllt. Gleichzeitig müssen wir darauf achten, dass die erste Bedingung erfüllt wird.

Wie können wir sicherstellen, dass die erste Bedingung erfüllt ist? Für alle   wählen wir   so, dass für alle   gilt  .

Wir zeigen nun, dass dann die Folge der   punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert. Sei  . Dann gibt es ein  , so dass  . Für alle   gilt dann  .

Jetzt müssen wir nur noch die Funktionswerte von   im Intervall   festlegen. Wir wählen sie so, dass die Funktionen jeweils konstant auf diesem Intervall sind, also   für  .

Dann ist auch die zweite Bedingung erfüllt, denn   und wir sind fertig.

Lösung

Wir setzen für alle  

 

Für alle   gibt es eine natürliche Zahl  , so dass  . Dann gilt für alle  , dass  . Somit konvergiert   punktweise gegen die Nullfunktion.

Weiter gilt

 

Folglich sind beide Bedinungen erfüllt.