Regel von L'Hospital – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Als letzte Anwendung des Mittelwertsatzes, genauer gesagt des zweiten Mittelwertsatzes, wollen wir die Regel von L’Hospital herleiten. Diese stellt eine praktische Möglichkeit dar, den Grenzwert einer Quotientenfunktion durch separates Ableiten von Zähler und Nenner zu bestimmen. Benannt ist die Regel nach dem französischen Mathematiker Guillaume François Antoine L’Hospital, sie stammt allerdings von dem Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli.

Die Regel von L’HospitalBearbeiten

Satz (Regel von L’Hospital)

Sei   und   mit   oder   mit  . Seien   differenzierbare Funktionen und gelte   für alle  . Weiter existiere der Grenzwert  . Zudem gelte eine der beiden Aussagen:

  1.   und  
  2.  .

Dann gilt  .

Beweis (Regel von L’Hospital)

Wir betrachten zunächst den ersten Fall mit  . Wegen   und   können wir die Funktionen   und   stetig fortsetzen. Wir erhalten die Funktionen   mit   und   für alle  . Weiter setzen wir   und  .

Wir betrachten nun eine beliebige Folge  , die gegen   konvergiert. Da die Funktionen   und   stetig sind, können wir den verallgemeinerten Mittelwertsatz anwenden. Es gibt also eine Folge  , so dass für alle   gilt   bzw.   und

 

Somit folgt

 

Da dies für jede beliebige Folge   gilt, folgt insgesamt  .

To-Do:

2. Fall

Nun betrachten wir den Fall  . Dazu definieren wir die Hilfsfunktionen   Dabei wählen wir ein   mit   für   bzw.   für  . Wir setzen   bzw.  . Für alle   setzen wir   und  .

Wir betrachten im Folgenden nur den Fall  , da der Beweis für   analog geht. Es gilt:

 

Wir können also die Regel von L’Hospital für den Fall  , den wir bereits bewiesen haben, anwenden. Es gilt:

 
To-Do:

Satz fertig schreiben

AnwendungsbeispieleBearbeiten

Standardtypen   und  Bearbeiten

Zunächst behandeln wir die Typen, bei denen sich die Regeln direkt anwenden lassen.

Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 1)

Als erstes wollen wir den „Klassiker“

 

berechnen. Es gilt  . Außerdem sind   und   auf   differenzierbar, und es gilt  . Da weiter

 

existiert, gilt mit dem Satz von L’Hospital ebenfalls

 

Im Allgemeinen schreiben wir dies nicht so ausführlich auf. Wir überprüfen die Voraussetzungen im Kopf, und schreiben das Ergebnis wie folgt auf:

 

Hinweis

Mit der Regel von L’Hospital lässt sich der Grenzwert   sehr einfach als „Einzeiler“ berechnen. Wir weisen allerdings darauf hin, dass wir bei der Anwendung der Regel die Ableitung

 

verwendet haben. Für die Berechnung dieser wurde also genau dieser Grenzwert benötigt. Da wir die Ableitungen der Grundfunktionen allerdings als bekannt voraussetzen, wenn sie einmal berechnet sind, stellt dies kein Problem dar.

Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital)

Bestimme die folgenden Grenzwerte:

  1.  
  2.  

Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

 

Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 2)

Als nächstes bestimmen wir

 

Es gilt  . Da auch die anderen Voraussetzungen zum Satz von L’Hospital erfüllt sind, gilt

 

Dieser Grenzwert lässt sich für   verallgemeinern zu

 

Aufgabe (Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 2)

Bestimme für   den Grenzwert

 

Lösung (Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 2)

Es gilt

 

Manchmal ist es auch notwendig die Regeln von L’Hospital mehrmals hintereinander anzuwenden, bevor wir zum gewünschten Ergebnis gelangen.

Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 3)

Als nächstes bestimmen wir

 

Es gilt  . Wenden wir L’Hospital an, so erhalten wir

 

Nun gilt wieder  . Wenden wir L’Hospital erneut an, so erhalten wir schließlich

 

Also gilt insgeamt

 

Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 3)

Bestimme für die Grenzwerte

  1.  
  2.  

Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 3)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

 

Typ  Bearbeiten

Hier sind die Regeln von L’Hospital nicht unmittelbar anwendbar. Der „Trick“ ist es daher durch Kehrwertbildung einen Bruchterm zu erzeugen, und so einen Grenzwert in der Standardform   oder   zu erhalten.

Beispiel (Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 4)

Das Standardbeispiel zu diesem Fall ist der Grenzwert

 

Es gilt   und  . Nun erhalten wir durch Kehrwertbildung

 

Da gilt  , ist L’Hospital anwendbar, und wir erhalten

 

Warnung

Zwar führt die Umformung

 

auf einen Ausdruck der Form  . Jedoch erhalten wir hier durch Anwendung der Regel von L’Hospital

 

Dieser Ausdruck ist nun wieder vom Typ  , hat jedoch eine kompliziertere Form als der Ursprüngliche. Der Trick führt also nicht immer zum Erfolg! :-(

Hinweis

Für zwei beliebige Funktionen   und   mit den entsprechenden Eigenschaften lautet der Umformungstrick:

 

oder

 

Je nachdem mit welcher der beiden Formen sich der Grenzwert danach leichter berechnen lässt.

Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 4)

Berechne

  1.  
  2.  
  3.  

Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 4)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

 

Teilaufgabe 3:

 

Typ  Bearbeiten

Als nächstes behandeln wir Differenzen von Grenzwerten, die beide uneigentlich gegen   konvergieren. Oftmals handelt es sich dabei um Differenzen von Bruchtermen. Durch Hauptnennerbildung und Zusammenfassen zu einem Bruchterm kann der Ausdruck häufig so umgeformt werden, dass die Regeln von L’Hospital anwendbar sind.

Beispiel (Bestimmung von Grenzwert L’Hospital 5)

Betrachten wir den Grenzwert

 

Hier gilt  . Also ist der Grenzwert vom beschriebenen Typ  . Durch Hauptnennerbildung erhalten wir

 

Wegen   ist L’Hospital anwendbar, und wir erhalten

 

Hinweis

Für zwei beliebige Funktionen   und   lautet der Umformungstrick:

 

Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 5)

Bestimme

  1.  
  2.  

Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 5)

Teilaufgabe 1: Es gilt

 

Teilaufgabe 2: Hier gilt

 

Typen  ,  ,   und  Bearbeiten

Tritt einer der beschriebenen Fälle ein, so wenden wir den Trick an, den wir schon bei der Berechnung der Ableitung von verallgemeinerten Potenzfunktionen angewendet haben: Wir schreiben zunächst   als  . Da   auf ganz   stetig ist, lässt sich der Limes „nach Innen ziehen“. Der dort gebildetet Grenzwert ist nun sehr häufig von Typ   und lässt sich wie oben beschrieben mit den Regeln von L'Hopital berechnen.

Beispiel (Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 6)

Der „Klassiker“ hier ist der Grenzwert

 

Dieser ist von Typ  . Wie oben beschrieben formen wir ihn um zu

 

Ziehen wir den Limes in die Exponentialfunktion, so entsteht der Grenzwert

 

Dieser ist von Typ  . Weiter oben hatten wir ihn wie folgt berechnet

 

Wegen der Stetigkeit von   folgt daher

 

Hinweis

Der Grenzwert   ist auch der Hauptgrund, warum   gesetzt wird. Denn dadurch íst die Funktion   stetig in null.

Hinweis

Für zwei beliebige Funktionen   und   mit   lautet der Umformungstrick:

 

Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 6)

Berechne die folgenden Grenzwerte

  1.  
  2.  

Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit L’Hospital 6)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

 

WarnbeispieleBearbeiten

Nicht immer ist es sinnvoll die Regel von L’Hospital anzuwenden. Insbesondere darf sie nicht angewendet werde, falls die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. In diesem Fall kann das überstürzte Anwenden der Regel ein falsches Ergebnis liefern. Daher wollen wir einige Warnbeispiele besprechen, die dies veranschaulichen sollen.

L’Hospital kann sehr langwierig/umständlich sein - Es muss nicht immer L’Hospital sein!Bearbeiten

Wachstumsverhalten von Exponential- und LogarithmusfunktionBearbeiten

Betrachten wir hierzu den Grenzwert

  für   und  

Dieser ist vom Typ   und L’Hospital ist somit anwendbar, und ergibt

 

Der Limes ist nun wieder von Typ  . Wiederholen wir die Regel, so gilt

 

Wir erkennen bei der Anwendung der Regel von L’Hospital das folgende Muster: Der Zähler bleibt bleibt gleich bis auf den Vorfaktor, dieser ändert aber am Divergenzverhalten gegen   nichts. Im Nenner vermindert sich die Potenz von   in jedem Schritt um eins. Wenden wir daher die Regel von L’Hospital daher insgesamt  -mal an, so erhalten wir

 

Dieses Resultat hätten wir allerdings auch wesentlich schneller und eleganter erreichen können. Wir haben weiter oben schon durch einmaliges Anwenden von L’Hospital gezeigt

 

für alle  . Damit folgt nun

 

da  .

Hinweis

Der Grenzwert besagt, dass jede Exponentialfunktion schneller wächst, als jede noch so große Potenzfunktion.

Aufgabe (Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 7)

Bestimme für   und   den Grenzwert

 

durch

  1.  -maliges Anwenden der Regel von L’Hospital.
  2. einmaliges Anwenden der Regel von L’Hospital und geschicktes Umformen.

Lösung (Bestimmung von Grenzwert mit L’Hospital 7)

Teilaufgabe 1: Der Grenzwert ist vom Typ   und L’Hospital ist anwendbar. Es gilt

 

Der Grenzwert ist wieder vom Typ  , die Potenz im Zähler verringert sich um eins, die im Nenner bleibt gleich. Nach  -maliger Anwendung von L’Hospital erhalten wir damit

 

Teilaufgabe 2: Es gilt

 

für alle  . Damit folgt nun

 

da  .

Hinweis

Der Grenzwert besagt, dass die Logarithmusfunktion langsamer wächst, als jede noch so kleine Potenzfunktion.

Wachstumsverhalten von PolynomenBearbeiten

Betrachten wir nun den folgenden Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion für  :

 

Hier liegt, wegen   der Fall   vor, und durch dreimaliges Anwenden der Regel von L’Hospital erhalten wir

 

Alternativ lässt sich der Grenzwert auch ohne L’Hospital durch ausklammern und anschließendem Kürzen der höchsten Potenz ( ) berechnen:

 

Sind nun allgemein   und   normierte Polynome, so gilt ebenfalls

 

Wollen wir dies mit der Regel von L’Hospital zeigen, so müssen wir diese insgesamt  -mal anwenden, und erhalten

 

Zur Berechnung ohne L’Hospital können wir wieder die höchste Potenz, also  , ausklammern, kürzen, und anschließend den Grenzwert berechnen:

 

Aufgabe (Grenzwert von gebrochen rationaler Funktion)

Zeige für  :

 

Lösung (Grenzwert von gebrochen rationaler Funktion)

Fall 1:  

1.Möglichkeit: Ohne L’Hospital

Wir klammern die größte Potenz   aus, und erhalten

 

2.Möglichkeit: Mit L’Hospital

Wir wenden die Regel von L’Hospital  -Mal an, und erhalten

 

Fall 2:  

1.Möglichkeit: Ohne L’Hospital

 

2.Möglichkeit: Mit L’Hospital

 

Fall 3:  

1.Möglichkeit: Ohne L’Hospital

Wir klammern die größte Potenz   aus, und erhalten

 

2.Möglichkeit: Mit L’Hospital

Wir wenden die Regel von L’Hospital  -Mal an, und erhalten

 

L’Hospital kann nicht zum Erfolg führenBearbeiten

In diesem Abschnitt wollen wir einige Beispiele von Grenzwerten vorstellen, bei denen die Regel von L’Hospital „versagt“. Dies kann passieren, da die Regel von L’Hospital eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung für die Existenz des Grenzwerts   ist.

L’Hospital führt in EndlosschleifeBearbeiten

Manchmal kann es vorkommen, dass sich die Regel von L’Hospital „im Kreis dreht“. Ein Beispiel ist

 

Dieser Grenzwert ist vom Typ  , und L’Hospital ist anwendbar. Tun wir dies, so erhalten wir

 

Der entstandene Grenzwert ist nun wieder vom Typ  . Schauen wir genauer hin, so erkennen wir, dass sich durch die Anwendung von L’Hospital Zähler und Nenner vertauscht haben. Wenden wir nun die Regel erneut an, so ergibt sich

 

Es entsteht also wieder der ursprüngliche Grenzwert. Die Regel von L’Hospital bringt uns daher bei diesem Grenzwert nicht weiter! Allerdings gibt es eine relativ einfache Möglichkeit ohne L’Hospital ans Ziel zu gelangen:

Klammern wir im Zähler und Nenner   aus, und kürzen anschließend, so erhalten wir

 

Aufgabe (Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 1)

Bestimme den Grenzwert

 

Welches Problem ergibt sich bei der Anwendung der Regel von L’Hospital?

Lösung (Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 1)

Durch Ausklammern von   im Nenner erhalten wir

 

Die Anwendung der Regel von L’Hospital führt in eine Endlosschleife, denn

 

L’Hospital führt in SackgasseBearbeiten

Es kann auch passieren, dass die Anwendung von L’Hospital die Situation sogar „verschlimmert“. Das heißt, ein Grenzwert, der existiert, kann durch Anwendung der Regel in einen Grenzwert umgeformt werden, der nicht mehr existiert. Beachtet daher immer: Aus   folgt  , aber nicht umgekehrt. Insbesondere kann daraus, dass   nicht existiert, nicht gefolgert werden, dass   nicht existiert. Betrachten wir hierzu

 

Es gilt  . Daher liegt der Fall   vor. Anwendung von L’Hospital liefert nun

 

Nun haben wir aber ein Problem, den dieser Grenzwert existiert nicht. Betrachten wir nämlich die Folgen   mit

 

Diese divergiert bestimmt gegen  . Es gilt jedoch

 

Dieser Grenzwert existiert nicht (auch nicht uneigentlich), da   divergiert. Dies bedeutet, dass auch hier L’Hospital unbrauchbar ist. Dass der ursprüngliche Grenzwert sehr wohl existiert, sehen wir an folgendem Umformungstrick: Wegen   gilt

 

Aufgabe (Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 2)

Bestimme

 

Welches Problem ergibt sich bei der Anwendung der Regel von L’Hospital?

Lösung (Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 2)

Zunächst gilt mit einem simplen Umformungstrick:

 

Weiter ist zum Einen  , was unmittelbar aus der Abschätzung   folgt. Und zum Anderen ist  , was wir mit der Regel von L’Hospital weiter oben gezeigt haben.

Insgesamt erhalten wir

 

Wenden wir die Regel von L’Hospital an, was erlaubt ist, da der Grenzwert vom Typ   ist, so ergibt sich

 

Dieser Grenzwert divergiert nun, da der ( )-Ausdruck für   divergiert. Denn für die Nullfolge   gilt:  . Also war die Anwendung von L’Hospital erneut erfolglos! :-(

L’Hospital kann ein falsches Ergebnis liefernBearbeiten

Dies kann immer dann passieren, wenn die Regel angewendet wird, obwohl die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Ein Beispiel ist

 

Genau hinsehen, in diesem Fall geht   gegen  , nicht  ! Da Zähler und Nenner stetig in   sind, gilt

 

L’Hospital ist für den Fall   nicht anwendbar. Wendet ihr die Regel trotzdem an, so erhaltet ihr das falsche Ergebnis

 

Daher solltet ihr immer zuerst überprüfen, ob die Regel von L’Hospital überhaupt anwendbar bzw. nötig ist.

Aufgabe (Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 3)

Bestimme die Grenzwerte

  1.  
  2.  

Welche Grenzwerte ergeben sich bei der fälschlichen Anwendung der Regel von L’Hospital?

Lösung (Berechnung von Grenzwert ohne L’Hospital 3)

Teilaufgabe 1: Durch Einsetzen ergibt sich

 

Da der Grenzwert vom Typ   ist, ist L’Hospital nicht anwendbar. Wenden wir die Regel trotzdem an, so erhalten wir das falsche Ergebnis

 

Teilaufgabe 2: Da der Grenzwert vom Typ   ist, verwenden wir zunächst unseren Standard-Umformungstrick

 

Für den Ausdruck im Exponenten gilt nun  . Wegen   ergibt sich

 

Im Exponenten ist L’Hospital erneut nicht anwendbar. Wenden wir die Regel an, so erhalten wir

 

Wegen   folgt das falsche Ergebnis

 

Folgerung: Hinreichendes Kriterium für DifferenzierbarkeitBearbeiten

Satz (Kriterium für Differenzierbarkeit)

Sei   ein offenes Intervall und  . Weiter sei   stetig auf   und differenzierbar auf  . Außerdem existiere  . Dann ist f differenzierbar in   und es gilt  .

Beweis (Kriterium für Differenzierbarkeit)

Wir müssen zeigen:

 

Nun gilt   und  . Außerdem sind   und   differenzierbar für  , und  . Mit der Regel von L’Hospital gilt

 

Damit ist   in   differenzierbar mit  .

Alternativer Beweis (Kriterium für Differenzierbarkeit)

Ebenso können wir mit Hilfe des Mittelwertsatzes

 

zeigen. Sei dazu   eine Folge in   mit  . Dann ist   nach Voraussetzung für alle   stetig auf   (bzw.  ) und differenzierbar auf   (bzw.  ). Nach dem Mittelwertsatz gibt es für alle   ein   (bzw.  ) mit

 

Da nun   und   (bzw.  ), gilt auch  . Wegen   folgt  . Also erhalten wir

 

Da   mit   beliebig war, ist

 

Hinweis

Eine Funktion, die das Kriterium aus dem Satz erfüllt, ist nicht nur differenzierbar im Punkt  . Wegen   ist die Ableitungsfunktion sogar stetig in  . Daher ist das Kriterium auch hinreichend und nicht notwendig für die Differenzierbarkeit in  .

Verständnisfrage: Gib eine differenzierbare Funktion an, die die Voraussetzungen des Satzes nicht erfüllt.

Wir suchen eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung in einem Punkt nicht stetig ist. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion

 

Sie hat in   die Ableitung  , ist dort jedoch nicht stetig, da der Grenzwert

 

nicht existiert.

Aufgabe (Differenzierbarkeit der Si-Funktion)

Sei

 

Zeige, ohne Benutzung des Differentialquotienten, dass   im Nullpunkt differenzierbar ist, und berechne die Ableitung  .

Lösung (Differenzierbarkeit der Si-Funktion)

Schritt 1:   ist stetig in null

Mit der Regel von L’Hospital gilt

 

Also ist   stetig in null.

Schritt 2:   ist differenzierbar in  

Da   und   auf   differenzierbar sind, ist mit der Quotientenregel auch   dort differenzierbar. Weiter gilt für  :

 

Schritt 3:   ist differenzierbar in null

Wir benutzen das Kriterium aus dem Satz zuvor. (Wegen Schritt 1 und 2 anwendbar.) Es gilt