Grundlagen der Mathematik: Zusammenfassung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

LogikBearbeiten

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Wahrheitstabellen der JunktorenBearbeiten

Wahrheitstabelle: Negation
   
   
   
Wahrheitstabelle: Konjunktion
     
     
     
     
     
Wahrheitstabelle: Disjunktion
     
     
     
     
     
Wahrheitstabelle: Implikation
     
     
     
     
     
Wahrheitstabelle: Äquivalenz
     
     
     
     
     

TautologienBearbeiten

Name der Umformungsregeln Tautologie Bedeutung
Assoziativgesetze   Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Weise die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden.
 
Kommutativgesetze   Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden.
 
Distributivgesetze   Eine Disjunktion kann in eine Konjunktion reingezogen werden und umgekehrt.
 
Absorptionsgesetze  
 
Idempotenzgesetze  
 
Gesetze vom ausgeschlossenen Dritten  
 
Darstellung von Implikation und Äquivalenz   Mit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden. So können bestimmte Aufgaben gelöst werden (wie: Finden sie die Negation der Implikation).
 
 
  Prinzip der Kontraposition (Diese Äquivalenz kann insbesondere für Beweise verwendet werden)
Negation von zusammengsetzten Aussagen   Bei der Negation einer Und- bzw. Oder-Verknüpfung wird die Negation in die Klammer gesetzt und das entsprechende Symbol der Verknüpfung umgedreht.
 
 
 
Negation quantifizierter Aussagen  
 
 
 
Gesetze mit „wahr“ und „falsch“  
 
 
 
Doppelte Verneinung   Doppelte Verneinung ist wieder die Ausgangsaussage.
Äquivalenzen zu quantifizierte Aussagen   Aussagen mit dem Allquantor können durch den Existenzquantor ausgedrückt werden und umgekehrt.
 
  Allquantoren sind untereinander vertauschbar.
  Existenzquantoren sind untereinander vertauschbar.
  Allquantoren können aus Konjunktionen rausgezogen werden.
  Existenzquantoren können aus Disjunktionen rausgezogen werden.
Implikation zu quantifizierten Aussagen   Implikationen sind im Allgemeinen nicht umkehrbar.
 
 
 
 

VokabellisteBearbeiten

natürliche Sprache formale Schreibweise
nicht    
  und    
  oder   *)  
Wenn  , dann    
  dann, wenn  
Aus   folgt  
  impliziert  
  ist hinreichend für  
  ist notwendig für  
Genau dann  , wenn    
Dann und nur dann  , wenn  
  ist gleichwertig mit  
  ist äquivalent zu  
  ist notwendig und hinreichend für  
Für alle   ist    
Jedes   erfüllt  
Es ist A(x) für alle  
Für alle   aus   ist    
Jedes   der Menge   erfüllt  
Es ist A(x) für alle  
Es gibt ein   mit    
Es existiert ein  , so dass   gilt
Für mindestens ein   gilt  
Es gibt ein   aus   mit    
Für mindestens ein   gilt  
Es gibt genau ein   mit    
Es existiert genau ein  , so dass   gilt
Für genau ein   gilt  
Es gibt genau ein   aus   mit    
Für genau ein   gilt  

*) Hier ist „oder“ als „und/oder“ zu verstehen

Umformungsregeln zur NegationBearbeiten

zu bestimmende Negation umgeformte Aussage
   
   
   
   
   
   
   
   
   

BeweisBearbeiten

Definition (Beweis)

Ein Beweis ist eine fehlerfreie Herleitung eines mathematischen Satzes   aus Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen.

BeweisartenBearbeiten

Direkter BeweisBearbeiten

 

WiderspruchsbeweisBearbeiten

 

BeweismethodenBearbeiten

Vollständige FallunterscheidungBearbeiten

 

Beweis durch KontrapositionBearbeiten

Anstatt eine Implikation   zu beweisen, kann man alternativ auch die Implikation   beweisen.

Vollständige InduktionBearbeiten

Sei   eine Aussageform in der freien Variablen  . Sei   (oder  ) eine wahre Aussage (Induktionsanfang) und die Implikation   für alle   erfüllt (Induktionsschritt), dann ist die Aussageform allgemeingültig in  .

MengenlehreBearbeiten

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Verknüpfungen zwischen MengenBearbeiten

Name der Verknüpfung Schreibweise Aussprache Diagramm Definition
Durchschnitt     geschnitten       - die Menge aller Objekte, die sowohl in der Menge   als auch in der Menge   enthalten sind
Vereinigung     vereinigt       - die Menge aller Objekte, die in mindestens einer der Mengen   enthalten sind
Differenz     ohne       - die Menge aller Objekte, die in der Menge   enthalten sind und keine Elemente der Menge   sind
Symmetrische Differenz   „symmetrische Differenz von   und       - die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen   und   enthalten sind
Komplement   „Komplement von       - die Menge aller Objekte (der Grundmenge), die keine Elemente von   sind

GesetzmäßigkeitenBearbeiten

AssoziativgesetzeBearbeiten

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  •  
  •  

KommutativgesetzeBearbeiten

  •  
  •  
  •  

DistributivgesetzeBearbeiten

  •  
  •  
  •  

IdempotenzgesetzeBearbeiten

  •  
  •  

AbsorptionsgesetzeBearbeiten

  •  
  •  

De-Morgansche RegelnBearbeiten

  •  
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Gesetzmäßigkeiten zur DifferenzBearbeiten

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  •  

Weitere RegelnBearbeiten

Im Folgenden sei   die Grundmenge.

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RelationBearbeiten

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Eigenschaften homogener, binärer RelationenBearbeiten

Im Folgenden sei   eine homogene Relation auf der Grundmenge  , also  .

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise Merkmale
reflexiv Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation.  
  • Im Pfeildiagramm ist jedes Objekt mit sich selbst verbunden.
  • In der Relationsmatrix ist die Hauptdiagonale voll besetzt.
irreflexiv Es gibt kein Objekt, welches mit sich selbst in Relation steht  
  • Im Pfeildiagramm steht kein Objekt mit sich selbst in Relation
  • In der Relationsmatrix ist die Hauptdiagonale komplett unbesetzt.
symmetrisch Steht ein Objekt   in Relation mit dem Objekt  , dann steht auch   in Relation mit    
  • Die Relationsmatrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale
antisymmetrisch Zwei verschiedene Objekte   und   stehen nicht gegenseitig in Relation zueinander.  
  • Die Relationsmatrix ist komplementär zu Hauptdiagonale.
transitiv Steht   mit   und   mit   in Relation, dann steht auch   mit   in Relation.  
linear Für jeweils zwei Objekte   und   stehen   mit   und/oder   mit   in Relation.  

AbbildungBearbeiten

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Eigenschaften von AbbildungenBearbeiten

Die folgende Tabelle bezieht sich auf Abbildungen  .

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise Beispiel
injektiv
  • Verschiedene Argumente werden auf verschiedene Funktionswerte abgebildet.
  • Jeder Funktionswert besitzt höchstens ein Urbild.
  • Ist  , dann ist  
  •  
  •  

 

surjektiv
  • Jeder Funktionswert wird mindestens einmal durch die Abbildung getroffen.
  • Jeder Funktionswert besitzt mindestens ein Urbild.
  •  

 

bijektiv bzw. umkehrbar
  • Die Abbildung ist surjektiv und injektiv.
  • Jeder Funktionswert besitzt genau ein Urbild.
  • Es gibt für die Funktion eine Umkehrfunktion.

 

Eigenschaften binärer VerknüpfungenBearbeiten

Die folgende Tabelle bezieht sich auf binäre Verknüpfungen auf der Grundmenge  .

Eigenschaft Definition Definition in formaler Schreibweise
assoziativ Werden mehrere Verknüpfungen hintereinander ausgeführt, ist die Reihenfolge, in welcher die einzelnen Verknüpfungen ausgerechnet werden, für das Ergebnis egal  
kommutativ Für das Ergebnis ist die Reihenfolge der Operanden egal  

Mächtigkeit von MengenBearbeiten

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Summe und ProduktBearbeiten

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Eigenschaften der Summen- und ProduktschreibweiseBearbeiten

Eigenschaften der Summe
Eigenschaft Erklärung
  Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
  Summen können in zwei Summen aufgeteilt werden.
  Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition der Summe.
  Konstantenregel: Konstanten können aus Summen rausgezogen werden.
 
  Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Summen bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachsummen ist egal.
  Allgemeines Distributivgesetz
Eigenschaften des Produkts
Eigenschaft Erklärung
  Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
  Produkte können in mehrere Produkte aufgeteilt werden.
  Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition des Produkts.
  Konstantenregel: Konstanten können aus Produkten rausgezogen werden (Beachte den dabei entstehenden Exponenten  ).
 
  Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Produkte bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachprodukten ist egal.

BinomialkoeffizientBearbeiten

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RechenregelnBearbeiten

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