Grundlagen der Mathematik: Zusammenfassung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
LogikBearbeiten
Mind Map
Wahrheitstabellen der JunktorenBearbeiten
TautologienBearbeiten
Name der Umformungsregeln | Tautologie | Bedeutung |
---|---|---|
Assoziativgesetze | Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Weise die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. | |
Kommutativgesetze | Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. | |
Distributivgesetze | Eine Disjunktion kann in eine Konjunktion reingezogen werden und umgekehrt. | |
Absorptionsgesetze | ||
Idempotenzgesetze | ||
Gesetze vom ausgeschlossenen Dritten | ||
Darstellung von Implikation und Äquivalenz | Mit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden. So können bestimmte Aufgaben gelöst werden (wie: Finden sie die Negation der Implikation). | |
Prinzip der Kontraposition (Diese Äquivalenz kann insbesondere für Beweise verwendet werden) | ||
Negation von zusammengsetzten Aussagen | Bei der Negation einer Und- bzw. Oder-Verknüpfung wird die Negation in die Klammer gesetzt und das entsprechende Symbol der Verknüpfung umgedreht. | |
Negation quantifizierter Aussagen | ||
Gesetze mit „wahr“ und „falsch“ | ||
Doppelte Verneinung | Doppelte Verneinung ist wieder die Ausgangsaussage. | |
Äquivalenzen zu quantifizierte Aussagen | Aussagen mit dem Allquantor können durch den Existenzquantor ausgedrückt werden und umgekehrt. | |
Allquantoren sind untereinander vertauschbar. | ||
Existenzquantoren sind untereinander vertauschbar. | ||
Allquantoren können aus Konjunktionen rausgezogen werden. | ||
Existenzquantoren können aus Disjunktionen rausgezogen werden. | ||
Implikation zu quantifizierten Aussagen | Implikationen sind im Allgemeinen nicht umkehrbar. | |
VokabellisteBearbeiten
natürliche Sprache | formale Schreibweise |
---|---|
nicht | |
und | |
oder *) | |
Wenn , dann | |
dann, wenn | |
Aus folgt | |
impliziert | |
ist hinreichend für | |
ist notwendig für | |
Genau dann , wenn | |
Dann und nur dann , wenn | |
ist gleichwertig mit | |
ist äquivalent zu | |
ist notwendig und hinreichend für | |
Für alle ist | |
Jedes erfüllt | |
Es ist A(x) für alle | |
Für alle aus ist | |
Jedes der Menge erfüllt | |
Es ist A(x) für alle | |
Es gibt ein mit | |
Es existiert ein , so dass gilt | |
Für mindestens ein gilt | |
Es gibt ein aus mit | |
Für mindestens ein gilt | |
Es gibt genau ein mit | |
Es existiert genau ein , so dass gilt | |
Für genau ein gilt | |
Es gibt genau ein aus mit | |
Für genau ein gilt |
*) Hier ist „oder“ als „und/oder“ zu verstehen
Umformungsregeln zur NegationBearbeiten
zu bestimmende Negation | umgeformte Aussage |
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BeweisBearbeiten
Definition (Beweis)
Ein Beweis ist eine fehlerfreie Herleitung eines mathematischen Satzes aus Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen.
BeweisartenBearbeiten
Direkter BeweisBearbeiten
WiderspruchsbeweisBearbeiten
BeweismethodenBearbeiten
Vollständige FallunterscheidungBearbeiten
Beweis durch KontrapositionBearbeiten
Anstatt eine Implikation zu beweisen, kann man alternativ auch die Implikation beweisen.
Vollständige InduktionBearbeiten
Sei eine Aussageform in der freien Variablen . Sei (oder ) eine wahre Aussage (Induktionsanfang) und die Implikation für alle erfüllt (Induktionsschritt), dann ist die Aussageform allgemeingültig in .
MengenlehreBearbeiten
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Verknüpfungen zwischen MengenBearbeiten
GesetzmäßigkeitenBearbeiten
AssoziativgesetzeBearbeiten
KommutativgesetzeBearbeiten
DistributivgesetzeBearbeiten
IdempotenzgesetzeBearbeiten
AbsorptionsgesetzeBearbeiten
De-Morgansche RegelnBearbeiten
Gesetzmäßigkeiten zur DifferenzBearbeiten
Weitere RegelnBearbeiten
Im Folgenden sei die Grundmenge.
RelationBearbeiten
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Eigenschaften homogener, binärer RelationenBearbeiten
Im Folgenden sei eine homogene Relation auf der Grundmenge , also .
Eigenschaft | Definition | Definition in formaler Schreibweise | Merkmale |
---|---|---|---|
reflexiv | Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation. |
| |
irreflexiv | Es gibt kein Objekt, welches mit sich selbst in Relation steht |
| |
symmetrisch | Steht ein Objekt in Relation mit dem Objekt , dann steht auch in Relation mit |
| |
antisymmetrisch | Zwei verschiedene Objekte und stehen nicht gegenseitig in Relation zueinander. |
| |
transitiv | Steht mit und mit in Relation, dann steht auch mit in Relation. | ||
linear | Für jeweils zwei Objekte und stehen mit und/oder mit in Relation. |
AbbildungBearbeiten
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Eigenschaften von AbbildungenBearbeiten
Die folgende Tabelle bezieht sich auf Abbildungen .
Eigenschaft | Definition | Definition in formaler Schreibweise | Beispiel |
---|---|---|---|
injektiv |
|
|
|
surjektiv |
|
|
|
bijektiv bzw. umkehrbar |
|
Eigenschaften binärer VerknüpfungenBearbeiten
Die folgende Tabelle bezieht sich auf binäre Verknüpfungen auf der Grundmenge .
Eigenschaft | Definition | Definition in formaler Schreibweise |
---|---|---|
assoziativ | Werden mehrere Verknüpfungen hintereinander ausgeführt, ist die Reihenfolge, in welcher die einzelnen Verknüpfungen ausgerechnet werden, für das Ergebnis egal | |
kommutativ | Für das Ergebnis ist die Reihenfolge der Operanden egal |
Mächtigkeit von MengenBearbeiten
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Summe und ProduktBearbeiten
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Eigenschaften der Summen- und ProduktschreibweiseBearbeiten
Eigenschaft | Erklärung |
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Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt. | |
Summen können in zwei Summen aufgeteilt werden. | |
Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition der Summe. | |
Konstantenregel: Konstanten können aus Summen rausgezogen werden. | |
Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Summen bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachsummen ist egal. | |
Allgemeines Distributivgesetz |
Eigenschaft | Erklärung |
---|---|
Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt. | |
Produkte können in mehrere Produkte aufgeteilt werden. | |
Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition des Produkts. | |
Konstantenregel: Konstanten können aus Produkten rausgezogen werden (Beachte den dabei entstehenden Exponenten ). | |
Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Produkte bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachprodukten ist egal. |