Grundlagen der Mathematik: Zusammenfassung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Logik Bearbeiten
Mind Map
Wahrheitstabellen der Junktoren Bearbeiten
Tautologien Bearbeiten
Name der Umformungsregeln | Tautologie | Bedeutung |
---|---|---|
Assoziativgesetze | Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Weise die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. | |
Kommutativgesetze | Bei der Disjunktion und bei der Konjunktion ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Teilaussagen verknüpft werden. | |
Distributivgesetze | Eine Disjunktion kann in eine Konjunktion reingezogen werden und umgekehrt. | |
Absorptionsgesetze | ||
Idempotenzgesetze | ||
Gesetze vom ausgeschlossenen Dritten | ||
Darstellung von Implikation und Äquivalenz | Mit Hilfe dieser Gesetze kann die Implikation und die Äquivalenz auf Aussagen mit anderen Junktoren zurückgeführt werden. So können bestimmte Aufgaben gelöst werden (wie: Finden sie die Negation der Implikation). | |
Prinzip der Kontraposition (Diese Äquivalenz kann insbesondere für Beweise verwendet werden) | ||
Negation von zusammengsetzten Aussagen | Bei der Negation einer Und- bzw. Oder-Verknüpfung wird die Negation in die Klammer gesetzt und das entsprechende Symbol der Verknüpfung umgedreht. | |
Negation quantifizierter Aussagen | ||
Gesetze mit „wahr“ und „falsch“ | ||
Doppelte Verneinung | Doppelte Verneinung ist wieder die Ausgangsaussage. | |
Äquivalenzen zu quantifizierte Aussagen | Aussagen mit dem Allquantor können durch den Existenzquantor ausgedrückt werden und umgekehrt. | |
Allquantoren sind untereinander vertauschbar. | ||
Existenzquantoren sind untereinander vertauschbar. | ||
Allquantoren können aus Konjunktionen rausgezogen werden. | ||
Existenzquantoren können aus Disjunktionen rausgezogen werden. | ||
Implikation zu quantifizierten Aussagen | Implikationen sind im Allgemeinen nicht umkehrbar. | |
Vokabelliste Bearbeiten
natürliche Sprache | formale Schreibweise |
---|---|
nicht | |
und | |
oder *) | |
Wenn , dann | |
dann, wenn | |
Aus folgt | |
impliziert | |
ist hinreichend für | |
ist notwendig für | |
Genau dann , wenn | |
Dann und nur dann , wenn | |
ist gleichwertig mit | |
ist äquivalent zu | |
ist notwendig und hinreichend für | |
Für alle ist | |
Jedes erfüllt | |
Es ist A(x) für alle | |
Für alle aus ist | |
Jedes der Menge erfüllt | |
Es ist A(x) für alle | |
Es gibt ein mit | |
Es existiert ein , so dass gilt | |
Für mindestens ein gilt | |
Es gibt ein aus mit | |
Für mindestens ein gilt | |
Es gibt genau ein mit | |
Es existiert genau ein , so dass gilt | |
Für genau ein gilt | |
Es gibt genau ein aus mit | |
Für genau ein gilt |
*) Hier ist „oder“ als „und/oder“ zu verstehen
Umformungsregeln zur Negation Bearbeiten
zu bestimmende Negation | umgeformte Aussage |
---|---|
Beweis Bearbeiten
Definition (Beweis)
Ein Beweis ist eine fehlerfreie Herleitung eines mathematischen Satzes aus Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen.
Beweisarten Bearbeiten
Direkter Beweis Bearbeiten
Widerspruchsbeweis Bearbeiten
Beweismethoden Bearbeiten
Vollständige Fallunterscheidung Bearbeiten
Beweis durch Kontraposition Bearbeiten
Anstatt eine Implikation zu beweisen, kann man alternativ auch die Implikation beweisen.
Vollständige Induktion Bearbeiten
Sei eine Aussageform in der freien Variablen . Sei (oder ) eine wahre Aussage (Induktionsanfang) und die Implikation für alle erfüllt (Induktionsschritt), dann ist die Aussageform allgemeingültig in .
Mengenlehre Bearbeiten
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Verknüpfungen zwischen Mengen Bearbeiten
Gesetzmäßigkeiten Bearbeiten
Assoziativgesetze Bearbeiten
Kommutativgesetze Bearbeiten
Distributivgesetze Bearbeiten
Idempotenzgesetze Bearbeiten
Absorptionsgesetze Bearbeiten
De-Morgansche Regeln Bearbeiten
Gesetzmäßigkeiten zur Differenz Bearbeiten
Weitere Regeln Bearbeiten
Im Folgenden sei die Grundmenge.
Relation Bearbeiten
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Eigenschaften homogener, binärer Relationen Bearbeiten
Im Folgenden sei eine homogene Relation auf der Grundmenge , also .
Eigenschaft | Definition | Definition in formaler Schreibweise | Merkmale |
---|---|---|---|
reflexiv | Jedes Objekt der Grundmenge steht mit sich selbst in Relation. |
| |
irreflexiv | Es gibt kein Objekt, welches mit sich selbst in Relation steht |
| |
symmetrisch | Steht ein Objekt in Relation mit dem Objekt , dann steht auch in Relation mit |
| |
antisymmetrisch | Zwei verschiedene Objekte und stehen nicht gegenseitig in Relation zueinander. |
| |
transitiv | Steht mit und mit in Relation, dann steht auch mit in Relation. | ||
linear | Für jeweils zwei Objekte und stehen mit und/oder mit in Relation. |
Abbildung Bearbeiten
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Eigenschaften von Abbildungen Bearbeiten
Die folgende Tabelle bezieht sich auf Abbildungen .
Eigenschaft | Definition | Definition in formaler Schreibweise | Beispiel |
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injektiv |
|
|
|
surjektiv |
|
|
|
bijektiv bzw. umkehrbar |
|
Eigenschaften binärer Verknüpfungen Bearbeiten
Die folgende Tabelle bezieht sich auf binäre Verknüpfungen auf der Grundmenge .
Eigenschaft | Definition | Definition in formaler Schreibweise |
---|---|---|
assoziativ | Werden mehrere Verknüpfungen hintereinander ausgeführt, ist die Reihenfolge, in welcher die einzelnen Verknüpfungen ausgerechnet werden, für das Ergebnis egal | |
kommutativ | Für das Ergebnis ist die Reihenfolge der Operanden egal |
Mächtigkeit von Mengen Bearbeiten
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Summe und Produkt Bearbeiten
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Eigenschaften der Summen- und Produktschreibweise Bearbeiten
Eigenschaft | Erklärung |
---|---|
Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt. | |
Summen können in zwei Summen aufgeteilt werden. | |
Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition der Summe. | |
Konstantenregel: Konstanten können aus Summen rausgezogen werden. | |
Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Summen bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachsummen ist egal. | |
Allgemeines Distributivgesetz |
Eigenschaft | Erklärung |
---|---|
Indexumbennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt. | |
Produkte können in mehrere Produkte aufgeteilt werden. | |
Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition des Produkts. | |
Konstantenregel: Konstanten können aus Produkten rausgezogen werden (Beachte den dabei entstehenden Exponenten ). | |
Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Produkte bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachprodukten ist egal. |