Satz von Rolle – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

Satz von Rolle – Veranschaulichung und Erklärung (YouTube-Video vom Kanal „MJ Education“)

Wir wissen bereits vom Satz vom Minimum und Maximum, dass eine stetige Funktion $f$ auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ ein Maximum und ein Minimum annimmt:

Die Funktion f ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an

Dies gilt natürlich auch, wenn $f(a)=f(b)$ ist. In diesem Fall muss es (wenn die Funktion nicht konstant ist) ein Maximum oder ein Minimum im Inneren des Definitionsbereichs geben. In folgender Abbildung liegt sowohl das Maximum als auch das Minimum im Inneren von $[a,b]$, also im offenen Intervall $(a,b)$:

Skizze eines Spezialfalls zum Satz vom Maximum und Minimum

Nehmen wir nun zusätzlich an, dass $f$ auf $(a,b)$ differenzierbar ist. Sei $\xi$ die Maximal- bzw. Minimalstelle. Wenn $\xi$ im Inneren des Definitionsbereichs liegt, wenn also $\xi \in (a,b)$ ist, dann ist $f'(\xi )=0$ nach dem notwendigen Hauptkriterium für Extrema einer differenzierbaren Funktion. Anschaulich bedeutet dies, dass die Tangente an $f$ in $\xi$ waagrecht liegt. Genau dies besagt der Satz von Rolle: Für jede stetige Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $f(a)=f(b)$, die in $(a,b)$ differenzierbar ist, gibt es ein Argument $\xi \in (a,b)$ mit $f'(\xi )=0$.

• 
  Die Ableitung im Maximum von $f$ ist null.
• 
  Die Ableitung im Minimum von $f$ ist null.

Natürlich kann $f$ in $(a,b)$ auch mehrere (teils lokale) Maximal- und Minimalstellen annehmen. Außerdem kann es sein, dass $f$ in $(a,b)$ nur ein Maximum (und kein Minimum) oder ein Minimum (und kein Maximum) im Inneren des Definitionsbereichs annimmt:

• 
  Die Funktion $f$ besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Maximum und kein Minimum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.
• 
  Die Funktion $f$ besitzt im Inneren des Definitionsbereichs nur ein Minimum und kein Maximum. An dieser Stelle ist die Ableitung null.

Ein Sonderfall ist der, dass $f$ konstant auf $[a,b]$ ist. In diesem Fall gilt $f'(x)=0$ für alle $x\in (a,b)$:

Skizze eines Spezialfalls zum Satz vom Maximum und Minimum

Egal welchen Fall wir uns angeschaut haben, immer gab es mindestens eine Stelle im Inneren des Definitionsbereichs, wo die Ableitung der Funktion gleich null ist.

Satz von Rolle

Der Satz von Rolle. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Der nach Michel Rolle (1652-1719) benannte Satz stellt einen Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung dar und lautet wie folgt:

Satz (Satz von Rolle)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $a<b$ und $f(a)=f(b)$. Außerdem sei $f$ auf dem offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar. Dann existiert ein $\xi \in (a,b)$ mit $f'(\xi )=0$.

Ist $f$ auf $(a,b)$ differenzierbar, so ist $f$ auf $(a,b)$ stetig. Daher genügt es zur Prüfung der Voraussetzungen, die Stetigkeit von $f$ in den Randpunkten $a$ und $b$ nachzuweisen.

Beispiel (Satz von Rolle)

Betrachten wir die Funktion $f:[0,2]\to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}-2x-3$. Es ist

• $f$ ist als Polynom stetig auf $[0,2]$
• $f(0)=-3=f(2)$
• $f$ ist als Polynom differenzierbar auf $(0,2)$

Der Satz von Rolle besagt nun: Es gibt mindestens ein $\xi \in (0,2)$ mit $f'(\xi )=0$.

Frage: Wie lautet ein Wert $\xi$, wo die Ableitung von $f$ im obigen Beispiel gleich null ist?

Graph und Ableitungsgraph von $f$

Die Ableitung von $f$ ist $f'(x)=2x-2$. Nun können wir die Nullstellen von $f$ bestimmen:

${\begin{aligned}&f'(\xi )=2\xi -2=0\\\iff \ &2\xi =2\\\iff \ &\xi =1\end{aligned}}$

An der Stelle $\xi =1$ ist die Ableitung von $f$ gleich null. Dieser Wert liegt im Definitionsbereich $[0,2]$ von $f$ und ist die einzige Nullstelle der Ableitung. Damit ist $\xi =1$ der gesuchte Wert.

Zu den Prämissen des Satzes

Im Satz von Rolle gibt es mehrere notwendige Voraussetzungen. Wenn wir auch nur eine davon fallen lassen, gilt der Satz von Rolle nicht mehr.

Voraussetzung 1: $f$ ist auf $[a,b]$ stetig

Aufgabe (Voraussetzung der Stetigkeit)

Finde eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$, die auf $(a,b)$ differenzierbar ist und für die $f(a)=f(b)$ gilt, bei der aber der Satz von Rolle nicht gilt.

Die gesuchte Funktion $f$ erfüllt alle Voraussetzungen des Satzes von Rolle bis auf die Stetigkeit im kompletten Definitionsbereich. Dieses Beispiel zeigt damit, dass die Forderung der Stetigkeit notwendig für den Satz von Rolle ist.

Lösung (Voraussetzung der Stetigkeit)

Graph der Funktion $f$

$f:[0,1]\to \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}x&{\text{ falls }}x\neq 1,\\0&{\text{ falls }}x=1,\end{cases}}$

ist differenzierbar auf $(0,1)$ und es gilt $f(0)=0=f(1)$. Weil aber $f'(x)=1$ für alle $x\in (0,1)$ ist, gibt es kein $\xi \in (0,1)$ mit $f'(\xi )=0$.

Voraussetzung 2: $f(a)=f(b)$:

Aufgabe (Gleichheit der Funktionswerte)

Finde eine stetige Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$, die auf $(a,b)$ differenzierbar ist, für die der Satz von Rolle nicht gilt.

Diese Aufgabe zeigt, dass die Voraussetzung $f(a)=f(b)$ für den Satz von Rolle notwendig ist.

Lösung (Gleichheit der Funktionswerte)

Die auf $[0,1]$ definierte Identitätsfunktion $f$ mit $f(x)=x$

Eine solche Funktion ist zum Beispiel $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x$. Diese Funktion ist auf $[0,1]$ stetig und auch auf $(0,1)$ differenzierbar. Es gilt jedoch $f(0)=0\neq 1=f(1)$.

Für diese Funktion ist $f'(x)=1$ für alle $x\in (0,1)$. Damit gibt es kein $\xi \in (0,1)$ mit $f'(\xi )=0$.

Voraussetzung 3: $f$ ist auf $(a,b)$ differenzierbar:

Aufgabe (Voraussetzung der Differenzierbarkeit)

Finde eine stetige Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $f(a)=f(b)$, für die der Satz von Rolle nicht gilt.

Lösung (Voraussetzung der Differenzierbarkeit)

Plot der Funktion $f$

Die Funktion $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}x&{\text{ falls }}x\leq {\tfrac {1}{2}}\\1-x&{\text{ falls }}x>{\tfrac {1}{2}}\end{cases}}$

ist stetig und es gilt $f(0)=0=f(1)$. Diese Funktion ist nur in den Intervallen $\left[0,{\tfrac {1}{2}}\right)$ und $\left({\tfrac {1}{2}},1\right]$ differenzierbar. Die Ableitungsfunktion $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ besitzt dabei die Zuordnungsvorschrift:

$g(x)={\begin{cases}1&x<{\tfrac {1}{2}}\\-1&x>{\tfrac {1}{2}}\end{cases}}$

Damit gibt es kein $\xi \in (0,1)$ mit $f'(\xi )=0$.

Beweis

Zusammenfassung des Beweises (Satz von Rolle)

Wir betrachten zunächst den Spezialfall, dass $f$ eine konstante Funktion ist. Hier ist die Ableitung überall gleich null. Wenn $f$ nicht konstant ist, benutzen wir den Satz vom Maximum und Minimum, um ein Maximum oder Minimum im Inneren des Definitionsbereichs zu finden. Dort gilt nach dem notwendigen Kriterium für die Existenz eines Extremums, dass die Ableitung in der Extremstelle verschwindet.

Beweis (Satz von Rolle)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $a<b$, die auf $(a,b)$ differenzierbar ist. Sei außerdem $f(a)=f(b)$.

Fall 1: $f$ ist konstant.

Sei $f$ konstant. Dann gilt $f'(\xi )=0$ für alle $\xi \in (a,b)$. Damit gibt es mindestens ein $\xi \in (a,b)$ mit $f'(\xi )=0$ (es kann ein beliebiges $\xi$ aus $(a,b)$ gewählt werden). Der Satz von Rolle ist erfüllt.

Fall 2: $f$ ist nicht konstant.

Sei $f$ ist nicht konstant. Nach dem Satz vom Maximum und Minimum nimmt $f$ auf dem kompakten Intervall $[a,b]$ sowohl Maximum, als auch Minimum an. Das Maximum oder das Minimum von $f$ muss von $f(a)=f(b)$ verschieden sein, da sonst $f$ konstant wäre. Damit wird (mindestens) ein Extremum an einer Stelle $\xi \in (a,b)$ angenommen.

Weil $f$ auf $(a,b)$ differenzierbar ist, ist auch $f$ an der Extremstelle $\xi$ differenzierbar. Hier ist nach dem notwendigen Kriterium für Extrema $f'(\xi )=0$. Somit existiert mindestens ein $\xi \in (a,b)$, wo die Ableitung gleich null ist. Der Satz von Rolle ist auch in diesem Fall bewiesen.

Übungsaufgabe

Aufgabe (Aufgabe)

Sei $k\in \mathbb {N}$. Zeige mit dem Satz von Rolle, dass die Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f:[0,k\pi ]\to [-1,1]$ mit $f(x)=\sin(x)$ mindestens $k$ Nullstellen besitzt.

Lösung (Aufgabe)

Die Sinusfunktion ist auf ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar, also auch stetig. Außerdem gilt $\sin(l\pi )=0$ für alle $l\in \mathbb {Z}$. Nach dem Satz von Rolle existiert ein $\xi \in (l\pi ,(l+1)\pi )$ mit $f'(\xi )=0$. Für jedes $l\in \mathbb {N}$ mit $0\leq l<k$ finden wir ein $\xi$, wo die Ableitung gleich null ist. Da es $k$ verschiedene natürliche Zahlen für $l$ mit $0\leq l<k$ gibt, können wir auch $k$ verschiedene Nullstellen $\xi$ der Ableitungsfunktion finden. Die Ableitung von $f$ muss damit mindestens $k$ verschiedene Nullstellen besitzen.

Anwendung: Nullstellen von Funktionen

Der Satz von Rolle kann auch in Existenzbeweisen von Nullstellen eingesetzt werden. Mit diesem lässt sich nämlich zeigen, dass eine Funktion auf einem Intervall höchstens eine Nullstelle besitzt. Andererseits lässt sich mit dem Zwischenwertsatz zeigen, dass eine Funktion in einem Intervall mindestens eine Nullstelle hat. Zusammen kann so die Existenz von genau einer Nullstelle gezeigt werden.

Beispiel (Nullstelle eines Polynoms)

Betrachten wir das Polynom $p(x)=x^{3}+x+1$ auf dem Intervall $[-1,0]$. Für dieses gilt

• $p$ ist stetig auf $[-1,0]$. Außerdem ist $p(-1)=-1<0$ und $p(0)=1>0$. Nach dem Zwischenwertsatz hat das Polynom auf $[-1,0]$ mindestens eine Nullstelle.
• $p$ ist differenzierbar auf $(-1,0)$ mit $p'(x)=3x^{2}+1$. Wir nehmen nun an, dass $p$ auf $[-1,0]$ zwei Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ hat. Sei dabei $x_{1}<x_{2}$. Es gilt also $p(x_{1})=0=p(x_{2})$. Da $p$ auf $[x_{1},x_{2}]\subseteq [-1,0]$ stetig und auf $(x_{1},x_{2})\subseteq (-1,0)$ differenzierbar ist, kann der Satz von Rolle angewandt werden. Es müsste daher ein $\xi \in (x_{1},x_{2})$ mit $p'(\xi )=3\xi ^{2}+1=0$ geben. Nun hat aber $p'$ wegen $p'(x)=\underbrace {3x^{2}} _{\geq 0}+1\geq 1$ keine Nullstellen. Also kann $p$ in $[-1,0]$ nicht mehr als eine Nullstelle besitzen.

Aus beiden Punkten ergibt sich insgesamt, dass $p$ in $[-1,0]$ genau eine Nullstelle hat.

Weitere Übungsaufgabe

Aufgabe (Nachweis einer Nullstelle)

Zeige, dass

$f:[1,2]\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {2}{x^{4}}}-x+1$

genau eine Nullstelle besitzt.

Zusammenfassung des Beweises (Nachweis einer Nullstelle)

Zunächst zeigen wir mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass $f$ mindestens eine Nullstelle hat. Anschließend zeigen wir mit Hilfe des Satzes von Rolle, dass $f$ höchstens eine Nullstelle hat. Aus beiden Schritten folgt die Behauptung.

Beweis (Nachweis einer Nullstelle)

Beweisschritt: $f$ hat mindestens eine Nullstelle.

$f$ ist stetig als Komposition stetiger Funktionen. Weiter ist $f(1)={\tfrac {2}{1}}-1+1=2>0$ und $f(2)={\tfrac {2}{16}}-2+1=-{\tfrac {7}{8}}<0$. Nach dem Zwischenwertsatz hat die Funktion daher mindestens eine Nullstelle.

Beweisschritt: $f$ hat höchstens eine Nullstelle.

$f$ ist differenzierbar auf $(1,2)$ als Komposition differenzierbarer Funktionen. Dabei ist $f'(x)=-4{\tfrac {2}{x^{5}}}-1=-{\tfrac {8}{x^{5}}}-1$. Wir nehmen nun an, dass $f$ auf $[1,2]$ verschiedene Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ besitzt. Nehmen wir an, dass $x_{1}<x_{2}$ ist. Es gilt somit $f(x_{1})=0=f(x_{2})$.

$f$ ist auf $[x_{1},x_{2}]\subseteq [1,2]$ stetig und auf $(x_{1},x_{2})\subseteq (1,2)$ differenzierbar. Nach dem Satz von Rolle müsste es ein $\xi \in (x_{1},x_{2})$ mit $f'(\xi )=-{\tfrac {8}{\xi ^{5}}}-1=0$ geben. $f'$ hat aber wegen

$f'(x)=\underbrace {-{\tfrac {8}{x^{5}}}} _{\leq -{\frac {8}{2^{5}}}=-{\tfrac {1}{4}}}-1\leq -{\tfrac {5}{4}}<0$

keine Nullstellen. Also kann $f$ höchstens eine Nullstelle besitzen.

Aus beiden Beweisschritten folgt, dass $f$ genau eine Nullstelle hat.

Ausblick: Satz von Rolle und Mittelwertsatz

Wie oben schon erwähnt, ist der Satz von Rolle ein Spezialfall des Mittelwertsatzes. Dieser ist einer der wichtigsten Sätze aus Analysis 1, da aus ihm viele weitere nützliche Resultate folgen. Umgekehrt werden wir zeigen, dass der Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle folgt. Beide Sätze sind damit äquivalent.