Arkustangens und Arkuskotangens – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Beim Arkustangens und Arkuskotangens handelt es sich um die Umkehrfunktionen von der trigonometrischen Funktionen Tangens und Kotangens (wenn man ihren Definitionsbereich geeignet einschränkt).

Definition und HerleitungBearbeiten

Wir wissen bereits, dass die Tangens- und Kotangensfunktion die Definitionsmenge   bzw.   und die Ziel- und Wertemenge   haben. Die beiden Funktionen sind surjektiv, jedoch nicht injektiv, da unterschiedliche Argumente existieren, die auf die gleichen Funktionswerte abbilden. Insbesondere sind sie auch nicht bijektiv und damit nicht umkehrbar. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist nur dann bijjektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist.

In den folgenden Grafiken der Tangens- und Kotangensfunktion sieht man, dass jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen wird und die Funktionen somit nicht injektiv sein können:

Wir müssen und also überlegen, wie wir   und   injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abbilden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir   und   auf eines ihrer Monotonieintervall ohne dazwischenliegenden Definitionslücken einschränken. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel wären beim Tangens die Intervalle   oder   und beim Kotangens die Intervalle   oder   geeignet.

Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches dieser Intervalle die Definitionsmengen eingeschränkt werden. Allerdings ist es in der Literatur üblich, für den Tangens das Intervall   und für den Kotangens   zu nehmen. Die bijektiven, eingeschränkten Tangens- und Kotangens lauten daher:

 

und

 
 
Graph des Arkustangens
 
Graph des Arkuskotangens

Beide Funktionen sind nun auch injektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkustangens und der Arkuskotangens:

Definition (Arkustangens und Arkuskotangens)

Wir definieren die Funktionen   (Arkustangens) und   (Arkuskotangens) durch

 

EigenschaftenBearbeiten

Übersicht über die EigenschaftenBearbeiten

Arkustangens Arkuskotangens
Funktions-
Graphen
   
Definitionsbereich    
Bildmenge    
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
 
Punktsymmetrie zu  
 
Asymptoten   für     für  
  für  
Nullstellen   keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte    

SymmetrieBearbeiten

Satz

Der Arkustangens   ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskotangens   ist punktsymmetrisch zum Punkt  .

To-Do:

Beweis ergänzen

StetigkeitBearbeiten

Satz

Der Arkustangens   und der Arkuskotangens   sind stetig.

Beweis

Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Tangens- und Kotangensfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von   und  , da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit).

Es gilt also:   und   sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Tangens und Kotangens jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen   und   sind stetig.

AbleitungBearbeiten

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.

Satz (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen  ,   sind differenzierbar, und es gilt

 

Beweis (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)

Für die Tangensfunktion   gilt:  . Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton steigend. Weiter ist  . Also ist   surjektiv. Die Umkehrfunktion

 

ist damit differenzierbar, und nun für   gilt:

 

IntegralBearbeiten

In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration.

Satz

Die Funktionen   und   haben   und   als Stammfunktion. D.h. es gilt:

 
 

Beweis

Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

 

Aufgabe

Zeige:

 

Lösung

Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

 

Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Der Arkustangens   und der Arkuskotangens   haben eine Stammfunktion

Für alle   gilt:

 
 

Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Wir leiten die Stammfunktion für die Arkustangensfunktion her, für den Arkuskotangens funktioniert das genauso.

Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe  . Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

 

Als nächstes wollen wir das Integral   bestimmen. Dazu benutzen wir den Spezialfall der Substitutionsregel, die logarithmische Integration. Alternativ kann man natürlich auch mit der Substitution   vorgehen. Es folgt:

 

Insgesamt folgt also:

 

Aufgabe (Stammfunktion von Arkus Kotangens)

Zeige:

 

Lösung (Stammfunktion von Arkus Kotangens)

Wir gehen analog zum   vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:

 

MonotonieBearbeiten

Satz

Der Arkustangens   ist auf ganz   streng monoton steigend. Der Arkuskotangens   ist auf ganz   streng monoton fallend.

Beweis

Für die Ableitungsfunktion des Arkustangens gilt:  . Also ist der Arkustangens streng monoton steigend.

Analog gilt für die Ableitung des Arkuskotangens:  . Der Arkuskotangens ist also streng monoton fallend.

To-Do:

weitere Eigenschaften? Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Stammfunktionen, Asymptoten