Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Die Hyperbolischen Funktionen - Kosinus Hyperbolikus, Sinus Hyperbolikus und Tangens Hyperbolikus
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To-Do:

einleitungstext

Definition von Sinus Hyperbolicus und Kosinus HyperbolicusBearbeiten

Definition (Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus)

Wir definieren die Funktionen   (Sinus Hyperbolicus) und   (Kosinus Hyperbolicus) durch

 

Hinweis

Als Merkhilfe für das Vorzeichen: Sinus und Minus reimt sich.

Definition von Tangens HyperbolicusBearbeiten

Definition (Tangens Hyperbolicus)

Über die Funktionen   und   definieren wir die Funktion   (Tangens Hyperbolicus) durch

 

Eigenschaften der Hyperbolischen FunktionenBearbeiten

SymmetrieBearbeiten

Der Kosinus Hyperbolicus ist symmetrisch zur y-Achse, während Sinus und Tangens Hyperbolicus punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Es gilt also:

 

Man sagt auch   ist eine gerade Funktion, die anderen beiden sind ungerade.

Wir wollen die eben genannten Eigenschaften beweisen:

Beweis

 

AbleitungenBearbeiten

Mit der Definition über die Exponentialfunktion können wir die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen bestimmen.

 

Der Beweis für diese Gleichungen ist im Kapitel Beispiele für Ableitungen zu finden.

Beziehung zwischen den Hyperbolischen FunktionenBearbeiten

Analog zu den Trigonometrischen Funktionen, haben wir eine Beziehung zwischen den Quadraten von   und  . Der Unterschied liegt im Vorzeichen.

 

Beweis

 

AsymptotikBearbeiten

Im Grenzwert   divergieren   und  . Um zu bestimmen ob der Grenzwert   oder   ist, setzen wir die Definition durch die Exponentialfunktion.

 

Da   und   bedeutet das, dass Sinus und Kosinus als Funktionen komplexer Argumente nicht beschränkt sind.

AdditionstheoremeBearbeiten

 

Der Beweis funktioniert völlig analog zu den Trigonometrischen Additionstheoremen.