Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
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einleitungstext
Definition von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus
BearbeitenDefinition (Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus)
Wir definieren die Funktionen (Sinus Hyperbolicus) und (Kosinus Hyperbolicus) durch
Hinweis
Als Merkhilfe für das Vorzeichen: Sinus und Minus reimt sich.
Definition von Tangens Hyperbolicus
BearbeitenDefinition (Tangens Hyperbolicus)
Über die Funktionen und definieren wir die Funktion (Tangens Hyperbolicus) durch
Eigenschaften der Hyperbolischen Funktionen
BearbeitenSymmetrie
BearbeitenDer Kosinus Hyperbolicus ist symmetrisch zur y-Achse, während Sinus und Tangens Hyperbolicus punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Es gilt also:
Man sagt auch ist eine gerade Funktion, die anderen beiden sind ungerade.
Wir wollen die eben genannten Eigenschaften beweisen:
Beweis
Ableitungen
BearbeitenMit der Definition über die Exponentialfunktion können wir die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen bestimmen.
Der Beweis für diese Gleichungen ist im Kapitel Beispiele für Ableitungen zu finden.
Beziehung zwischen den Hyperbolischen Funktionen
BearbeitenAnalog zu den Trigonometrischen Funktionen, haben wir eine Beziehung zwischen den Quadraten von und . Der Unterschied liegt im Vorzeichen.
Beweis
Asymptotik
BearbeitenIm Grenzwert divergieren und . Um zu bestimmen ob der Grenzwert oder ist, setzen wir die Definition durch die Exponentialfunktion.
Da und bedeutet das, dass Sinus und Kosinus als Funktionen komplexer Argumente nicht beschränkt sind.
Additionstheoreme
BearbeitenDer Beweis funktioniert völlig analog zu den Trigonometrischen Additionstheoremen.