Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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ÜberblickBearbeiten

SymmetrieverhaltenBearbeiten

SinusBearbeiten

Satz (Antisymmetrie des Sinus)

Für alle   gilt  .

Beweis (Antisymmetrie des Sinus)

Sei  . Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

 

KosinusBearbeiten

Satz (Symmetrie des Kosinus)

Für alle   gilt  .

Beweis (Symmetrie des Kosinus)

Sei  . Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

 

AdditionstheoremeBearbeiten

Im Folgenden untersuchen wir die Additionstheoreme. Diese befassen sich mit   beziehungsweise   für  . Veranschaulichen können wir uns diesen Satz, indem wir Sinus und Kosinus am Einheitskreis betrachten.

To-Do:
  • Einführung schreiben
  • Veranschaulichen durch Drehungen in der Ebene durch Drehmatrizen
  • mit Bild

Satz (Additionstheoreme)

Für reelle Zahlen   und   gilt

 
 

Wie kommt man auf den Beweis? (Additionstheoreme)

Aus der Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass für   gilt  . Dadurch können wir dann auch   und   in Abhängigkeit von   darstellen. Nämlich als   und als  . Also können wir so auch   und   für   betrachten.

Außerdem kann es nützlich sein,   sowie   für komplexe Zahlen   zu betrachten.

Beweis (Additionstheoreme)

Zuerst betrachten wir zwei komplexe Zahlen  . Dann gilt

 

Somit folgt

  und  

Außerdem wissen wir, für   gilt  . Folglich gilt

 , sowie  

Seien nun   und  , dann gilt

 

Genauso folgt auch

 

Alternativer Beweis (Additionstheoreme)

Wir können den Satz ebenso beweisen, indem wir die rechte Seite explizit ausrechnen. Dafür nutzen wir die folgende Definition von   und  : Für   gilt

  und  

Seien nun   und   dann folgt

 

Trigonometrischer PythagorasBearbeiten

Wir wollen nun eine der wichtigsten Identitäten von Sinus und Kosinus betrachten.

To-Do:
  • Einleitung schreiben
  • anschaulich die Identität erklären

Satz (Trigonometrischer Pythagoras)

Für alle   gilt

 
To-Do:

Wie kommt man auf den beweis

Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)

Sei  , dann gilt

 

Man kann den Satz ebenso beweisen, indem man Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion ausdrückt und dann die linke Seite ausrechnet:

Alternativer Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)

Sei  . Wir nutzen nun folgenden Definitionen von Sinus und Kosinus:

  und  

Nun berechnen wir

 

StetigkeitBearbeiten

To-Do:

Stetigkeit von Sinus und Kosinus aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgern

Definition von Bearbeiten

Im letzten Kapitel haben wir Sinus und Kosinus sowohl anschaulich als Funktion eines Winkels definiert, als auch analytisch über eine Reihe bzw. über die Exponentialfunktion. Wie du vielleicht noch aus der Schule weißt, wird bei der ersten Definition der Winkel im Bogenmaß gemessen. Zum Beispiel hat ein rechter Winkel die Größe  , denn wenn man aus dem Einheitskreis einen Viertelkreis herausschneidet, hat dieser die Länge  . Somit ist auch anschaulich klar, dass   gilt.

Ein Grund der rein analytischen Definition von Sinus und Kosinus ist, die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion mathematisch präzise festzulegen, ohne auf die geometrische Anschauung zurückgreifen zu müssen. Daher macht es Sinn, auch die berühmte Kreiszahl   rein analytisch zu definieren. Die bekannte Definition von   als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises erweist sich nämlich in der Analysis als nicht geeignet zur strengen Beweisführung.

Die Idee ist nun,   einfach so zu definieren, dass   gilt. Genauer gesagt wollen wir festlegen, dass   die kleinste positive Nullstelle des Kosinus sein soll (  ist dann das Doppelte davon). Damit diese Definition funktioniert, müssen wir aber erst beweisen, dass eine kleinste solche Nullstelle überhaupt existiert.

Satz

Die Funktion   besitzt eine kleinste positive Nullstelle.

Zusammenfassung des Beweises

Wir müssen zuerst zeigen, dass es überhaupt positive Nullstellen gibt. Wir wissen ja, dass   gilt. Es reicht also, eine positive Stelle zu finden, an der der Kosinus einen negativen Wert annimmt, denn aufgrund der Stetigkeit wird dann nach dem Zwischenwertsatz auch der Wert   angenommen. Anschließend muss noch bewiesen werden, dass die Menge aller positiven Nullstellen ein Minimum hat. Dazu verwenden wir erneut die Stetigkeit.

Beweis

Es gilt  , denn

 

Weil die Kosinusfunktion stetig ist und   gilt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein   mit  .

Sei   die Menge aller positiven Nullstellen des Kosinus. Wir haben gerade   gezeigt. Somit existiert das Infimum  . Wir wollen   zeigen. Sei   eine Folge in  , die gegen   konvergiert. Dann gilt

 

Hier wurde die Folgenstetigkeit von   angewandt. Das Infimum   ist also ebenfalls eine Nullstelle des Kosinus. Aber ist es auch eine positive Nullstelle? Da   eine untere Schranke an   ist und   die kleinste untere Schranke ist, gilt  . Doch   ist unmöglich, da sonst   wäre. Also ist   und daher  . Folglich ist   das Minimum der Menge  .

Jetzt können wir endlich   definieren.

Definition (Kreiszahl  )

Die Kreiszahl   ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion. In Formeln:

 

Die Existenz dieses Minimums war gerade die Aussage des vorangegangenen Satzes. Aus dem Beweis dieses Satzes geht auch hervor, dass   gilt. Wir haben also  .

Qualitatives Verhalten der KosinusfunktionBearbeiten

Dass   die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, hat eine Fülle von Aussagen über die Kosinusfunktion zur Folge, die es uns erlaubt, ein vollständiges Bild vom qualitativen Verhalten der Kosinusfunktion zu bekommen. Insbesondere werden wir zeigen, dass   bijektiv und streng monoton fallend ist und dass die Funktionswerte auf ganz   unmittelbar aus den Funktionswerten auf   hervorgehen.

Verhalten auf  Bearbeiten

 
Die Kosinusfunktion auf dem Intervall  

Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt  , also  , sodass wir den Kosinus als Funktion   auffassen können. Wäre   für ein  , so gäbe es wegen   nach dem Zwischenwertsatz ein   mit  , doch das steht im Widerspruch dazu, dass   die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist. Also können wir die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall   sogar als Funktion   auffassen. Wir zeigen nun, dass diese Einschränkung bijektiv und streng monoton fallend ist.

Satz

Die Funktion   ist bijektiv und streng monoton fallend.

Beweis

An den Intervallgrenzen wissen wir schon, was passiert: Es gelten   und  . Nach dem Zwischenwertsatz werden also zwischen   und   alle Werte aus   angenommen. Damit ist bereits die Surjektivität gezeigt. Wenn wir noch zeigen, dass die Funktion streng monoton fallend ist, sind wir fertig, denn daraus folgt insbesondere die Injektivität. Seien also   mit  . Wir wollen   zeigen. Wir führen die Zahlen   und   ein. Dann sind nämlich   und wir haben   sowie   (damit ist  ). Mithilfe der Additionstheoreme berechnen wir nun

 

Falls   und   beide positiv oder beide negativ sind, folgt wie gewünscht  . Andernfalls gilt   oder  . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein   mit  . Damit ist

 

Weil aber   die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion, sprich die einzige Nullstelle im Bereich   ist, muss   gelten. Wegen   ist demnach  . Daraus folgt jedoch   im Widerspruch zu  .

Fortsetzung auf  Bearbeiten

Wir stellen zunächst fest, dass sich aus   folgender Zusammenhang ergibt, den man als eine Punktsymmetrie der Kosinusfunktion um die Stelle   beschreiben könnte.

Satz

Für alle   gilt

 

Beweis

Es gilt

 

Daraus folgt die Behauptung.

Indem wir   in diesem Satz wählen, erkennen wir, dass die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall   eine Funktion   darstellt, die erneut bijektiv und streng monoton fallend ist.

Insgesamt ergibt sich also:

Satz

Die Funktion   ist bijektiv und streng monoton fallend.

Dieser Satz wird bei der Definition des Arkuskosinus eine wichtige Rolle spielen.

Fortsetzung auf  Bearbeiten

Im Weiteren wird sich eine andere Formulierung des obigen Zusammenhangs als nützlich erweisen.

Satz

Für alle   gilt

 

Beweis

Wir schreiben in obigem Satz   anstelle von   und erhalten

 

Zusammen mit   folgt die Behauptung.

Indem wir nun   wählen, sehen wir, dass auf dem Intervall   die entsprechenden Werte auf dem Intervall   lediglich gespiegelt werden.

Die Einschränkungen   und   sind also jeweils bijektiv und streng monoton steigend.

Fortsetzung auf  Bearbeiten

Es stellt sich nun heraus, dass die Kosinusfunktion periodisch ist:

Satz

Für alle   gilt

 

Beweis

Wir wenden den vorherigen Satz zweimal an und erhalten

 

Auf den Intervallen   verhält sich der Kosinus also jeweils exakt so, wie wir es bereits für das Intervall   untersucht haben.

Mit anderen Worten:

Satz

Für alle   ist

  •   bijektiv und streng monoton fallend,
  •   bijektiv und streng monoton fallend,
  •   bijektiv und streng monoton steigend,
  •   bijektiv und streng monoton steigend.

Die folgende Grafik veranschaulicht noch einmal, wie sich alle Funktionswerte des Kosinus auf die Werte im Intervall   zurückführen lassen.

Nullstellen, Maxima und MinimaBearbeiten

Der vorangegangene Satz erlaubt es uns zu bestimmen, wo die Nullstellen, Maxima und Minima liegen, also die Funktionswerte  ,   und   angenommen werden.

Satz

Für alle   gilt

  •  
  •  
  •  
To-Do:

Bild, Beweis

PeriodizitätBearbeiten

Wir haben bereits gezeigt, dass   für alle   gilt. Wir beweisen jetzt, dass   die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Daher macht es Sinn, den Kosinus als  -periodische Funktion zu bezeichnen.

Satz

Sei   mit   für alle  . Dann gilt   für ein  .

Beweis

Wir setzen   und erhalten  . Somit gilt   für ein  . Wegen   ist  .

Alle möglichen Periodenlängen sind also Vielfache von  , womit   die kleinste Periodenlänge ist.

Qualitatives Verhalten der SinusfunktionBearbeiten

In diesem Abschnitt werden wir erkennen, dass die Sinusfunktion lediglich eine Verschiebung der Kosinusfunktion ist. Auf diese Weise lassen sich alle Eigenschaften der Kosinusfunktion aus dem vorherigen Abschnitt leicht auf die Sinusfunktion übertragen.

Funktionswert bei  Bearbeiten

Wir überlegen uns zunächst, was   ist. Da   gilt, folgt aus dem trigonometrischen Pythagoras sofort  . Es gilt also entweder   oder  . Um Letzteres auszuschließen, treffen wir für   folgende Abschätzung:

 

Wir wissen ja, dass   gilt. Somit ist   und es folgt  .

Zusammenhang zur KosinusfunktionBearbeiten

Satz

Für alle   gilt

 

Beweis

Nach dem Additionstheorem gilt

 

Der Graph der Sinusfunktion (rot) entsteht also aus dem Graphen durch Kosinusfunktion (blau) durch eine Verschiebung um   nach rechts.

Verhalten auf  Bearbeiten

Da der Sinus nur ein verschobener Kosinus ist, können wir das qualitative Verhalten der Sinusfunktion auf ganz   leicht bestimmen.

Satz

Die Sinusfunktion ist periodisch mit kleinstmöglicher Periodenlänge   und für alle   ist

  •   bijektiv und streng monoton steigend,
  •   bijektiv und streng monoton fallend,
  •   bijektiv und streng monoton fallend,
  •   bijektiv und streng monoton steigend.
To-Do:

Bild

Nullstellen, Maxima und MinimaBearbeiten

Ebenso leicht lässt sich die Bestimmung von Nullstellen, Maxima und Minima auf die Sinusfunktion übertragen, denn deren Lage verschiebt sich lediglich um   nach rechts.

Satz

Für alle   gilt

  •  
  •  
  •  
To-Do:

Bild

Ableitung und IntegralBearbeiten

Ableitung SinusBearbeiten

Satz (Ableitung vom Sinus)

Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle   gilt:

 

Beweis (Ableitung vom Sinus)

Für   ist

 

Ableitung KosinusBearbeiten

Satz (Ableitung des Kosinus)

Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit

 

Beweis (Ableitung des Kosinus)