Eigenschaften des Sinus und Kosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Symmetrieverhalten

Sinus

Satz (Antisymmetrie des Sinus)

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $\sin(-x)=-\sin(x)$.

Beweis (Antisymmetrie des Sinus)

Sei $x\in \mathbb {R}$. Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

${\begin{aligned}&\sin(-x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition des Sinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{\mathrm {i} (-x)}-e^{-\mathrm {i} (-x)}\right)\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{-\mathrm {i} x}-e^{\mathrm {i} x}\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Minus ausklammern}}\right.}\\[0.3em]=\ &-{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{\mathrm {i} x}-e^{-\mathrm {i} x}\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition des Sinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &-\sin(x)\end{aligned}}$

Kosinus

Satz (Symmetrie des Kosinus)

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $\cos(-x)=\cos(x)$.

Beweis (Symmetrie des Kosinus)

Sei $x\in \mathbb {R}$. Mit der Definition durch die komplexe Exponentialfunktion berechnen wir:

${\begin{aligned}&\cos(-x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition des Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} (-x)}+e^{-\mathrm {i} (-x)}\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Summanden tauschen}}\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} x}+e^{-\mathrm {i} x}\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition des Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x)\end{aligned}}$

Additionstheoreme

Im Folgenden untersuchen wir die Additionstheoreme. Diese befassen sich mit $\sin(x+y)$ beziehungsweise $\cos(x+y)$ für $x,y\in \mathbb {R}$. Veranschaulichen können wir uns diesen Satz, indem wir Sinus und Kosinus am Einheitskreis betrachten.

To-Do:

• Einführung schreiben
• Veranschaulichen durch Drehungen in der Ebene durch Drehmatrizen
• mit Bild

Satz (Additionstheoreme)

Für reelle Zahlen $x$ und $y\in \mathbb {R}$ gilt

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$

Wie kommt man auf den Beweis? (Additionstheoreme)

Aus der Polardarstellung komplexer Zahlen wissen wir, dass für $x\in \mathbb {R}$ gilt $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$. Dadurch können wir dann auch $\sin$ und $\cos$ in Abhängigkeit von $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ darstellen. Nämlich als $\sin(x)=\mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})$ und als $\cos(x)=\mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})$. Also können wir so auch $\sin(x+y)$ und $cos(x+y)$ für $x,y\in \mathbb {R}$ betrachten.

Außerdem kann es nützlich sein, $\mathrm {Re} (z\cdot w)$ sowie $\mathrm {Im} (z\cdot w)$ für komplexe Zahlen $z,w\in \mathbb {C}$ zu betrachten.

Beweis (Additionstheoreme)

Zuerst betrachten wir zwei komplexe Zahlen $z,w\in \mathbb {C}$. Dann gilt

${\begin{aligned}&z\cdot w={\big (}\mathrm {Re} (z)+\mathrm {i} \mathrm {Im} (z){\big )}\cdot {\big (}\mathrm {Re} (w)+\mathrm {i} \mathrm {Im} (w){\big )}\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Ausmultiplizieren}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mathrm {Re} (z)\mathrm {Re} (w)+\mathrm {i} \mathrm {Re} (z)\mathrm {Im} (w)+\mathrm {i} \mathrm {Im} (z)\mathrm {Re} (w)+\mathrm {i} ^{2}\mathrm {Im} (z)\mathrm {Im} (w)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ i^{2}=-1{\text{ und ordnen nach Real- und Imaginärteil.}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mathrm {Re} (z)\mathrm {Re} (w)-\mathrm {Im} (z)\mathrm {Im} (w)+\mathrm {i} {\big (}\mathrm {Re} (z)\mathrm {Im} (w)+\mathrm {Im} (z)\mathrm {Re} (w){\big )}\end{aligned}}$

Somit folgt

$\mathrm {Re} (z\cdot w)=\mathrm {Re} (z)\mathrm {Re} (w)-\mathrm {Im} (z)\mathrm {Im} (w)$ und $\mathrm {Im} (z\cdot w)=\mathrm {Re} (z)\mathrm {Im} (w)+\mathrm {Im} (z)\mathrm {Re} (w)$

Außerdem wissen wir, für $x\in \mathbb {R}$ gilt $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$. Folglich gilt

$\sin(x)=\mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})$, sowie $\cos(x)=\mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})$

Seien nun $x$ und $y\in \mathbb {R}$, dann gilt

${\begin{aligned}&\sin(x+y)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{2.}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x+y)})\\[0.3em]=\ &\mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} y})\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{1.}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})\cdot \mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y})+\mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})\cdot \mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y})\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{2.}}\right.}\\[0.3em]=\ &\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\end{aligned}}$

Genauso folgt auch

${\begin{aligned}&\cos(x+y)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{2.}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x+y)})\\[0.3em]=\ &\mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} y})\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{1.}}\right.}\\[0.3em]=\ &\mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})\cdot \mathrm {Re} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y})-\mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})\cdot \mathrm {Im} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y})\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{2.}}\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)\end{aligned}}$

Alternativer Beweis (Additionstheoreme)

Wir können den Satz ebenso beweisen, indem wir die rechte Seite explizit ausrechnen. Dafür nutzen wir die folgende Definition von $\sin$ und $\cos$: Für $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)$ und $\cos(x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)$

Seien nun $x$ und $y\in \mathbb {R}$ dann folgt

${\begin{aligned}&\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\sin {\text{ und }}\cos \right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} y}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)\cdot {\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} y}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} y}\right)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Klammern ausmultiplizieren.}}\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{4\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x+y)}+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x-y)}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (x-y)}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (x+y)}+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x+y)}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x-y)}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (x-y)}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (x+y)}\right)\\[0.3em]=\ &{\frac {2}{4\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x+y)}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (x+y)}\right)\\[0.3em]=\ &\sin(x+y)\end{aligned}}$

Trigonometrischer Pythagoras

Wir wollen nun eine der wichtigsten Identitäten von Sinus und Kosinus betrachten.

To-Do:

• Einleitung schreiben
• anschaulich die Identität erklären

Satz (Trigonometrischer Pythagoras)

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$

To-Do:

Wie kommt man auf den beweis

Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)

Sei $x\in \mathbb {R}$, dann gilt

${\begin{aligned}&\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \sin(x)=-\sin(-x){\text{ und }}\cos(x)=\cos(-x)\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x)\cos(-x)-\sin(x)\sin(-x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additionstheorem des Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &\cos(x-x)=\cos(0)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \cos(0)=1\right.}\\[0.3em]=\ &1\end{aligned}}$

Man kann den Satz ebenso beweisen, indem man Sinus und Kosinus mit der Exponentialfunktion ausdrückt und dann die linke Seite ausrechnet:

Alternativer Beweis (Trigonometrischer Pythagoras)

Sei $x\in \mathbb {R}$. Wir nutzen nun folgenden Definitionen von Sinus und Kosinus:

$\sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)$ und $\cos(x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)$

Nun berechnen wir

${\begin{aligned}&\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definitionen von Sinus und Kosinus}}\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{(2\mathrm {i} )^{2}}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)^{2}+{\frac {1}{2^{2}}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)^{2}\\[0.3em]=\ &-{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} x}-2\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x-x)}+\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} x}\right)+{\frac {1}{4}}\left(\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} x}+2\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x-x)}+\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} x}\right)\\[0.3em]=\ &{\frac {4}{4}}\mathrm {e} ^{0}\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ \mathrm {e} ^{0}=1\right.}\\[0.3em]=1\end{aligned}}$

Stetigkeit

To-Do:

Stetigkeit von Sinus und Kosinus aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgern

Definition von $\pi$

Im letzten Kapitel haben wir Sinus und Kosinus sowohl anschaulich als Funktion eines Winkels definiert, als auch analytisch über eine Reihe bzw. über die Exponentialfunktion. Wie du vielleicht noch aus der Schule weißt, wird bei der ersten Definition der Winkel im Bogenmaß gemessen. Zum Beispiel hat ein rechter Winkel die Größe $90^{\circ }={\tfrac {\pi }{2}}$, denn wenn man aus dem Einheitskreis einen Viertelkreis herausschneidet, hat dieser die Länge ${\tfrac {\pi }{2}}$. Somit ist auch anschaulich klar, dass $\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$ gilt.

Ein Grund der rein analytischen Definition von Sinus und Kosinus ist, die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion mathematisch präzise festzulegen, ohne auf die geometrische Anschauung zurückgreifen zu müssen. Daher macht es Sinn, auch die berühmte Kreiszahl $\pi$ rein analytisch zu definieren. Die bekannte Definition von $\pi$ als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises erweist sich nämlich in der Analysis als nicht geeignet zur strengen Beweisführung.

Die Idee ist nun, $\pi$ einfach so zu definieren, dass $\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$ gilt. Genauer gesagt wollen wir festlegen, dass ${\tfrac {\pi }{2}}$ die kleinste positive Nullstelle des Kosinus sein soll ($\pi$ ist dann das Doppelte davon). Damit diese Definition funktioniert, müssen wir aber erst beweisen, dass eine kleinste solche Nullstelle überhaupt existiert.

Satz

Die Funktion $\cos :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ besitzt eine kleinste positive Nullstelle.

Zusammenfassung des Beweises

Wir müssen zuerst zeigen, dass es überhaupt positive Nullstellen gibt. Wir wissen ja, dass $\cos(0)=1$ gilt. Es reicht also, eine positive Stelle zu finden, an der der Kosinus einen negativen Wert annimmt, denn aufgrund der Stetigkeit wird dann nach dem Zwischenwertsatz auch der Wert $0$ angenommen. Anschließend muss noch bewiesen werden, dass die Menge aller positiven Nullstellen ein Minimum hat. Dazu verwenden wir erneut die Stetigkeit.

Beweis

Es gilt $\cos(2)<0$, denn

${\begin{aligned}\cos(2)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}2^{2k}\\[0.3em]&=1-{\frac {1}{2}}2^{2}+{\frac {1}{24}}2^{4}+\sum _{k=3}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}2^{2k}\\[0.3em]&=-{\frac {1}{3}}+\sum _{\scriptstyle k=3 \atop \scriptstyle k{\text{ ungerade}}}{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}2^{2k}+{\frac {(-1)^{k+1}}{(2k+2)!}}2^{2k+2}\\[0.3em]&=-{\frac {1}{3}}+\sum _{\scriptstyle k=3 \atop \scriptstyle k{\text{ ungerade}}}-{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {2^{2k+2}}{(2k+2)!}}\\[0.3em]&=-{\frac {1}{3}}+\sum _{\scriptstyle k=3 \atop \scriptstyle k{\text{ ungerade}}}-{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {4}{(2k+1)(2k+2)}}{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}\\[0.3em]&\leq -{\frac {1}{3}}+\sum _{\scriptstyle k=3 \atop \scriptstyle k{\text{ ungerade}}}-{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}+{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}\\[0.3em]&=-{\frac {1}{3}}\end{aligned}}$

Weil die Kosinusfunktion stetig ist und $\cos(0)=1>0$ gilt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein $0<x<2$ mit $\cos(x)=0$.

Sei $M:=\{x>0\mid \cos(x)=0\}$ die Menge aller positiven Nullstellen des Kosinus. Wir haben gerade $M\neq \emptyset$ gezeigt. Somit existiert das Infimum $\xi :=\inf M\in \mathbb {R}$. Wir wollen $\xi \in M$ zeigen. Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $M$, die gegen $\xi$ konvergiert. Dann gilt

$\cos(\xi )=\cos \left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\cos(x_{n})=\lim _{n\to \infty }0=0$

Hier wurde die Folgenstetigkeit von $\cos$ angewandt. Das Infimum $\xi$ ist also ebenfalls eine Nullstelle des Kosinus. Aber ist es auch eine positive Nullstelle? Da $0$ eine untere Schranke an $M$ ist und $\xi$ die kleinste untere Schranke ist, gilt $\xi \geq 0$. Doch $\xi =0$ ist unmöglich, da sonst $0=\cos(\xi )=\cos(0)=1$ wäre. Also ist $\xi >0$ und daher $\xi \in M$. Folglich ist $\xi$ das Minimum der Menge $M$.

Jetzt können wir endlich $\pi$ definieren.

Definition (Kreiszahl $\pi$)

Die Kreiszahl $\pi$ ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion. In Formeln:

$\pi :=2\min\{x>0\mid \cos(x)=0\}$

Die Existenz dieses Minimums war gerade die Aussage des vorangegangenen Satzes. Aus dem Beweis dieses Satzes geht auch hervor, dass ${\tfrac {\pi }{2}}<2$ gilt. Wir haben also $0<\pi <4$.

Qualitatives Verhalten der Kosinusfunktion

Dass ${\tfrac {\pi }{2}}$ die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, hat eine Fülle von Aussagen über die Kosinusfunktion zur Folge, die es uns erlaubt, ein vollständiges Bild vom qualitativen Verhalten der Kosinusfunktion zu bekommen. Insbesondere werden wir zeigen, dass $\cos :[0,{\tfrac {\pi }{2}}]\to [0,1]$ bijektiv und streng monoton fallend ist und dass die Funktionswerte auf ganz $\mathbb {R}$ unmittelbar aus den Funktionswerten auf $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ hervorgehen.

Verhalten auf $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$

Die Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$

Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt $\cos ^{2}(x)\in [0,1]$, also $\cos(x)\in [-1,1]$, sodass wir den Kosinus als Funktion $\cos :\mathbb {R} \to [-1,1]$ auffassen können. Wäre $\cos(x)<0$ für ein $x\in [0,{\tfrac {\pi }{2}}]$, so gäbe es wegen $\cos(0)=1>0$ nach dem Zwischenwertsatz ein $0<\xi <x\leq {\tfrac {\pi }{2}}$ mit $\cos(\xi )=0$, doch das steht im Widerspruch dazu, dass ${\tfrac {\pi }{2}}$ die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist. Also können wir die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ sogar als Funktion $\cos :[0,{\tfrac {\pi }{2}}]\to [0,1]$ auffassen. Wir zeigen nun, dass diese Einschränkung bijektiv und streng monoton fallend ist.

Satz

Die Funktion $\cos :[0,{\tfrac {\pi }{2}}]\to [0,1]$ ist bijektiv und streng monoton fallend.

Beweis

An den Intervallgrenzen wissen wir schon, was passiert: Es gelten $\cos(0)=1$ und $\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$. Nach dem Zwischenwertsatz werden also zwischen $0$ und ${\tfrac {\pi }{2}}$ alle Werte aus $[0,1]$ angenommen. Damit ist bereits die Surjektivität gezeigt. Wenn wir noch zeigen, dass die Funktion streng monoton fallend ist, sind wir fertig, denn daraus folgt insbesondere die Injektivität. Seien also $x,y\in [0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ mit $x>y$. Wir wollen $\cos(x)<\cos(y)$ zeigen. Wir führen die Zahlen $a:={\tfrac {x+y}{2}}$ und $b:={\tfrac {x-y}{2}}$ ein. Dann sind nämlich $a,b\in [0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ und wir haben $x=a+b$ sowie $y=a-b$ (damit ist $b\leq a$). Mithilfe der Additionstheoreme berechnen wir nun

$\cos(y)-\cos(x)=\cos(a-b)-\cos(a+b)=\left(\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\right)-\left(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\right)=2\sin(a)\sin(b)$

Falls $\sin(a)$ und $\sin(b)$ beide positiv oder beide negativ sind, folgt wie gewünscht $\cos(y)>\cos(x)$. Andernfalls gilt $\sin(a)\leq 0\leq \sin(b)$ oder $\sin(b)\leq 0\leq \sin(a)$. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein $\xi \in [b,a]\subseteq [0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ mit $\sin(\xi )=0$. Damit ist

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\xi \right)=\underbrace {\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)} _{=0}\cos(\xi )+\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\underbrace {\sin(\xi )} _{=0}=0$

Weil aber ${\tfrac {\pi }{2}}$ die kleinste positive Nullstelle der Kosinusfunktion, sprich die einzige Nullstelle im Bereich $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ ist, muss $\xi =0$ gelten. Wegen $\xi \in [b,a]$ ist demnach $b=0$. Daraus folgt jedoch $x=a+b=a-b=y$ im Widerspruch zu $x>y$.

Fortsetzung auf $[{\tfrac {\pi }{2}},\pi ]$

Wir stellen zunächst fest, dass sich aus $\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$ folgender Zusammenhang ergibt, den man als eine Punktsymmetrie der Kosinusfunktion um die Stelle ${\tfrac {\pi }{2}}$ beschreiben könnte.

Satz

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

Beweis

Es gilt

${\begin{aligned}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)&=\underbrace {\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)} _{=0}\cos(x)-\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\sin(x)=-\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\sin(x)\\[0.3em]\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&=\underbrace {\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)} _{=0}\cos(x)+\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\sin(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\sin(x)\end{aligned}}$

Daraus folgt die Behauptung.

Indem wir $x\in [0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ in diesem Satz wählen, erkennen wir, dass die Einschränkung des Kosinus auf das Intervall $[{\tfrac {\pi }{2}},\pi ]$ eine Funktion $\cos :[{\tfrac {\pi }{2}},\pi ]\to [-1,0]$ darstellt, die erneut bijektiv und streng monoton fallend ist.

Die Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,\pi ]$ geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ hervor

Insgesamt ergibt sich also:

Satz

Die Funktion $\cos :[0,\pi ]\to [-1,1]$ ist bijektiv und streng monoton fallend.

Dieser Satz wird bei der Definition des Arkuskosinus eine wichtige Rolle spielen.

Fortsetzung auf $[\pi ,2\pi ]$

Im Weiteren wird sich eine andere Formulierung des obigen Zusammenhangs als nützlich erweisen.

Satz

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\cos(x+\pi )=-\cos(x)$

Beweis

Wir schreiben in obigem Satz $x+{\tfrac {\pi }{2}}$ anstelle von $x$ und erhalten

$\cos(x+\pi )=-\cos(-x)$

Zusammen mit $\cos(-x)=\cos(x)$ folgt die Behauptung.

Indem wir nun $x\in [0,\pi ]$ wählen, sehen wir, dass auf dem Intervall $[\pi ,2\pi ]$ die entsprechenden Werte auf dem Intervall $[0,\pi ]$ lediglich gespiegelt werden.

Die Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2\pi ]$ geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,\pi ]$ hervor

Die Einschränkungen $\cos :[\pi ,{\tfrac {3\pi }{2}}]\to [-1,0]$ und $\cos :[{\tfrac {3\pi }{2}},2\pi ]\to [0,1]$ sind also jeweils bijektiv und streng monoton steigend.

Fortsetzung auf $\mathbb {R}$

Es stellt sich nun heraus, dass die Kosinusfunktion periodisch ist:

Satz

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\cos(x+2\pi )=\cos(x)$

Beweis

Wir wenden den vorherigen Satz zweimal an und erhalten

$\cos(x+2\pi )=-\cos(x+\pi )=\cos(x)$

Auf den Intervallen $\ldots ,[-4\pi ,-2\pi ],[-2\pi ,0],[0,2\pi ],[2\pi ,4\pi ],[4\pi ,6\pi ],\ldots$ verhält sich der Kosinus also jeweils exakt so, wie wir es bereits für das Intervall $[0,2\pi ]$ untersucht haben.

Die Kosinusfunktion geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,2\pi ]$ hervor

Mit anderen Worten:

Satz

Für alle $k\in \mathbb {Z}$ ist

• $\cos :[2\pi k,2\pi k+{\tfrac {\pi }{2}}]\to [0,1]$ bijektiv und streng monoton fallend,
• $\cos :[2\pi k+{\tfrac {\pi }{2}},2\pi k+\pi ]\to [-1,0]$ bijektiv und streng monoton fallend,
• $\cos :[2\pi k+\pi ,2\pi k+{\tfrac {3\pi }{2}}]\to [-1,0]$ bijektiv und streng monoton steigend,
• $\cos :[2\pi k+{\tfrac {3\pi }{2}},2\pi k+2\pi ]\to [0,1]$ bijektiv und streng monoton steigend.

Die folgende Grafik veranschaulicht noch einmal, wie sich alle Funktionswerte des Kosinus auf die Werte im Intervall $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ zurückführen lassen.

Die Kosinusfunktion geht aus der Kosinusfunktion auf dem Intervall $[0,{\tfrac {\pi }{2}}]$ hervor

Nullstellen, Maxima und Minima

Der vorangegangene Satz erlaubt es uns zu bestimmen, wo die Nullstellen, Maxima und Minima liegen, also die Funktionswerte $0$, $1$ und $-1$ angenommen werden.

Satz

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

• $\cos(x)=0\iff x=\pi k+{\frac {\pi }{2}},\quad k\in \mathbb {Z}$
• $\cos(x)=1\iff x=2\pi k,\quad k\in \mathbb {Z}$
• $\cos(x)=-1\iff x=2\pi k+\pi ,\quad k\in \mathbb {Z}$

To-Do:

Bild, Beweis

Periodizität

Wir haben bereits gezeigt, dass $\cos(x+2\pi )=\cos(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt. Wir beweisen jetzt, dass $2\pi$ die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Daher macht es Sinn, den Kosinus als $2\pi$-periodische Funktion zu bezeichnen.

Satz

Sei $\tau >0$ mit $\cos(x+\tau )=\cos(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Dann gilt $\tau =2\pi k$ für ein $k\in \mathbb {N}$.

Beweis

Wir setzen $x=0$ und erhalten $\cos(\tau )=\cos(0)=1$. Somit gilt $\tau =2\pi k$ für ein $k\in \mathbb {Z}$. Wegen $\tau >0$ ist $k\in \mathbb {N}$.

Alle möglichen Periodenlängen sind also Vielfache von $2\pi$, womit $2\pi$ die kleinste Periodenlänge ist.

Qualitatives Verhalten der Sinusfunktion

In diesem Abschnitt werden wir erkennen, dass die Sinusfunktion lediglich eine Verschiebung der Kosinusfunktion ist. Auf diese Weise lassen sich alle Eigenschaften der Kosinusfunktion aus dem vorherigen Abschnitt leicht auf die Sinusfunktion übertragen.

Funktionswert bei ${\tfrac {\pi }{2}}$

Wir überlegen uns zunächst, was $\sin({\tfrac {\pi }{2}})$ ist. Da $\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$ gilt, folgt aus dem trigonometrischen Pythagoras sofort $\sin ^{2}({\tfrac {\pi }{2}})=1$. Es gilt also entweder $\sin({\tfrac {\pi }{2}})=1$ oder $\sin({\tfrac {\pi }{2}})=-1$. Um Letzteres auszuschließen, treffen wir für $0<x<2$ folgende Abschätzung:

${\begin{aligned}\sin(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}\\[0.3em]&=\sum _{\scriptstyle k=0 \atop \scriptstyle k{\text{ gerade}}}{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}+{\frac {(-1)^{k+1}}{(2k+3)!}}x^{2k+3}\\[0.3em]&=\sum _{\scriptstyle k=0 \atop \scriptstyle k{\text{ gerade}}}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}-{\frac {x^{2k+3}}{(2k+3)!}}\\[0.3em]&=\sum _{\scriptstyle k=0 \atop \scriptstyle k{\text{ gerade}}}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}-{\frac {x^{2}}{(2k+2)(2k+3)}}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\[0.3em]&>\sum _{\scriptstyle k=0 \atop \scriptstyle k{\text{ gerade}}}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}-{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\[0.3em]&=0\end{aligned}}$

Wir wissen ja, dass $0<{\tfrac {\pi }{2}}<2$ gilt. Somit ist $\sin({\tfrac {\pi }{2}})>0$ und es folgt $\sin({\tfrac {\pi }{2}})=1$.

Zusammenhang zur Kosinusfunktion

Satz

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\sin(x)=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)$

Beweis

Nach dem Additionstheorem gilt

$\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos(x)\underbrace {\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)} _{=0}+\sin(x)\underbrace {\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)} _{=1}=\sin(x)$

Der Graph der Sinusfunktion (rot) entsteht also aus dem Graphen durch Kosinusfunktion (blau) durch eine Verschiebung um ${\tfrac {\pi }{2}}$ nach rechts.

Übergang von Kosinus zu Sinus und umgekehrt

Verhalten auf $\mathbb {R}$

Da der Sinus nur ein verschobener Kosinus ist, können wir das qualitative Verhalten der Sinusfunktion auf ganz $\mathbb {R}$ leicht bestimmen.

Satz

Die Sinusfunktion ist periodisch mit kleinstmöglicher Periodenlänge $2\pi$ und für alle $k\in \mathbb {Z}$ ist

• $\sin :[2\pi k,2\pi k+{\tfrac {\pi }{2}}]\to [0,1]$ bijektiv und streng monoton steigend,
• $\sin :[2\pi k+{\tfrac {\pi }{2}},2\pi k+\pi ]\to [0,1]$ bijektiv und streng monoton fallend,
• $\sin :[2\pi k+\pi ,2\pi k+{\tfrac {3\pi }{2}}]\to [-1,0]$ bijektiv und streng monoton fallend,
• $\sin :[2\pi k+{\tfrac {3\pi }{2}},2\pi k+2\pi ]\to [-1,0]$ bijektiv und streng monoton steigend.

To-Do:

Bild

Nullstellen, Maxima und Minima

Ebenso leicht lässt sich die Bestimmung von Nullstellen, Maxima und Minima auf die Sinusfunktion übertragen, denn deren Lage verschiebt sich lediglich um ${\tfrac {\pi }{2}}$ nach rechts.

Satz

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

• $\sin(x)=0\iff x=\pi k,\quad k\in \mathbb {Z}$
• $\sin(x)=1\iff x=2\pi k+{\frac {\pi }{2}},\quad k\in \mathbb {Z}$
• $\sin(x)=-1\iff x=2\pi k-{\frac {\pi }{2}},\quad k\in \mathbb {Z}$

To-Do:

Bild

Ableitung und Integral

Ableitung Sinus

Satz (Ableitung vom Sinus)

Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle ${\tilde {x}}\in \mathbb {R}$ gilt:

$\sin '({\tilde {x}})=\cos({\tilde {x}})$

Beweis (Ableitung vom Sinus)

Für ${\tilde {x}}\in \mathbb {R}$ ist

${\begin{aligned}\sin '({\tilde {x}})&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin({\tilde {x}}+h)-\sin({\tilde {x}})}{h}}\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\right.\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin({\tilde {x}})\cos(h)+\cos({\tilde {x}})\sin(h)-\sin({\tilde {x}})}{h}}\\[0.3em]&=\sin({\tilde {x}})\cdot \underbrace {\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}} _{=0}+\cos({\tilde {x}})\cdot \underbrace {\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}} _{=1}\\[0.3em]&=\cos({\tilde {x}})\end{aligned}}$

Ableitung Kosinus

Satz (Ableitung des Kosinus)

Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit

$\cos '({\tilde {x}})=-\sin({\tilde {x}})$

Beweis (Ableitung des Kosinus)

${\begin{aligned}\cos '({\tilde {x}})&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos({\tilde {x}}+h)-\cos({\tilde {x}})}{h}}\\[0.5em]&\color {Gray}\left\downarrow \ \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\right.\\[0.5em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos({\tilde {x}})\cos(h)-\sin({\tilde {x}})\sin(h)-\cos({\tilde {x}})}{h}}\\[0.5em]&=\cos({\tilde {x}})\cdot \underbrace {\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(h)-1}{h}}} _{=0}-\sin({\tilde {x}})\cdot \underbrace {\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}} _{=1}\\[0.5em]&=-\sin({\tilde {x}})\end{aligned}}$