Aufgaben zu trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Nützliche Identitäten von Sinus und KosinusBearbeiten

Aufgabe (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)

Zeige, dass für  ,

 

gilt.

Beweis (Produkt von Sinus- und Kosinusfunktion)

Wir beginnen mit der rechten Seite:

 

Diese Identität kann beim Lösen von Integralen hilfreich sein.

Aufgabe (Produkt von Sinusfunktionen)

Seien   und  . Zeige

 

Beweis (Produkt von Sinusfunktionen)

Wir fangen wieder auf der rechten Seite an und nutzen die Additionstheoreme.

 

Aufgabe (Quadrat des Sinus)

Sei  . Zeige, dass

 

gilt.

Beweis (Quadrat des Sinus)

Diese Aussage ist ein Spezialfall der vorherigen Aufgabe. Wir setzen dafür  :

 

Alternativer Beweis (Quadrat des Sinus)

Wir können die Aufgabe aber auch anders lösen:

 

Nullstellen von Sinus und KosinusBearbeiten

Aufgabe (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Zeige, dass  .

Man soll zeigen, dass für alle   mit   gilt   und dass für alle   gilt  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Wir haben bereits gezeigt, dass   für alle   und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle   gilt  .

Das zeigen wir durch Kontraposition. Wir betrachten ein   mit   und zeigen  .

Sei   mit   für   und es gelte  .

Frage: Wie kann man   durch die Exponentialfunkton und mit   und   darstellen?

 

Wegen   folgt  .

Frage: Wie kann man   weiter umformen? Bringe alle Terme mit   auf eine Seite und alle Terme mit   auf die andere Seite!

Es gilt also  . Nun multiplizieren wir beide Seiten mit   (wir haben bei den Aufgaben zur Exponentialfunktion gezeigt, dass das eine Zahl ungleich   ist) und erhalten

 

Frage: Was kann man daraus über   herleiten? Betrachte den Betrag der Zahlen!

Es gilt  , da   reell ist und somit   komplett imaginär ist. Wegen   ist   und aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion für reelle Argumente muss   gelten. Daraus folgt wiederum  .

Die Zahl   ist also reell. Die Menge aller reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist  . Daher ist   und die Aussage ist bewiesen.

Beweis (Nullstellen der komplexwertigen Sinusfunktion)

Wir haben bereits gezeigt, dass   für alle   und dass dies die einzigen reellen Nullstellen der Sinusfunktion sind. Es bleibt also noch zu zeigen, dass für alle   gilt  .

Sei also   mit  , so dass  . Dann gilt

 

Folglich ist

 

Damit folgt  . Wegen   und   ist  . Also ist  .

Daraus folgt, dass   eine reelle Zahl ist. Die Menge der reellen Nullstellen der Sinusfunktion ist aber genau  . Also ist dies auch die Menge der komplexen Nullstellen der Sinusfunktion.

To-Do:
  •   zeigen

Aufgabe

Zeige, dass   ist.

Man soll zeigen, dass für alle   mit   gilt   und dass für alle   gilt  .

Man soll die Aufgabe zu den Nullstellen der Sinusfunktion nutzen.

Beweis

Es gilt für alle  , dass  . Somit ist