Complements of vector spaces – Serlo

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Introduction

We consider a vector space $V$ with some subspace $U$ of $V$. Can we then find a subspace $W$ of $V$ that complements $U$ to $V$? "That is, if we add $W$ to $U$, we would like to get all of $V$. But at the same time, what we add shall not already have be in $U$.

We have already seen earlier how to add two vector spaces, and in this context we would like $U+W=V$ to hold. Further, $W$ shall not contain anything from $U$. We have already learned about this concept in the article on inner direct sum: We want $U$ and $W$ to form an inner direct sum. So $U\oplus W=V$ should apply.

To summarize, we are looking for a subspace $W$ of $V$ for which $U\oplus W=V$ holds. If $V$ is written as a direct sum of subspaces, this is also called a decomposition of $V$. This is because we decompose $V$ into "smaller" parts using the direct sum.

Definition

Definition (Complement)

Let $K$ be a field and $V$ a $K$ vector space. Let $U$ be a subspace of $V$. Then a complement $W$ of $U$ in $V$ is defined as a subspace of $V$ such that $U\oplus W=V$ holds. This means $U+W=V$ holds, and this sum is an inner direct sum.

Existence and Uniqueness

Existence

Suppose we have given $V$ and a subspace $U$. How do we find a subspace $W$ of $V$ so that $U\oplus W=V$ holds? For example, let $V=\mathbb {R} ^{2}$ and let the subspace $U$ be the diagonal line through the origin with slope 1. According to the theorem on the basis of a direct sum, the following applies: If $U\oplus W=V$ holds, then a basis $B_{U}$ of $U$ together with a basis $B_{W}$ of $W$ will form a basis of $V$. So we first choose a basis $B_{U}$ of $U$: For example, we can choose

$B_{U}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

According to the basis completion theorem, we can add a vector from $\mathbb {R} ^{2}$ to a basis $B_{V}$ of $V$ by adding a vector that does not lie on the line $U$:

$B_{V}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

If we define $B_{W}=B_{V}\setminus B_{U}$ as the set of newly added basis vectors and $W=\operatorname {span} (B_{W})$, then $V=U\oplus W$ should hold. In our example, we obtain the $y$-axis for $W$:

$W=\operatorname {span} \left\{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}.$

We can see that the sum is direct because the intersection of the two lines is the set $\{0\}$, while togwther, they span the entire vector space.

We may even prove that that this kind of construction always provides a complement of a given subspace of a vector space via the basis completion theorem:

Theorem (Complements always exist)

Let $V$ be a $K$-vector space over a field $K$. Let further $U\subseteq V$ be a subspace. Then there is a subspace $W\subseteq V$ such that $U\oplus W=V$, i.e. $W$ is a complement of $U$ in $V$.

How to get to the proof? (Complements always exist)

We know from the theorem about the basis of a direct sum that a basis of $U$ together with a basis of $W$ must result in a basis of $V$. Since $U$ and $V$ are given, we first choose a basis of $U$ and add this to a basis of $V$. The span of the newly added basis vectors is then a canidate for the required subspace $W$. We only have to check that the sum of $U$ and $W$ is direct and results in $V$.

Proof (Complements always exist)

In this proof, we will use bases. These will be defined later in this series, but they are unavoidable here. There is no circular reasoning because we have not used complements in the articles on bases.

Let $U\subseteq V$ be a subspace. We choose a basis $B$ of $U$. According to the basis completion theorem, we can add $B$ to a basis $B'$ of $V$. Let then $W=\operatorname {span} (B\setminus B')$. This is by definition a subspace of $V$.

$U+W=V$ holds, since $U\cup W$ already contains the basis $B'$ of $V$.

It remains to show that $U\cap W=0$. Let $x\in U\cap W$. Then $x$ has representations as a linear combination of vectors in $B$ on the one hand, and of vectors in $B'\setminus B$ on the other. However, since $B'=B\uplus (B'\setminus B)$ forms a basis of $V$ and is therefore linearly independent, only $x=0$ remains as an option.

Warning

Complements always exist in our setting. However, in your further studies, it may happen that the term "complement" is defined somewhat differently, e.g. in functional analysis. Then there are examples of subspaces that have no complement.

Hint

Strictly speaking, we have only shown the existence of complements for finite-dimensional $V$, because we have only proved the basis completion theorem in the finite-dimensional case. However, there is a more general version of the basis completion theorem that works for all vector spaces. This can be used to prove the above theorem in exactly the same way and obtain the existence of complements in infinite-dimensional vector spaces as well.

Komplemente sind nicht eindeutig

Ist das Komplement $W$, das wir im letzten Abschnitt konstruiert haben, eindeutig? Um das Komplement zu definieren, haben wir den Basisergänzugnssatz verwendet. Nun wissen wir, dass Basen im Allgemeinen nicht eindeutig sind. Daher könnten wir eine Basis von $U$ auch zu einer anderen Basis von $V$ ergänzen und diese könnte einen anderen Untervektorraum $W$ als Komplement liefern. Das wollen wir jetzt an einem Beispiel probieren:

Wir betrachten dafür wieder das Beispiel aus dem letzten Abschnitt. Das heißt, wir betrachten $V=\mathbb {R} ^{2}$ und $U$ die erste Winkelhalbierende. Wir wissen schon, dass

$B_{U}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

eine Basis von $U$ ist und dass wir $B_{U}$ durch Hinzufügen des Vektors $(0,1)^{T}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen können. Damit haben wir gesehen, dass $W=\operatorname {span} \{(0,1)^{T}\}$ ein Komplement von $U$ in $V$ ist. Ein anderer Vektor, der nicht in $U$ liegt, ist $(1,0)^{T}$. Damit können wir $B_{U}$ auch zur Basis

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\}$

ergänzen und $W'=\operatorname {span} \{(1,0)^{T}\}$ ist auch ein Komplement von $U$ in $V$. Damit haben wir zwei Komplemente gefunden: $W$ und $W'$. Diese Vektorräume sind die Koordinatenachsen von $V=\mathbb {R} ^{2}$ und damit gilt $W\neq W'$. Das heißt, $U$ hat kein eindeutiges Komplement in $V$ und Komplemente sind nicht eindeutig.

Beispiele und Aufgaben

Example (Triviale Komplemente)

Sei $V$ ein Vektorraum. Es gilt $0\oplus V=V$. Also ist $0$ ein Komplement zu $V$ in $V$.

Die Konstruktion aus dem Beweis vom Satz zur Existenz von Komplementen funktioniert auch in diesem Fall: Wenn $U=V$ ist, dann müssen wir keine Vektoren zur Basis $B_{U}$ von $U$ hinzufügen. Dann ist $W=\operatorname {span} (\emptyset )=\{0\}$, weil der Spann der leeren Menge der Nullraum ist. Genauso funktioniert es im Fall $U=\{0\}$: Dann ist $B_{U}=\emptyset$ und wir ergänzen zu einer Basis von $V$.

Example (Komplement einer Ebene im Raum)

Wir betrachten die Ebene $U$, die von den Vektoren $(1,1,0)^{T}$ und $(0,1,1)^{T}$ aufgespannt wird, d.h.

$U=\operatorname {span} \left\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\right\}.$

Unser Ziel ist es, ein Komplement von $U$ zu finden. Wir können ähnlich vorgehen wie im Satz von der Existenz von Komplementen. Zuerst wählen wir eine Basis von $U$ und ergänzen sie zu einer Basis des gesamten $\mathbb {R} ^{3}$. Die beiden Vektoren, die $U$ aufspannen, $(1,1,0)^{T}$ und $(0,1,1)^{T}$ sind bereits linear unabhängig. Deshalb bilden sie bereits eine Basis von $U$. Um ein Komplement von $U$ zu konstruieren, benötigen wir nur einen weiteren Vektor, weil $\mathbb {R} ^{3}$ ein $3$-dimensionaler Vektorraum ist. Wir brauchen also einen Vektor, der linear unabhängig von den Vektoren $(1,1,0)^{T}$ und $(0,1,1)^{T}$ ist. Wir wählen den Vektor $(1,1,1)^{T}$. Es ist einfach zu überprüfen, dass die drei Vektoren tatsächlich linear unabhängig sind.

Question: Sind die drei Vektoren wirklich linear unabhängig?

Seien $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb {R}$ mit

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}=\lambda _{1}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}.$

Wir müssen zeigen, dass $\lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$ gelten muss. Betrachten wir die Vektoren zeilenweise, erhalten wir ein Gleichunssystem mit drei Gleichungen:

${\begin{aligned}0&=\lambda _{1}+\lambda _{3}\\0&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\0&=\lambda _{2}+\lambda _{3}\end{aligned}}$

Aus der ersten und dritten Gleichung folgern wir $\lambda _{1}=-\lambda _{3}=\lambda _{2}$. Eingesetzt in die zweite Gleichung erhalten wir $0=\lambda _{1}+\lambda _{1}-\lambda _{1}$. Also ist $\lambda _{1}=0$ und damit auch $\lambda _{2}=\lambda _{3}=0$.

Die drei Vektoren $(1,1,0)^{T},(0,1,1)^{T}$ und (1,1,1) bilden also eine Basis von $\mathbb {R} ^{3}$. Der neue Vektor $(1,1,1)^{T}$ spannt ein mögliches Komplement $W$ auf:

$W:=\operatorname {span} \left\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

To-Do:

in einem Bild Ebene und Komplement und Basisvektoren sehen.

Example (Zerlegung von Polynomen)

Wir betrachten den Vektorraum $V=K[X]$ der Polynome über $K$. Dieser hat den Untervektorraum $U=\{f\in K[X]\mid f(0)=0\}$. Wir wollen ein Komplement von $U$ in $V$ finden.

Die Bedingung, dass $f(0)=0$ gilt, können wir auch anders schreiben: Wir können $f=a_{n}X^{n}+\dots a_{1}X+a_{0}$ schreiben. Dann ist $f(0)=a_{0}$ und ein solches Polynom $f$ liegt genau dann in $U$, wenn $a_{0}=0$ gilt. Um ein Komplement von $U$ zu konstruieren, müssen wir also genug Polynome mit $a_{0}\neq 0$ finden. Ein solches Polynom ist das konstante Polynom $f=1$.

Haben wir mit $f$ schon genug Polynome gefunden, um ein Komplement zu haben? Dafür müssen wir überprüfen, dass $U+\operatorname {span} \{f\}=V$ gilt. Sei $g=b_{n}X^{n}+\dots +b_{1}X+b_{0}\in V$ ein beliebiges Polynom. Dann ist $g_{1}=b_{0}$ in dem Spann von $1$ enthalten. Wieter ist $g_{2}=g-g_{1}$ ein Polynom mit $g_{2}(0)=0$. Das heißt, $g=g_{1}+g_{2}$ mit g_1 \in \operatorname{span}\{f\}</math> und $g_{2}\in U$. Damit gilt $U+\operatorname {span} \{f\}=V$.

Weiter ist diese Summe direkt, weil wir wissen, dass $f\not \in U$ gilt. Somit haben wir ein Komplement von $U$ in $V$ gefunden. Der Untervektorraum $W=\operatorname {span} \{f\}$ ist der Untervektorraum der konstanten Polynome. Somit haben wir nebenbei bewiesen, dass man jedes Polynom $f$ in ein Polynom $f_{0}$ mit $f(0)=0$ und ein konstantes Polynom zerlegen kann. Der konstante Teil wird manchmal auch $y$-Achsenabschnitt genannt.

Natürlich hätten wir auch mit jedem anderen Polynom $g$ mit $g(0)\neq 0$ ein Komplement von $U$ erzeugen können.

Exercise (Eindeutigkeit von Komplementen)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass ein Unterraum $U$ in $V$ genau dann ein eindeutiges Komplement besitzt, wenn entweder $U=0$ oder $U=V$ gilt.

Solution (Eindeutigkeit von Komplementen)

Proof step: $\Rightarrow$

Sei $U\subseteq V$ ein Unterraum mit $\{0\}\subsetneq U\subsetneq V$. Beachte, dass das insbesondere impliziert, dass $\dim(V)\geq 2$ sein muss. (Die einzigen Unterräume eines eindimensionalen Vektorraums sind $\{0\}$ und der Raum selbst.) Sei $W$ ein Komplement von $U$ in $V$. Wir zeigen, dass $W$ nicht eindeutig ist, indem wir ein anderes Komplement $W'\neq W$ von $U$ konstruieren.

Es gilt weder $U\subseteq W$ noch $W\subseteq U$: Im ersten Fall wäre $U+W=W$, aber das kann nicht gleich ganz $V$ sein, da sonst $U\cap W=U\neq \{0\}$ wäre. Im zweiten Fall wäre ebenfalls $U+W=U\neq V$. Also folgt mit dem Satz über die Vereinigung von Untervektorräumen, dass $U\cup W\subsetneq V$ ist. Es gibt also Vektoren in $V$, die weder in $U$ noch in $W$ liegen. Wähle einen solchen Vektor $w\in V\setminus (U\cup W)$. Weil $w$ nicht in $W$ liegt, ist $w$ linear unabhängig zu allen Vektoren in $W$. Weil $w$ nicht in $U$ liegt, ist $w$ linear unabhängig zu allen Vektoren in $U$.

Wähle eine Basis von $W$, tausche einen der Basisvektoren durch $w$ aus und definiere $W'$ als den Spann der neuen Basis. Wegen $w\in W'$ aber $w\notin W$ gilt $W'\neq W$. Außerdem ist $W'$ auch ein Komplement zu $U$: Um $W'\cap U=\{0\}$ zu zeigen, sei $v\in W'\cap U$ beliebig. Sei $B_{W'}=\{w_{1},\ldots ,w_{k}\}$ die Basis über die wir $W'$ definiert haben. Per Konstruktion ist jeder der Vektoren in $B_{W'}$ linear unabhängig von allen Vektoren in $U$. Sei $B_{U}=\{u_{1},\ldots ,u_{s}\}$ eine Basis von $U$. Dann gilt

$v=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}w_{i}=\sum _{j=1}^{s}\mu _{j}u_{j}$

für gewisse $\lambda _{i},\mu _{j}\in K$. Umstellen der Gleichung ergibt

$0=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}w_{i}+\sum _{j=1}^{s}(-\mu _{j})u_{j}$

und weil die $w_{i},u_{j}$ linear unabhängig sind, folgt $\lambda _{i}=-\mu _{j}=0$ für alle $i,j$. Also gilt $v=0$ und die Summe ist direkt. Die Summe ergibt ganz $V$, weil nach Konstruktion $\dim(W')=\dim(W)$ gilt: Mit der Dimensionsformel für Unterräume folgt

$\dim(U+W')=\dim(U)+\dim(W')-\underbrace {\dim(U\cap W')} _{=0}=\dim(U)+\dim(W)=\dim(V),$

wobei die letzte Gleichheit wegen $U\oplus W=V$ gilt. Weil $U+W'\subseteq V$ gilt und die Dimensionen gleich sind, muss also $U+W'=V$ gelten.

Proof step: $\Leftarrow$

Angenommen $U=0$. Wir wissen, dass $V$ ein Komplement von $U$ in $V$ ist. Sei $W\subseteq V$ ein weiterer Unterraum mit $\{0\}\oplus W=V$. Weil insbesondere die Summe der beiden Unterräume ganz $V$ ergibt, folgt $V=W+\{0\}=W$.

Angenommen $U=V$. Dann ist $\{0\}$ ein Komplement von $U$ in $V$. Sei $W\subseteq V$ ein weiterer Unterraum mit $V\oplus W=V$. Weil die Summe direkt ist, gilt insbesondere $W\cap V=\{0\}$. Da aber $W\subseteq V$ ist, folgt $W\cap V=W=\{0\}$.