Verknüpfungen zwischen Mengen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Was sind Mengenverknüpfungen? (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Einleitendes BeispielBearbeiten

Symmetrische DifferenzBearbeiten

Stelle dir vor, du hast eine Grundmenge   gegeben:

 

In dieser Grundmenge gibt es eine Menge  :

 

Und eine Menge  :

 

Beide Mengen haben teilweise gemeinsame Elemente, es gibt aber auch Objekte, die nur in einer der beiden Mengen enthalten sind. Insgesamt ergibt sich also folgendes Bild:

 

Stelle dir nun vor, wir möchten die Menge aller Objekte beschreiben, die Elemente genau einer der Mengen   und   sind:

 

Diese Menge wird symmetrische Differenz der Mengen   und   genannt. Man schreibt für diese symmetrische Differenz  . Hier ist   eine Verknüpfung zwischen zwei Mengen. Der Operator   verknüpft nämlich zwei Mengen   und   zu der neuen Menge  . Die neue Menge   enthält dabei alle Objekte, die Elemente genau einer der Mengen   und   sind. Dass   eine Verknüpfung ist, ist analog dazu, dass die Addition + eine Verknüpfung ist. So wie die Addition + zwei Zahlen   und   zu einer neuen Zahl   verknüpft, genauso verknüpft auch die symmetrische Differenz   zwei Mengen   und   zu einer neuen Menge  . Beispiel:

 

Genauso wie die Addition aus den beiden Zahlen   und   die Summe   macht, verknüpft die symmetrische Differenz   die beiden Mengen   und   zur neuen Menge  .

KomplementBearbeiten

Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an: Stelle dir vor, wir wollen alle Objekte der Grundmenge beschreiben, die nicht in   enthalten sind:

 

Diese Menge aller Objekte der Grundmenge, die nicht in   enthalten sind, wird Komplement von   genannt. Für diese Menge schreibt man  . Während im obigen Beispiel   der Operator war, ist hier   der Operator. Im Unterschied zu   wirkt   auf nur einer Menge. Während nämlich   zwei Mengen   und   zu einer neuen Menge   verknüpft, nimmt   nur eine Menge   und macht daraus die neue Menge  .

Überblick zu allen MengenverknüpfungenBearbeiten

So wie die symmetrische Differenz und das Komplement gibt es mehrere auf Mengen definierten Verknüpfungen. In der nachfolgenden Übersicht geben wir zunächst eine Übersicht über die wichtigsten Mengenverknüpfungen. In den nächsten Kapiteln werden wir diese dann einzeln vorstellen.

Name der Verknüpfung Schreibweise Aussprache Mengendiagramm Definition Erklärung
Durchschnitt     geschnitten       Die Menge aller Objekte, die sowohl in der Menge   als auch in der Menge   enthalten sind
Vereinigung     vereinigt       Die Menge aller Objekte, die in der Menge   oder in der Menge   enthalten sind (hier ist „oder“ als „und/oder“, also als einschließendes Oder, zu lesen)
Differenz     ohne       Die Menge aller Objekte, die in der Menge   enthalten sind und keine Elemente der Menge   sind
Symmetrische Differenz   „symmetrische Differenz von   und       Die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen   und   enthalten sind, also entweder in A oder in B, aber nicht in beiden
Komplement   „Komplement von       Die Menge aller Objekte (der Grundmenge), die keine Elemente von   sind