Beweis – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Was sind Beweise?

Aufbau eines Beweises

Ein Beweis ist eine fehlerfreie Herleitung eines mathematischen Satzes aus Axiomen und bereits bewiesenen Aussagen. Er besteht aus endlich vielen Teilschritten, wobei bei jedem Teilschritt streng logisch eine neue Aussage aus den vorhergehenden Aussagen geschlossen wird. Beweise spielen damit eine wichtige Rolle in der Mathematik, denn jeder neue Satz einer Theorie muss durch einen Beweis begründet werden. Um Sätze beweisen zu können oder auch Beweise nachvollziehen zu können, ist es notwendig, die Beweistechniken zu kennen.

Wie ist ein Beweis aufgebaut? Die Voraussetzungen, von denen wir beim Beweis eines Satzes ausgehen, nennt man Prämissen. Dies sind Aussagen, die entweder Axiome der Theorie oder bereits bewiesene Sätze sind. Aus diesen Prämissen werden nun durch logische Schlussfolgerungen weitere Aussagen hergeleitet, aus denen wiederum durch logische Schlussfolgerungen neue Aussagen hergeleitet werden usw. Am Ende dieser Herleitungen steht die zu beweisende Aussage. Durch einen solchen Beweis (der in der rechten Abbildung skizziert ist) hat man nun folgende Aussage bewiesen:

$\mathrm {<} {\text{Prämissen}}\mathrm {>} \Rightarrow \mathrm {<} {\text{zu beweisende Aussage}}\mathrm {>}$

Wie können logische Schlussfolgerungen aussehen? Stelle dir vor, du hast bereits die Implikation „Wenn $A$, dann $B$“ als Satz in deiner Theorie bewiesen oder es ist ein Axiom deiner Theorie oder eine Tautologie. Nimm außerdem an, du hast die Aussage $A$ bereits hergeleitet oder sie ist eine Prämisse deines Beweises. Da nun sowohl die Aussage $A$ als auch die Aussage „Wenn $A$, dann $B$“ gilt, kannst du dir aus beiden Aussagen die Aussage $B$ logisch erschließen und deinem Beweis hinzufügen.

Neben Implikationen können auch Äquivalenzen zur logischen Schlussfolgerung herangezogen werden. Denn wenn eine Äquivalenz $A\Leftrightarrow B$ gilt, so gilt sowohl die Implikation $A\Rightarrow B$ als auch die Implikation $B\Rightarrow A$, die für logische Schlussfolgerungen nach dem obigen Prinzip verwendet werden können.

Das Ende eines Beweises wird oft durch „qed“ gekrönt. Dies steht für quod erat demonstrandum und bedeutet so viel wie „was zu beweisen war“. Auch die Symbole □ bzw. ■ sind als Markierungen für ein Beweisende verbreitet.

Beispiel

Stelle dir vor, du möchtest folgenden Satz beweisen:

$k=x+y\Rightarrow \left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xy$

Dabei sind $k$, $x$ und $y$ reelle Zahlen. Bei diesem Satz ist $k=x+y$ Prämisse und $({\tfrac {k}{2}})^{2}\geq xy$ die zu beweisende Aussage. Wenn der Satz direkt bewiesen wird, so sieht der Beweis folgendermaßen aus (im nächsten Kapitel wird beschrieben, was ein „direkter Beweis“ ist):

${\begin{array}{c}{\text{Prämisse: }}k=x+y\\{\color {Orange}|}\\{\color {Orange}{\text{logische Schlussfolgerungen}}}\\{\color {Orange}\downarrow }\\{\text{zu beweisende Aussage: }}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xy\end{array}}$

Wir stellen dir nun einen möglichen Beweis für obigen Satz vor. Wundere dich nicht, wenn der Beweis „vom Himmel zu fallen“ scheint. Im nächsten Abschnitt werden wir erklären, warum der Beweis so aufgebaut werden musste. Dort erklären wir auch, wie man den Beweis selbst finden kann. Lies dir also erst einmal nur den Beweis durch und versuche, dessen Schlussfolgerungen nachzuvollziehen.

Beweis

Es ist $\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0$ (Quadratzahlen sind stets nichtnegativ). Diese Ungleichung lässt sich umformen:

${\begin{array}{ll}&\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0\\[0.4em]\Rightarrow \ &x^{2}-kx+\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0\\[0.4em]\Rightarrow \ &\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq kx-x^{2}\\[0.4em]\Rightarrow \ &\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq x\cdot (k-x)\end{array}}$

Nun ist nach Voraussetzung $k=x+y$, also $y=k-x$. Wenn wir nun für $k-x$ die Variable $y$ einsetzen, erhalten wir die Ungleichung:

$\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xy$

Dieser Beweis lässt sich folgendermaßen in einem Diagramm skizzieren:

Aufbau des Beweises in einem Diagramm dargestellt

Wenn Beweise vom Himmel fallen

Vielleicht kennst du dieses Gefühl: Du lernst gerade einen neuen Beweis kennen und fragst dich, wie der Autor sich den Beweis „ausgedacht“ hat. Der Beweis scheint vom Himmel gefallen zu sein oder einem göttlichen Einfall entsprungen.

Bevor du dir das nächste Mal diese Frage stellst, solltest du dir Folgendes vor Augen halten: Der Beweis ist eine fehlerfreie Herleitung der Richtigkeit einer Aussage. Es ist kein Lösungsweg, sondern nur das Endergebnis eines Lösungsweges. Beweise erklären in der Regel nicht, wie man diese gefunden hat oder finden kann. Durch Beweise können zwar mathematische Konzepte und Zusammenhänge erklärt werden, dies ist aber kein wesentliches Ziel eines Beweises.

In den seltensten Fällen kann ein Mathematiker einen Beweis sofort führen (sofern er den Beweis des Satzes nicht bereits kennt). In der Regel muss er sich erst einmal auf einem Schmierblatt Gedanken über den Satz machen. Wenn er irgendwann, irgendwie (und dies kann durchaus sehr, sehr lange dauern) einen Beweis gefunden hat, schreibt er diesen als Endergebnis auf. Auch ist oft der Weg, wie der Beweis geführt wird, ein ganz anderer, als der, auf dem ein Mathematiker im Lösungsweg auf den Beweis gekommen ist. Einem Außenstehenden, der nur den Beweis, aber nie den eigentlichen Lösungsweg zu Gesicht bekommen hat, stellt sich da natürlich die Frage, wie „man auf den Beweis kommt“.

Betrachten wir das obige Beispiel: den Beweis des Satzes $k=x+y\Rightarrow \left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xy$. Wir haben den Beweis mit der wahren Aussage $\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0$ begonnen. Ein Leser kann sich hier durchaus fragen, wie wir auf diese Ungleichung gekommen sind. Diese Frage löst sich auf, wenn wir zeigen, was auf dem Schmierblatt stand (wie unser Lösungsweg aussah):

Schmierblatt (ordentlich aufgeschrieben):

${\begin{array}{l}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xy\\[0.5em]\qquad \left\downarrow \ k=x+y\Rightarrow y=k-x\right.\\[0.5em]\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq x\cdot (k-x)\\[0.5em]\qquad \downarrow \\[0.5em]\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xk-x^{2}\\[0.5em]\qquad \downarrow \\[0.5em]x^{2}-kx+\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0\\[0.5em]\qquad \left\downarrow {\text{ quadratische Ergänzung}}\right.\\[0.5em]\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}-\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0\\[0.5em]\qquad \downarrow \\[0.5em]\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0\qquad {\text{(wahre Aussage)}}\\[0.5em]\end{array}}$

Es fällt einiges auf: Zum einen siehst du, dass der Lösungsweg auf dem Schmierblatt nicht perfekt ist. So mussten wir erst quadratisch ergänzen, bevor wir erkannt haben, dass $x^{2}-kx+\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}=\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}$ ist. Einem findigen Mathematiker würde dies sofort auffallen. Zum anderen ist dieser Lösungsweg nicht für einen Beweis geeignet: Er beginnt nicht mit der Prämisse des Satzes, sondern mit dem, was wir beweisen möchten. Dies ist problematisch, denn man kann einen Beweis schlecht mit dem beginnen, was man eigentlich zeigen möchte. Am Ende erhalten wir zwar eine wahre Aussage, aber sie ist nicht die Aussage, die wir beweisen möchten. Da wir nicht deutlich gemacht haben bzw. überlegt haben, dass die Termumformungen umkehrbar sind (die Pfeile zeigen nur „nach unten“), können wir mit Hilfe des Schmierblattes nicht begründen, dass man von der unteren wahren Aussage die zu beweisende Aussage $\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xy$ herleiten kann.

Du siehst: Das, was wir auf dem Schmierblatt geschrieben haben, ist für einen Beweis ungeeignet. Deswegen mussten wir den Beweis (mit Hilfe dessen, was auf dem Schmierblatt stand) anders formulieren. Wir haben mit der wahren Aussage $\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0$ begonnen und aus dieser schrittweise die Zielaussage $\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq xy$ hergeleitet.

Das Schmierblatt erklärt nun, wieso wir mit $\left(x-{\tfrac {k}{2}}\right)^{2}\geq 0$ angefangen haben und wie wir auf diese Ungleichung gekommen sind. Leider wird in den seltensten Fällen neben dem Beweis eines Satzes auch der Lösungsweg dargestellt oder die Idee dahinter genannt. Oftmals muss der Leser selbst herausfinden, wie man auf einen bestimmten Beweis selbst kommen kann, was sehr schwer sein kann. Wir werden uns in diesem Buch darum bemühen, Beweise so zu formulieren, dass aus ihnen auch die Idee dahinter leicht herausgelesen werden kann.