Properties of the exponential series – Serlo

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Eine UngleichungBearbeiten

 
Graph der Exponentialfunktion   und der Geraden  .

Theorem

Sei  . Dann gilt  .

Proof

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1:  

Sei also  . Es gilt die Bernoulli-Ungleichung, d.h. für alle   und   gilt

 

Es gilt wegen  , dass   für alle  . Wir setzen nun  . Es folgt

 

Also:

 

Fall 2:  

Sei nun  . Dann gibt es ein  , so dass für alle   gilt, dass   und somit  . Damit gilt auch  . Folglich ist

 

Da   gilt  .

Ein nützlicher GrenzwertBearbeiten

Nun betrachten wir den Grenzwert  . Dieser ist an vielen Stellen nützlich zum Beispiel bei der Berechnung der Ableitung der e-Funktion.

Um den Grenzwert zu beweisen, brauchen wir zuerst eine Abschätzung:

Theorem (Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Sei   mit   und  , dann gilt

 

Proof (Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Es gilt wegen der Definition der Exponentialfunktion

 

Mit dieser Abschätzung können wir nun unseren Grenzwert beweisen:

Theorem

Es gilt  . Hierbei ist   in den komplexen Zahlen gemeint.

Proof

Wir haben vorher gesehen, dass für alle   und für alle   mit   gilt
 

Benutzen wir jetzt  , dann folgt für alle   mit  

 

Sei nun   eine Folge in   mit   und   für alle  . Dann gibt es ein  , so dass für alle   gilt  . Also folgt für alle  , dass

 

Somit gilt auch, da  ,

 

Nach dem Sandwich-Theorem gilt dann  .

Da unsere Folge beliebig gewählt war gilt also  

To-Do:
  • wie kommt man auf den Beweis

FunktionalgleichungBearbeiten

In diesem Abschnitt zeigen wir den folgenden

Theorem

Für alle   gilt:

 

How to get to the proof?

Dazu benutzen wir die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Die linke Seite ist:

 

Und die rechte Seite ist

 

Das ist genau das Cauchy-Produkt von  . Dazu müssen wir wissen, dass die Reihe   bzw.   absolut konvergiert.

Für alle   gilt

 

und das ist, wie bereits gezeigt, eine reelle Zahl. Also konvergieren die Reihen absolut und damit folgt

 

Proof

Zunächst bemerken wir, dass die Reihe   für alle   absolut konvergiert. Denn

 

und die Exponentialfunktion ist wohldefiniert. Es gilt:

 

PositivitätBearbeiten

Theorem

Sei  . Dann gilt  .

Proof

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1:  

Sei  . Dann gilt  .

Fall 2:  

Sei nun  . Nach der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt

 

Aus dem ersten Fall wissen wir schon, dass   gilt, denn  . Es folgt also  .

MonotonieBearbeiten

Theorem

Die Exponentialfunktion   ist streng monoton steigend.

Proof

Seien   mit  . Dann können wir   mit   schreiben. Aus dem vorher bewiesenen Satz bekommen wir also  . Dann folgt mit der Funktionalgleichung:

 

Stetigkeit der ExponentialfunktionBearbeiten

To-Do:

Diesen Teilabschnitt eventuell verschieben, da die Stetigkeit der Exponentialfunktion vor dem Kapitel zur Stetigkeit bewiesen wird.

In diesem Kapitel beweisen wir die Stetigkeit der Exponentialfunktion

 

Dazu zeigen wir zunächst, dass die Funktion   an der Stelle   stetig ist. Anschließend beweisen wir die Stetigkeit in allen  . Dabei benutzen wir die Stetigkeit in   und die Regel   für alle  .

Theorem

Die Exponentialfunktion   ist stetig in  .

How to get to the proof?

Wir müssen also zeigen, dass es für ein gegebenes   ein   gibt, so dass für alle   mit   gilt

 

Für alle   gilt:

 

In einem vorherigen Satz haben wir folgende nützliche Abschätzung für alle   mit   bewiesen:

 

In unserem Fall gilt somit für alle   mit  , dass

 

Folglich können wir   so wählen, dass für alle   mit   die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1.  , d.h.  
  2.  , d.h.  

Also setzen wir  .

Proof

Sei  . Setze  . Dann gilt für alle   mit  , dass

 

Also ist   in   stetig.

Theorem

Die Exponentialfunktion   ist stetig.

How to get to the proof?

Sei   beliebig. Sei   eine komplexwertige Folge, die gegen   konvergiert, d.h.  .

Wir können nun die Folge   betrachten, wobei wir für alle   definieren:  . Wegen   konvergiert die Folge   gegen  .

Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion   stetig in   ist. Also:

 

Wir gehen nun zurück zu unserer Folge  . Wir wollen zeigen, dass

 

Für alle   gilt

 

Also:

 

Folglich ist   stetig in  . Da   beliebig gewählt war, ist   stetig.

Proof

Sei   und   eine Folge in  , die gegen   konvergiert. Dann gilt

 

Somit ist die Exponentialfunktion   stetig.

BijektivitätBearbeiten

Wir haben schon gesehen, dass wir die Exponentialfunktion aufgrund der Positivität als eine Funktion   in die positiven reellen Zahlen auffassen können. Wir beweisen jetzt die Bijektivität dieser Funktion.

Theorem

Die Exponentialfunktion   ist bijektiv.

Proof

Weil die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, ist sie insbesondere injektiv. Es bleibt noch die Surjektivität zu zeigen. Sei dazu ein   gegeben. Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:  

Es gilt  . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein   mit  .

Fall 2:  

Nach dem ersten Fall finden wir ein   mit  . Somit gilt  .

Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe ArgumenteBearbeiten

Wir haben schon gezeigt, dass für alle   folgende Gleichung gilt:

 

Mit den Mitteln, die wir in diesem Kapitel erarbeitet haben, können wir nun einen anderen Beweis für diese Gleichung angeben. Für den Beweis nutzen wir die Funktionalgleichung, die Monotonie der Exponentialfunktion für reelle Argumente und den Grenzwert  .

Theorem (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Für alle   gilt

 

Damit zeigen wir dann auch insbesondere, dass der Grenzwert   für alle   existiert. Denn wir haben bereits gezeigt, dass  .

Summary of proof (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Sei  . Wir schreiben zunächst für alle  

 

Anschließend zeigen wir, dass man   schreiben kann als  , wobei  . Außerderdem gilt  . Folglich ist

 

How to get to the proof? (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

To-Do:

Herausfinden, wie man auf diesen Beweis kommt

Proof (Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Im Beweis sei für alle   der Ausdruck  . Sei  . Dann gilt für alle  , dass

 

Weiter gilt

 

Wir haben bereits bewiesen, dass  . Wegen   folgt somit  .

Als nächstes beweisen wir zwei Abschätzungen, die wir in unserer späteren Rechnung brauchen werden.

1. Ungleichung

 

2. Ungleichung

 

Somit gilt

 

Nun können wir alle Teile zusammensetzen.

 

Damit haben wir gezeigt, dass für alle   gilt, dass

 

AbleitungBearbeiten