Wir haben uns bis jetzt mit Integralen auf abgeschlossenen Intervallen
beschäftigt. Was passiert allerdings, wenn wir offene Intervalle betrachten? Betrachten wir hierfür das Intervall
.
Was passiert nun, wenn wir das Integral einer Funktion auf diesem Intervall ausrechnen wollen?
Wir fangen am Punkt
an und betrachten die Funktion immer weiter bis ins Unendliche.
Es ist also wieder sinnvoll, einen Grenzwert zu betrachten. Und genau so definieren wir auch das Integral.
Wir nehmen uns eine beliebige obere Grenze
und lassen das Integral
gegen unendlich laufen.
Definition (Integral auf halboffenem Intervall)
Sei
ein Intervall und
eine Funktion.
Falls der Grenzwert
existiert, ist das Integral
konvergent und es gilt:
Analog definieren wir für ein Intervall
:
Falls der Grenzwert
existiert, ist das Integral
konvergent und es gilt:
To-Do:
Integrale auf Intervallen der Form
und