Uneigentliche Integrale – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir haben uns bis jetzt mit Integralen auf abgeschlossenen Intervallen $[a,b]$ beschäftigt. Was passiert allerdings, wenn wir offene Intervalle betrachten? Betrachten wir hierfür das Intervall $[a,\infty )$.

Was passiert nun, wenn wir das Integral einer Funktion auf diesem Intervall ausrechnen wollen?

Wir fangen am Punkt $a$ an und betrachten die Funktion immer weiter bis ins Unendliche.

Es ist also wieder sinnvoll, einen Grenzwert zu betrachten. Und genau so definieren wir auch das Integral. Wir nehmen uns eine beliebige obere Grenze $R$ und lassen das Integral $\int _{a}^{R}f(x)\,\mathrm {d} x$ gegen unendlich laufen.

Definition (Integral auf halboffenem Intervall)

Sei $[a,R]$ ein Intervall und $f:[a,\infty )\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Falls der Grenzwert

$\lim _{R\to \infty }{\int _{a}^{R}{f(x)\,\mathrm {d} x}}$

existiert, ist das Integral $\int _{a}^{\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}$ konvergent und es gilt:

$\int _{a}^{\infty }{f(x)\,\mathrm {d} x}:=\lim _{R\to \infty }{\int _{a}^{R}{f(x)\,\mathrm {d} x}}$

Analog definieren wir für ein Intervall $(-\infty ,a]$: Falls der Grenzwert

$\lim _{R\to -\infty }{\int _{R}^{a}{f(x)\,\mathrm {d} x}}$

existiert, ist das Integral $\int _{-\infty }^{a}{f(x)\,\mathrm {d} x}$ konvergent und es gilt:

$\int _{-\infty }^{a}{f(x)\,\mathrm {d} x}:=\lim _{R\to -\infty }{\int _{R}^{a}{f(x)\,\mathrm {d} x}}$

To-Do:

Integrale auf Intervallen der Form $(a,b]$ und $[a,b)$