Aufgaben zur Stetigkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Lipschitz-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetigBearbeiten

Aufgabe

Sei   Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante  . Es gilt also

 

für alle  . Beweise, dass   gleichmäßig stetig ist.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir müssen zeigen, dass es für alle   ein   gibt, so dass für alle   mit   gilt  . Nach Annahme gilt

 

Damit   gilt, reicht es also, dass  . Folglich setzen wir  .

Beweis

Sei   beliebig. Wähle  . Dann gilt für alle   mit  :

 

Stetigkeit im UrsprungBearbeiten

Aufgabe

Zeige, dass die folgende Funktion im Ursprung stetig ist:

 

Wie kommt man auf den Beweis?

To-Do:

Lösungsweg schreiben. Insbesondere erklären, warum man   wählt.

Beweis

Um die Stetigkeit im Übergang an   zu zeigen, verwenden wir die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit. Dazu zeigen wir, dass für alle   ein   existiert, sodass für alle   mit   die Ungleichung   gilt.

Sei  . Wähle  . Sei   eine reelle Zahl mit  . So gilt:

 

Womit wir nun gezeigt haben, dass   an   stetig ist.

Satz von Maximum und MinimumBearbeiten

Aufgabe (Maximum und Minimum einer Funktion)

Zeige, dass die Funktion   auf   ein Maximum, aber kein Minimum besitzt.

Lösung (Maximum und Minimum einer Funktion)

Beweisschritt:   besitzt Maximum

Zunächst ist   stetig auf   als rationale Funktion mit positivem Nenner. Weiter gilt   für  ,  , sowie

 

Daher gibt es ein   mit   für alle  . Nach dem Satz vom Maximum und Minimum nimmt   auf   ein Maximum an. Dieses ist mit dem Gezeigten sogar global.

Beweisschritt:   besitzt kein Minimum

Es gilt   auf  . Die Null wird als Funktionswert nicht angenommen. Wegen   und der Stetigkeit besitzt die Funktion kein Minimum.

Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 1)

  1. Zeige, dass es keine stetige Funktion   gibt, die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt.
  2. Gibt es eine stetige Funktion   die jeden ihrer Funktionswerte genau dreimal annimmt?

Aufgabe (Häufigkeit von Funktionswerten 2)

Sei   mit  . Zeige: Es keine stetige Funktion   gibt, die jeden ihrer Funktionswerte genau   Mal annimmt.

Zwischenwertsatz und NullstellensatzBearbeiten

Aufgabe (Nullstelle einer Funktion)

Zeige, dass die Funktion

 

im Intervall   genau eine Nullstelle hat.

Lösung (Nullstelle einer Funktion)

Beweisschritt:   hat mindestens eine Nullstelle

  ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen   und  . Außerdem ist

 

und

 

Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein   mit  .

Beweisschritt:   hat genau eine Nullstelle

  ist auf   streng monoton steigend. Ebenso ist   auf   streng monoton steigend. Damit ist aber auch   auf diesem Intervall streng monoton steigend. Damit kann es nur ein   mit   geben.

Aufgabe (Lösung einer Gleichung)

Seien   mit  . Zeige, dass die Gleichung

 

mindestens drei Lösungen hat.

Lösung (Lösung einer Gleichung)

Wir betrachten die stetige Hilfsfunktion

 

Für diese gilt

 

und

 

Daher gibt es   mit   und  . Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein   mit  . Dieses   ist somit eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Ebenso folgt aus   und   und dem Nullstellensatz, dass es ein   mit   gibt. Dieses ist eine zweite Lösung der Gleichung.

Schließlich folgt aus   und   und dem Nullstellensatz, dass es ein   mit   gibt. Dieses ist damit unsere dritte Lösung der Gleichung.

Aufgabe (Lösung einer Gleichung)

Sei   stetig mit  . Zeige, dass es ein   mit   gibt.

Lösung (Lösung einer Gleichung)

Betrachte die Hilfsfunktion

 

Da   stetig ist, ist auch   stetig. Weiter gilt

 

und

 

Fall 1:  

Dies ist äquivalent zu  , was wiederum gleichwertig zu

 

ist. Also ist die Aussage erfüllt mit  .

Fall 2:  

Wir behandeln nur den Fall  . Der Fall   geht ganz analog. Aus   folgt  . Nach dem Nullstellensatz gibt es daher ein   mit

 

Dies ist aber äquivalent zu  . Also gilt die Behauptung.

Aufgabe (Nachweis einer Nullstelle)

Sei   eine natürliche Zahl. Definiere die Funktion  . Zeige, dass die Funktion   genau eine positive Nullstelle hat.

Lösung (Nachweis einer Nullstelle)

Zeigen müssen wir hier zwei Dinge: Zuerst müssen wir beweisen, dass überhaupt eine positive Nullstelle existiert, also eine Nullstelle im Intervall  . Als zweites ist zu zeigen, dass es nur eine solche Nullstelle gibt.

Die Funktion   ist eine Polynomfunktion und damit stetig. Es gilt  , bei   liegt der Funktionswert also unterhalb der  -Achse. Außerdem hat man  , also verläuft der Graph für "große" Werte für   auf jeden Fall oberhalb der  -Achse. Da   stetig ist, lässt sich nun der Zwischenwertsatz anwenden, dieser liefert die Existenz zumindest einer solchen Nullstelle  .

Nun müssen wir noch zeigen, dass es nur eine Nullstelle gibt. Vermuten könnte man, dass die Funktion für positive  -Werte streng monoton steigend ist. Dafür betrachtet man am besten die Ableitung:

Für positive Werte für   gilt:  .

Also ist die Funktion tatsächlich streng monoton. Um nun zu beweisen, dass   die einzige Nullstelle ist, führt man einen Widerspruchsbeweis:

Angenommen es gibt noch eine weitere Nullstelle  . Ohne Einschränkung sei   Da die Funktion   als Polynomfunktion differenzierbar ist und  , liefert der Satz von Rolle (bzw. der Mittelwertsatz), dass ein   existiert mit  . Dies steht aber im Widerspruch dazu, dass die Ableitung der Funktion für positive Zahlen   immer positiv ist.

Damit haben wir bewiesen, dass auch wirklich nur eine einzige positive Nullstelle existiert.

Stetigkeit der UmkehrfunktionBearbeiten

Aufgabe (Stetigkeit der Umkehrfunktion 1)

Sei   definiert durch

 
  1. Zeige, dass   auf   stetig, streng monoton wachsend und injektiv ist.
  2. Zeige:   ist surjektiv.
  3. Begründe, warum die Umkehrfunktion   stetig, streng monoton wachsend und bijektiv ist. Bestimme   explizit.

Lösung (Stetigkeit der Umkehrfunktion 1)

Teilaufgabe 1:   ist stetig auf   als Quotient der stetigen Funktionen   und  . Dabei ist   ist für alle  .

Seien   mit  . Dann gilt

 

Also ist   streng monoton steigend auf   und damit auch injektiv.

Teilaufgabe 2: Es gilt

  und  

Da   stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz zu jedem   ein   mit  . Also ist  , d.h.   ist surjektiv.

Teilaufgabe 3: Da   bijektiv ist existiert

 

und ist ebenfalls bijektiv. Nach dem Satz über die Stetigkeit der Umkehrabbildung ist   stetig und streng monoton steigend. Zur Berechnung von  : Zunächst gilt

 

Fall 1:  

 

Fall 2:  

Mit der quadratischen Lösungsformel erhalten wir

 

Da   ist für  , kommt nur   in Frage. Wir erhalten somit insgesamt

 

Hinweis

Ergänzen wir im Fall   Zähler und Nenner von   mit dem Faktor  , so erhalten wir

 

In dieser Form ist auch  , also benötigen wir die Fallunterscheidung nicht mehr.

Aufgabe (Stetigkeit der Umkehrfunktion 2)

Sei

 
  1. Zeige, dass   injektiv ist.
  2. Bestimme den Wertebereich  .
  3. Begründe, warum die Umkehrfunktion   stetig ist.

Lösung (Stetigkeit der Umkehrfunktion 2)

Teilaufgabe 1:

  ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen  ,  ,   und   auf  .

Weiter gilt für   mit  :

 

Nun ist   für  . Da außerdem   streng monoton fallend ist auf  , folgt

 

Mit der strengen Monotonie von   folgt

 

Also ist   streng monoton steigend und damit auch injektiv.

Teilaufgabe 2:

Zunächst ist

 

Weiter gilt

 

und daraus folgt

 

Da   stetig und   ein Intervall ist, folgt aus der Folgerung zum Zwischenwertsatz, dass   ebenfalls ein Intervall ist. Da   streng monoton steigend ist, und   ist, folgt

 

Teilaufgabe 3:

Da   ein Intervall und   bijektiv ist, gilt mit dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion, dass

 

stetig ist.