Generated sigma-algebras – Serlo

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In this article we learn what the algebra generated by a set system is. We prove some important properties and get to know the Borel--algebra.

MotivationBearbeiten

Let   be a set system over a basic set   and   a function on sets. Our goal is to find out how and under what conditions   can be continued to a measure on a reasonable  -algebra  .

A continuation must be defined at least on the domain of definition of the function to be continued. Therefore, the set system   must be contained in  .

One possibility would be to choose by default the power set   as domain of definition of the continuation (i.e., the largest possible domain): It is a   algebra and contains  . But this is not always a sensible choice:

  • The power set is in general too ambitious a target for a continuation: the volume problem shows that with intuitive geometric volumes there can be problems defining them on the whole power set. So the power set may be too large to continue a measure to it.
  • The power set may also be unnecessarily large: compared to the set system  ,   may contain too many sets to which continuation then makes no sense. A simple example for this case is when   is a measure and   itself is already a   algebra, but not the power set.

A concrete example for the second point is the following:

Example (Reasonable extension of  )

Let   and  . Let further   be a function defined on the set of sets   with  . The set system

 

is a  -algebra containing  . But of course the power set   is also such a  -algebra. Intuitively, however,   makes little sense as a domain of definition of a continuation   of  . This is because the power set also contains the one-element subsets of  . However,   does not provide any information about these at all: we could arbitrarily choose the value for   from  . A larger value is not possible because of monotonicity, since   must hold. Then, because of additivity,  

The  -algebra   we are looking for should therefore not be larger than necessary. We have already stated above that it should, however, contain at least the set system  . So we first consider all super- -algebras of  , i.e., all  -algebras containing  . To find the smallest among these, we proceed as in constructing the (topological) closure of a set: The closure of a set is the smallest closed superset and is defined as a section over all closed supersets. Analogously, we choose the smallest super- -algebra   of   to be the intersection over all these  -algebras.

Definition: Generated -algebraBearbeiten

The  -algebra, which we defined in the previous section as the intersection over all super- -algebras of  , is called generated  -algebra:

Definition (Generated  -algebra)

Let   be a set and   be a set system. The  -algebra

 

is called the   algebra generated by  . The "operator of generation  " defined by it is called the   operator. The set system   is called generator of  .

Hint

 

is another notation for the intersection  , where  .

Hint

Although there is no   in  , the   algebra   generated of a set system   depends of course on the underlying basic set  . Let, for instance  . Then   is the   algebra generated by   over  . For another basic set   this is a different set system. Often, the   is clear from the context and is therefore omitted in the notation of the   operator.

Hint

One can also define other kinds of generated set systems according to the same principle. For example, one can define the ring or  -ring generated by a set system  .

We still need to verify that the generated  -algebra is well-defined, that is, that the definition makes sense. To do this, we need to show:

  • The set over which the intersection is formed is not empty. That is, there is at least one  -algebra containing  .
  •   is indeed a  -algebra.

The first point is clear since the power set   is a  -algebra containing  . For the proof of the second point, we have to prove that the intersection of arbitrary many  -algebras is always a  -algebra again. Then, we have that   as a section over certain  -algebras is indeed a  -algebra.

Theorem (The intersection of  -algebras is again a  -algebra.)

Let   be a non-empty set of  -algebras over  . That is, every element in   is a  -algebra. Then   is a  -algebra.

Proof (The intersection of  -algebras is again a  -algebra.)

We need to prove that   satisfies the three properties of a  -algebra:

  1.  
  2.  
  3.  

The basic set   is in  : Each element of   is a  -algebra over   and thus contains the basic set. Thus   is also contained in the section over all these elements, i.e. in  .

Complement stability: Let   be arbitrary. By definition of  ,   lies in the intersection of all   algebras from   We conclude   for all  . Since every   is a  -algebra, the complement   also lies in   for all  . Thus   is also in the section over all these  -algebras, that is, in  

Completeness under countable unions: Let  . By definition of   these sets lie in the intersection of all  -algebras from  , so we have that   for all   Since every   is a  -algebra and hence complete under formation of countable unions, every   from   also contains the union   Thus this union also lies in the section over all these  -algebras from  , i.e. in  .

We have now shown that   is a  -algebra. Intuitively, it should be the smallest  -algebra containing the set system  . We prove this in the next section "Properties of the  -operator".

Properties of the -operatorBearbeiten

We establish some useful properties of the  -operator:

Theorem

Let   be a set system. The  -operator now satisfies the following properties:

  1. Extensivity:  
  2. Minimality:  is the smallest  -algebra containing  . If   is a  -algebra, then  .
  3. Idempotency:  
  4. Monotonicity:  

Proof

  1. Extensivity: By definition,   is subset of every  -algebra over which we take the intersection in the definition of the  -operator. That is, for any  ,   is element every  -algebra over which we intersect. Then   is also element of the intersection of all these  -algebras, which is exactly  . Since this is true  , we have  .
  2. Minimality: Let   be a  -algebra with  . Since   is one of the sets over which we intersect in the definition of  , we have that  . If   is a  -algebra we may readily conclude  . From extensivity we obtain the other inclusion and therefore we have  .
  3. Idempotency: The idempotency follows directly from the minimality. We have that   is always a  -algebra, and therefore we have  .
  4. Monotonicity: Let  . Then, we have   due to extensivity. Since   is a  -algebra, it follows from minimality that   holds.

Hint

The properties 1., 3. and 4. (extensivity, idempotency and monotonicity) make the  -operator an enveloping operator (it determines the envelope of a set, like wrapping a gift), just as the closure " " of sets turning " " into " ".

ExamplesBearbeiten

In the section "Motivation" we have seen a first example for a generated  -algebra: Let   and   Then   is the  -algebra generated by  :   is a  -algebra and the smallest one containing  . Another example for a finitely generated  -algebra is the following:

Example

If one wants to describe the probability of the occurrence of events when rolling a dice by using a measure, the domain of definition is the  -algebra, which contains all elementary events. These are all one-element subsets   of the basic set   The  -algebra generated by the set   generated is the power set  

Die of den einelementigen Teilmengen einer abzählbaren basic set erzeugte  -Algebra taucht in der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie oft als domain of definition der Verteilung of diskreten Zuifgrößen auf. In diesem Fall einer diskreten, d.h. abzählbaren basic set (etwa   or  ) ist die of diesen Elementarereignissen erzeugte  -Algebra die Potenzmenge  . Anders sieht es aus, wenn die basic set überabzählbar ist:

Theorem ( -algebra over   generated by point sets)

Let   die Grundmenge. Die of der Menge der einelementigen Teilmengen   erzeugte  -Algebra ist  

Proof ( -algebra over   generated by point sets)

Wir führen den Beweis in zwei Schritten. Zuerst zeigen wir, dass   eine  -Algebra ist, die   enthält, d.h. dass   we have that. Danach zeigen wir . Dann folgern wir  .

Proof step:   is a  -algebra containing  

Die Elemente aus   sind einelementig, also abzählbar. Daraus folgt direkt, dass every Element aus   auch in   enthalten ist, also  . Wir zeigen nun, dass   eine  -Algebra ist. Dafür überprüfen wir die drei Kriterien:

We have that natürlich  , da   abzählbar ist.

Ist  , dann ist   abzählbar or   abzählbar. In Fall 1 ist   abzählbar, also in   enthalten. In Fall 2 hat   ein abzählbares Komplement, also ist   in   enthalten.

Let nun   eine Vereinigung of Mengen aus  . Dann unterscheiden wir zwei Fälle. In Fall 1 hat für mindestens ein   die Menge   abzählbares Komplement. Dann ist aber   als Teilmenge einer abzählbaren Menge ebenif abzählbar and hence in   enthalten. In Fall 2 ist for all   die Menge   abzählbar. Dann ist natürlich auch deren Vereinigung   abzählbar and hence in   enthalten.

Damit ist   eine  -Algebra and sie enthält  .

Proof step:  

Let   beliebig. Dann unterscheiden wir zwei Fälle. In Fall 1 ist   abzählbar. Betrachte   als abzählbare Vereinigung of Mengen aus  . Dann ist   insbesondere auch eine abzählbare Vereinigung of Mengen in   and wegen der Vereinigungsstabilität of  -Algebren bezüglich abzählbarer vereinigungen, folgt  . In Fall 2 ist   abzählbar, also laut Fall 1 in   enthalten. Aus der Komplementstabilität of   folgt nun, dass auch   we have that.

We have that also  . Nach der monotonicity des  -Operators we have that   Since   and   bereits  -Algebren sind, folgt with der Minimalität des  -Operators, dass

  we have that, d.h.  .

Manche  -Algebren sind so groß, dass man sie nicht wie in den vorherigen Beispielen explizit hinschreiben kann. Sie lassen sich dann nur über den Erzeuger charakterisieren. Ein Example dafür ist die of den Intervallen erzeugte  -Algebra über  .

Example (Von Intervallen/Quadern erzeugte  -Algebra)

Die elementargeometric Länge ist die Mengenfunktion über  , die allen Intervallen   bzw,  ,  ,   ihre Länge   zuordnet. Wir wissen noch nicht, ob sich diese Mengenfunktion zu einem Maß auf einer  -Algebra fortsetzen lässt. Aber ein sinnvoller domain of definition einer solchen Fortsetzung wäre dann die of allen solchen Intervallen erzeugte  -Algebra, d.h.   with  .

Allgemeiner kann man das elementargeometric Volumen betrachten, dass allen achsenparallelen Quadern im   ihr Volumen, d.h. das Produkt der Seitenlängen zuordnet. Ein Quader ist ein Produkt   of Intervallen   (offen, halboffen oder abgeschlossen). Auch hierfür wissen wir noch noch nicht, ob sich diese Mengenfunktion zu einem Maß fortsetzen lässt. Aber ein sinnvoller domain of definition für eine Fortsetzung wäre dann die vom Mengensystem der Quader   erzeugte  -Algebra  .

To-Do:

Verlinken zum Artikel, wo die Fortsetzung dieser beiden Mengenfunktionen konstruiert wird.

Proving that two set systems generate the same -algebraBearbeiten

Es kommt häufig vor, dass man herausfinden möchte, ob zwei  -Algebren   and   gleich sind. Dafür würden wir am liebsten einfach direkt gegenseitige Inklusion zeigen, also   and   beweisen. Doch wenn   nur über Erzeuger   definiert wurden, ist dies nicht so einfach. Wir müssten ja im Inklusionsbeweis eine beliebige Menge   nehmen and zeigen, dass auch   we have that. Das Problem ist, dass wir im Allgemeinen nicht wissen, wie so eine Menge aus   überhaupt aussieht and was sie für Eigenschaften hat. Wir wissen nur, dass sie in every Ober- -Algebra of   enthalten ist.

Subset-relations for generatorsBearbeiten

Wir gehen stattdessen wie folgt vor, um die Inklusion zu zeigen.

Theorem

Let    -Algebren and sei   ein Erzeuger of   (das heißt eine Menge   with  ). Ist jetzt der Erzeuger   of   eine Teilmenge of  , so ist auch unsere  -Algebra   schon eine Teilmenge of der  -Algebra  . Das heißt  .

Proof

Zuerst sehen wir, dass aus der Minimalität des  -Operators folgt,  . Jetzt nutzen wir die monotonicity des  -Operators:  

Damit haben wir unser Problem schon einmal erheblich vereinfacht. Wir müssen nicht mehr für beliebige Mengen   zeigen, dass   we have that. Es reicht dies für Mengen aus dem Erzeuger   of   zu tun.

Die entgegengesetzte Inklusion kann man nach dem gleichen Prinzip vereinfachen. Das heißt, statt für ein beliebiges   zu zeigen, dass   we have that, nehmen wir uns einen Erzeuger   of   and zeigen for all  , dass   we have that.

Proving that a set is contained in a  -algebraBearbeiten

Wir wissen nun, dass es genügt, nur für die Mengen aus dem Erzeuger zu zeigen, dass sie in der jeweils anderen  -Algebra liegen. Wie kann man aber allgemein für eine Menge   nachweisen, dass sie in einer gewissen  -Algebra   liegt?

Wir wissen, dass   abgeschlossen unter den Operationen Komplement and abzählbare Vereinigung (and hence auch unter Differenzbildung and abzählbaren Schnitten) ist. Darum liegt every Menge, die mithilfe dieser Operationen aus Mengen aus dem Erzeuger   gebildet wird, wiederum in  . Um nun nachzuweisen, dass eine Menge   in   liegt, genügt es also, diese with den genannten Mengenoperationen durch Mengen aus dem Erzeuger   darzustellen.

Since  -Algebren aber sehr groß sein können, gibt es keine allgemeingültige Methode, um eine solche Darstellung of   über die Mengen aus dem Erzeuger zu finden.

Example: The  -algebra generated by intervalsBearbeiten

Wir demonstrieren dieses Prinzip nun an einem Beispiel.

Theorem

Betrachte die Mengensysteme  ,  ,  . Then, we have  . Im übrigen erzeugt   die gleiche  -Algebra.

Proof

Wir zeigen  , dann folgt die Behauptung.

Proof step:  

Es reicht laut dem vorherigen theorem zu zeigen, dass   we have that. Let also  . Dann ist   and auch  . Aufgrund der Differenzstabilität of   ist dann auch  . Since   arbitrary war, folgt  , and daraus folgt die Behauptung dieses Beweisschrittes.

Proof step:  

Wir zeigen wieder  . Let dafür  . Die Mengen   and   sind als abzählbare Vereinigungen of Mengen aus   ebenif in  . Die Vereinigung   ist (wieder wegen Vererinigungsstabilität) in   enthalten, and with der Komplementstabilität of   folgt dann  . Since   arbitrary war, folgt  .

Proof step:  

Wie in den beiden anderen Beweisschritten, zeigen wir wieder  . Let dafür   beliebig. We have that dann for all  ,   die Menge  . Wegen der Vereinigungsstabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen ist dann  . Since   arbitrary war, folgt  , and damit auch  .

Damit ist  . Es macht im folgenden Sinn,   zu definieren.

Proof step:  

Wir zeigen nun, dass   ebenif diese  -Algebra erzeugt.

Aufgrund der monotonicity we have that wegen   direkt  . For die andere Mengeninklusion zeigen wir nach unserem Prinzip wieder  . Let dafür   beliebig. Wir können annehmen, dass   beschränkt ist, denn ist das nicht der Fall, so können wir I als abzählbare Vereinigung of beschränkten Intervallen schreiben and die Aussage so auf den beschränkten Fall zurückführen. Das bedeutet es gibt  , sodass, einer der   folgenden Fälle eintritt

 ,

 ,

 ,

oder  .

In den ersten drei Fällen ist   in einem bekannten Erzeuger aus   enthalten, and hence auch in  . Im Fall   ist   als abzählbare Vereinigungen of Mengen in   wieder in  . Since   aus   arbitrary war, folgt  . Damit we have that schließlich  .

Es sind beide Inklusionen gezeigt and es we have that daher  

Generators of the Borel -algebra Bearbeiten

Wir verwenden das Prinzip des letzten Abschnittes nun an einem sehr wichtigen Beispiel, nämlich der sogenannten Borelschen  -Algebra.

Theorem (Different generators of the Borel  -algebra on real numbers)

Let  . Dann nennen wir   die Borelsche  -Algebra auf  . Wir zeigen, dass die folgenden Mengen ebenif   erzeugen:  ,  . Das heißt,  .

Proof (Different generators of the Borel  -algebra on real numbers)

Wir zeigen,  . Dann müssen all diese  -Algebren gleich sein.

Proof step:  

Wie im vorigen theorem bewiesen, reicht es zu zeigen, dass   we have that. Let also   beliebig. Unsere Idee ist es,   als abzählbare Vereinigung of Mengen aus   darzustellen.

Let for   and   die Menge  , dann ist   eine abzählbare Vereinigung of Elementen aus  , and damit wegen der Vereinigungsstabilität bezüglich abzählbarer Mengen of  -Algebren auch selbst ein Element of  .

Wir zeigen nun  .

  ist als Vereinigung of Teilmengen of   natürlich auch Teilmenge of  , d.h.  .

For die entgegengesetzte Inklusion sei   beliebig. Wir werden jetzt geschickt einen halboffenen Würfel   with rationaler Seitenlänge and rationalem Mittelpunkt konstruieren, sodass   we have that.

Since   offen ist, ist   auch offen bezüglich der Maximumsnorm. Im folgenden sei  (x) immer die  -Umgebung of x bezüglich der Maximumsnorm. Es gibt wegen der Offenheit of   dann   with  .

Let  ,  . Then, we have  . Let   Since   dicht in   liegt, gibt es nun  . Daraus folgt umgekehrt  . Zudem ist  .

Damit ist   eine der Mengen, über die bei der Definition of   vereinigt wird. We have that also  . Since   aus   arbitrary war, ist   and folglich  .

Since   arbitrary war, ist  , woraus ja   folgt.

Proof step:  

Wir zeigen wieder  . Let dazu   beliebig, d.h.   ist abgeschlossen. We have that dann per Definition   offen, also  . Wegen der Komplementstabilität of  -Algebren ist dann  .

Since   arbitrary war, folgt also   and damit  .

Proof step:  

Wir gehen vor wie in Step 1 and 2 and zeigen  .

Let   beliebig. Let   Dann ist   abgeschlossen, also  . Wir definieren nun   Mengen wie folgt: for   sei  . Dann sind diese   abgeschlossene Mengen, also we have that auch  . Die   sind die "fehlenden"  -dimensionale Seitenflächen des  -dimensionalen halboffenen Quaders  

Weiterhin we have that  

Since   als  -Algebra differenzstabil and vereinigungsstabil bezüglich abzählbaren Vereinigungen ist, folgt  .

Since dies für beliebige   we have that, ist   and deswegen ist  .

Jetzt we have that wie vorher überlegt,   and daraus folgt  . Das bedeutet, die Borel- -Algebra wird of der Menge der halboffenen Quader, der Menge der abgeschlossenen and der Menge der offenen Mengen erzeugt.

Hint

Im theorem haben wir die Borelsche  -Algebra als die vom Mengensystem   der rechts offenen Quader erzeugte  -Algebra definiert. Man kann zeigen, dass die folgenden Systeme of Quadern ebenif die Borelsche  -Algebra erzeugen:

  • das Mengensystem der offenen Quader  
  • das Mengensystem der abgeschlossenen Quader  
  • das Mengensystem der links offenen Quader  
  • das Mengensystem aller Quader  

Das zuletzt genannte Mengensystem and die davon erzeugte  -Algebra ist uns schon oben im Abschnitt "Beispiele" begegnet.

Hint

Wir wissen nun, dass die Borelsche  -Algebra auf   auch of allen offenen bzw. allen abgeschlossenen Teilmengen of   erzeugt wird. Man kann allgemeiner die Borelsche  -Algebra auf einem topologischen Raum als die of der Topologie (den offenen Mengen) erzeugte  -Algebra definieren. Auf dem   stimmt das with unserer Definition überein.

Die Borelsche  -Algebra ist eine der wichtigsten  -Algebren and wird uns bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes wiederbegegnen.

To-Do:

Verlinken zur Defintion bzw. zum Artikel, wo die Borel'sche s.-A. genauer behandelt wird.