Existence of a measure continuation – Serlo

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In diesem Kapitel beschäftigen wir uns with der Frage, wann eine Fortsetzung einer Mengenfunktion zu einem Maß existiert and überlegen uns, wie eine solche konstruiert werden kann. Wir lernen -Subadditivität and äußere Maße kennen and leiten den theorem of Carathéodory and den Maßfortsetzungssatz her.

VorüberlegungenBearbeiten

Unter welchen Voraussetzungen kann eine auf einem beliebigen Mengensytem   definierte Mengenfunktion   zu einem Maß auf der of   erzeugten  -Algebra   fortgesetzt werden? Die Antwort auf diese Frage wollen wir uns in diesem Kapitel Step für Step überlegen.

Wir werden gleich an einem einfachen Example sehen, dass die ganze Sache komplizierter ist, als man im ersten Moment vermuten könnte. Denn müsste es nicht intuitiv ausreichen, dass   auf dem domain of definition   die Maßeigenschaften besitzt, um daraus (irgendwie) eine Fortsetzung zu einem Maß auf der erzeugten  -Algebra   zu konstruieren? Die Mengenfunktion   besitzt die Maßeigenschaften, wenn   and  -Additivität we have that, with anderen Worten, wenn   ein Prämaß auf   ist. Dass diese Bedingung notwendig ist, ist klar: Wenn   kein Prämaß auf dem Mengensystem   ist, dann kann insbesondere keine Fortsetzung of   ein Prämaß sein. Damit ist es aber ausgeschlossen, dass es eine Fortsetzung of   zu einem Maß gibt, da every Maß ein Prämaß with einer  -Algebra als domain of definition ist.

Es muss also   ein Prämaß auf   sein, damit eine Fortsetzung zu einem Maß existieren kann. Aber leider ist das nicht hinreichend, denn diese Eigenschaft sagt im Allgemeinen nicht genug über   aus: Das Problem ist, dass wir nichts über die Struktur des Mengensystems   wissen. Insbesondere kann die Eigenschaft der ( -)Additivität trivialerweise erfüllt sein, einfach weil es in   keine disjunkten Mengen gibt. Dennoch kann   Eigenschaften haben, die es direkt ausschließen, daraus einen Inhalt oder ein Maß zu machen, etwa weil die monotonicity verletzt ist. Ein Example dafür haben wir schon ganz zu Beginn im Artikel Inhalte auf Ringen gesehen:

Example (eine  -additive, aber nicht monotonic Mengenfunktion)

  with  

Deshalb gehen wir zunächst ein paar Schritte zurück and erinnern uns an unsere allerersten Überlegungen zu Messfunktionen.

Subadditive MengenfunktionenBearbeiten

Im Artikel Inhalte auf Ringen haben wir volume-measuring functions als extensive Größen aufgefasst. Das sind Größen, die sich with der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern (z.B. Volumen, Masse, Energie, etc.). Dabei haben wir als zentrale Gemeinsamkeit aller extensiven volume-measuring functions die monotonicity beobachtet, d.h. die Eigenschaft, dass ein Vergrößern der gemessenen Menge auch zur Vergrößerung der Messgröße führt. Die monotonicity haben wir konkretisiert zur Subadditivität, aus welcher man die monotonicity folgern kann. Die Subadditivität besagt, dass sich der gemessene Wert auch dann vergößern soll, wenn die Obermenge durch Zusammenlegen endlich vieler einzelner Mengen entsteht. Wenn wir nun with   ein allgemeines Mengensystem haben, dann ist es also angebracht, auch diese allgemeine Eigenschaft extensiver Größen zu fordern: die Subadditivität. Zur Erinnerung die Definition:

Definition (Subadditivität einer Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion   heißt (endlich) subadditiv, if for all   and   with   we have that:

 

Erst später haben wir diese extensive Eigenschaft ergänzt durch die "exakte" Eigenschaft der Additivität and in dem Zusammenhang den Mengenring als möglichen domain of definition of volume-measuring functions beschrieben. Auf Mengenringen war es ausreichend, nur die Additivität zu fordern, um daraus auch Subadditivität and monotonicity zu folgern. Aber im Allgemeinen folgen diese beiden Eigenschaften einer Mengenfunktion nicht aus der Additivität, wenn der domain of definition   keine weitere Struktur besitzt, wie das Example oben gezeigt hat. Deswegen wird unser erstes Ziel sein, eine subadditive Fortsetzung of   zu konstruieren, die auf einem möglichst großen Mengensystem definiert ist.

Konstruktion eines äußeren InhaltsBearbeiten

Eine subadditive Mengenfunktion lässt sich als eine äußere Approximation interpretieren: Wird eine Menge   of Mengen   überdeckt, dann ist ihr Volumen auf every n Fall kleiner oder gleich dem Volumen der überdeckenden Mengen. Dabei spielt es keine Rolle, ob sich die Mengen   disjunkt zur Menge   zusammensetzen oder ob sie   nur "grob" überdecken:

Unter Umständen ist die Summe der Volumina einer disjunkten Zerlegung echt größer als die Vereinigung, aber das macht nichts: Eine Approximation of außen lässt Abweichungen des Volumens nach oben zu. Deshalb ist die Subadditivität bei der Fortsetzung leichter zu handhaben als die Additivität, and es ist sogar eine subadditive Fortsetzung auf ganz   möglich. Beachte, dass wir dagegen of einer additiven Mengenfunktion im Allgemeinen nicht erwarten können, sie auf der gesamten Potenzmenge zu definieren, wie wir am Example of Banach-Tarski gesehen haben. Anschaulich besagt das, dass nicht every Teilmenge der basic set   exakt messbar ist. Von außen approximieren lässt sich dagegen every beliebige Menge  .

Nutzen wir also diesen Zusammenhang zwischen Subadditivität and der Approximation of Mengen durch Überdeckungen bei der Konstruktion der subadditiven Fortsetzung. Let   eine auf dem Mengensystem   definierte subadditive Mengenfunktion. Natürlich muss auch   gelten. Deshalb können wir ohne Einschränkung   annehmen, indem wir   festlegen (selbst, wenn   sein sollte). Mithilfe of approximierenden Überdeckungen koknstruieren wir nun eine auf der Potenzmenge definierte subadditive Fortsetzung  : For a Menge  , die of Mengen   überdeckt wird (d.h.  ), definieren wir

 

Problem: Der Wert of   hängt of der gewählten Überdeckung ab!

Example

Betrachte das Mengensystem   and die Mengenfunktion  . For die Menge   ist sowohl   als auch   eine Überdeckung with Mengen aus  . Der Wert for   ist dann entsprechend   bzw.  . Intuitiv ist die zweite Variante besser als die erste, weil sie   genauer approximiert.

Damit also   wohldefiniert ist, müssen wir unter allen möglichen Überdeckungen with Mengen aus   auswählen. Wir wählen für every Menge   den Wert for  , der zu der Überdeckung gehört, die   am genauesten of außen approximiert. Weil wir of außen approximieren, ist das even diejenige Überdeckung, die den kleinsten Wert for   liefert. Es gibt unter Umständen unendlich viele mögliche Überdeckungen, deshalb bilden wir das Infimum:

 

Hint

Das Infimum der leeren Menge ist definiert durch   (die leere Menge besitzt keine größte untere Schranke). Das entspricht dem Fall, dass   zu "groß" ist and es keine Überdeckung with Mengen aus   gibt.

Evtl. gibt es keine Überdeckung, die genau den Wert   liefert, aber nach Definition des Infimums kann man dem Wert arbitrary nahekommen.

Nach Konstruktion with dem Infimum we have that für every   and every beliebige Überdeckung with Mengen  :

 

Bei der Abschätzung nach oben wurde benutzt, dass die   in der Menge der Überdeckungen of   enthalten sind, über die das Infimum gebildet wird.

Diese Ungleichung ist schon sehr ähnlich zur Subadditivität, die unser Ziel ist. Allerdings steht links der Ungleichung  , rechts  . Deshalb müssen wir die Subadditivität noch extra beweisen.

Theorem

Let   ein Mengensystem with   and   eine Mengenfunktion with  . Dann ist die auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion

 

subadditiv and es we have that  .

Proof

Wir zeigen zuerst  .

Since   eine Überdeckung der leeren Menge with Mengen aus   ist, we have that  . Since außerdem   we have that for all  , ist auch   and es folgt  .

Nun zur Subadditivität. Let   arbitrary with  . Wir müssen zeigen, dass   we have that.

Let ohne Einschränkung   for all  , denn andernif we have that die Ungleichung sowieso. Die Idee ist nun, die Überdeckung   of   auf eine Überdeckung with Mengen aus   zurückzuführen. For diese können wir ausnutzen, dass sie in der Menge der Überdeckungen enthalten ist, über die das Infimum gebildet wird, and erhalten so eine Abschätzung nach oben. Dafür wählen wir für every einzelne   eine Überdeckung   with Mengen aus   (die existiert, weil   ist). Dann ist

 

eine Überdeckung of  . Nach Konstruktion of   we have that somit

 

Bei der zweiten Ungleichung geht ein, dass, wie in der Summe davor, über die Mengen aus   summiert wird, with dem Unterschied, dass einige Mengen möglicherweise doppelt gezählt werden. (Hier benutzten wir, dass   nichtnegativ ist!)

Nun wollen wir aber etwas of der Form

 

erreichen. Dafür müssen wir die Überdeckungen   der   wieder auf die   zurückführen and dabei die Ungleichung beibehalten. Mit anderen Worten, wir brauchen

 

Die Konstruktion of   garantiert aber nur

 

Since wir aber den Wert des Infimums in der definierenden Gleichung of   arbitrary genau approximieren können, können wir die Überdeckungen   so wählen, dass sie nur wenig größer sind als  . Let also  . Zu every m   wählen wir   so, dass we have that:

 

Dann erhalten wir aus obiger Abschätzung

 

und da   arbitrary war, folgt

 

Hint

Beachte, dass wir im theorem nicht die Subadditivität of   gefordert haben. Damit   subadditiv ist, muss   nicht selbst subadditiv sein. Um den theorem zu zeigen, reicht es, dass   eine nichtnegative Mengenfunktion with   ist. Die Subadditivität of   werden wir dennoch gleich brauchen, damit   tatsächlich eine Fortsetzung of   ist.

Wir haben nun eine auf ganz   subadditive Mengenfunktion   with   konstruiert. In Anlehnung an die Überlegungen zur äußeren Approximation nennen wir eine auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion with diesen Eigenschaften einen äußeren Inhalt.

Definition (Äußerer Inhalt)

Eine Mengenfunktion   heißt äußerer Inhalt, if we have that:

  1.  ,
  2.   ist subadditiv.

Warning

Dieser Begriff wird nicht in der Literatur verwendet.

Beachte auch: Was wir hier als äußeren Inhalt bezeichnen, ist kein Inhalt im eigentlichen Sinne, denn er ist im Allgemeinen nicht additiv.

Es bleibt noch die Frage, ob   durch   fortgesetzt wird, d.h. ob   for all   we have that. Das ist nicht so klar: wir wissen bisher nur,   ist, denn   ist eine mögliche Überdeckung of  . Aber nichts garantiert, dass es keine "bessere" Approximation gibt and das Infimum über alle möglichen Überdeckungen nicht doch einen kleineren Wert liefert. Wir wollen also auch die umgekehrte Ungleichung:   for all  . Das ist der Fall, wenn for all endlichen Überdeckungen of   with Mengen   we have that, dass   ist. Mit anderen Worten, wir brauchen zusätzlich die Subadditivität of   auf  .

Theorem

Let   ein Mengensystem with  , sei   eine subadditive Mengenfunktion with   and sei   definiert wie oben. Dann ist   eine Fortsetzung of  .

Proof

Wir müssen zeigen, dass   for all   ist. Since   of   überdeckt wird, we have that   nach Definition of   als Infimum über alle Überdeckungen. Umgekehrt we have that für beliebige   with   wegen Subadditivität of   auch  . Since dies for all Überdeckungen of   erfüllt ist, we have that die Ungleichung auch für das Infimum über alle möglichen Überdeckungen and es folgt  .

Um den wie oben definierten äußeren Inhalt   als Fortsetzung of   zu kennzeichnen, schreiben wir   dafür. Zusammengefasst haben wir bewiesen:

Theorem (von der Konstruktion des äußeren Inhalts)

Let   ein Mengensystem with   and   eine subadditive Mengenfunktion with  . Dann ist

 

ein äußerer Inhalt, der   fortsetzt.

Warning

Im Allgemeinen ist die im theorem definierte Mengenfunktion   eine mögliche Fortsetzung of   zu einem äußeren Inhalt. Neben dieser kanonischen Definition kann es weitere geben. Mit der Frage nach der Eindeutigkeit einer Fortsetzung beschäftigen wir uns später.

Abschließend betrachten wir noch ein kurzes Beispiel. Der äußere Jordan-Inhalt wird ausgehend vom elementargeometric Inhalt im   definiert.

Example (äußerer Jordan-Inhalt)

Eine (halboffene) Quaderfigur ist eine endliche Vereinigung halboffener Quader der Form  .

Wir betrachten das Mengensystem

 

der Quaderfiguren im  . Dieses Mengensystem ist ein Ring. Auf dem ring der Quaderfiguren betrachten wir den elementargeometric Inhalt  . Dieser ordnet einem Quader   sein Volumen

 

zu. Jede Quaderfigur   lässt sich auch als disjunkte Vereinigung endlich vieler Quader schreiben, and ihr Volumen   ist die Summe der einzelnen Quadervolumina. (Mache Dir klar, dass es immer möglich ist,   als disjunkte Vereinigung of halboffenen Quadern zu schreiben, and dass der Wert   nicht of der Wahl der Zerlegung abhängt!) Die so definierte Mengenfunktion   heißt Jordan-Inhalt. Man kann zeigen, dass   auf dem Mengensystem   tatsächlich additiv, also ein Inhalt ist. Insbesondere we have that   and da   ein ring ist, folgt aus der Additivität of   auch die Subadditivität.

Wir können den äußeren Jordan-Inhalt   konstruieren, indem wir für eine beliebige Teilmenge   definieren:

 

Nach dem eben Bewiesenen ist   tatsächlich ein äußerer Inhalt (subadditiv) and setzt   fort. Anschaulich wird damit das Volumen beliebiger Teilmengen des   approximiert, indem diese durch Überdeckungen with Quaderfiguren angenähert werden.

Vom äußeren Inhalt zum InhaltBearbeiten

Wir haben im vorherigen Abschnitt die Subadditivität als wesentliche Eigenschaft erkannt and sie zum Mittelpunkt der Konstruktion der Fortsetzung gemacht. Führen uns unsere Überlegungen zur Subadditivität aber überhaupt zum Ziel and wenn ja, wie können wir es erreichen? Denn nach wie vor sind wir ja an einer "exakten" (additiven) bzw. zusätzlich stetigen ( -additiven) Mengenfunktion auf einem möglichst großen domain of definition interessiert. Eine subadditive Fortsetzung unserer Mengenfunktion auf die ganze Potenzmenge ist natürlich gut and schön, aber uns interessiert, auf welchen Mengen diese Fortsetzung additiv bzw.  -additiv ist. Gehen wir Step für Step vor and kümmern wir uns erstmal um die Additivität. Wenn wir die Mengen herausfinden können, auf denen sich eine subadditive Mengenfunktion additiv verhält, ist schon viel gewonnen: Durch einfaches Einschränken des domain of definitiones erhalten wir schon einen Inhalt, and of dort ist es nicht mehr weit (hoffentlich nur ein Grenzübergang  , aber das werden wir noch sehen) bis zu einem Maß.

Das Ziel ist nun also, den domain of definition geschickt einzuschränken and damit zu erreichen, dass   darauf (endlich) additiv, also ein Inhalt wird. Wie können wir herausfinden, auf welchen Mengen   "exakt", d.h. additiv ist?

Die Messbarkeitsbedingung of CarathéodoryBearbeiten

Gesucht sind diejenigen  , für die we have that:

 

Das sind aber zwei gesuchte Größen (  and  ) in einem Ausdruck. Damit ist schwierig umzugehen, deshalb halten wir nur   als die gesuchte Größe fest and betrachten   (und damit auch  ) als beliebig. Auf der linken Seite der Gleichung können wir nichts mehr vereinfachen. Versuchen wir also, auf der rechten Seite alle Ausdrücke with   durch   and   auszudrücken:

 

Since wir über   nichts wissen, müssen wir for   alle Mengen   with   zulassen. For die Mengen  , auf denen   additiv ist, soll also gelten:

 

Erinnern wir uns an die Überlegungen zur Approximation with Überdeckungen and an die Additivität als Eigenschaft, "exakt" messbar zu sein. Dann sind intuitiv die Mengen  , für welche die Bedingung erfüllt ist, approximierbar. Approximierbarkeit einer Menge kann man als Eigenschaft interpretieren, dass Approximation of Außen and of Innen dasselbe Ergebnis liefern, so wie bei integrierbaren Funktionen die Werte für Ober- and Untersumme im Grenzwert gleich sein sollen. Fassen wir die innere Approximation einer Menge als äußere Approximation des Komplements auf (siehe Bild), so folgt aus dieser Überlegung, dass with einer Menge   stets auch ihr Komplement   messbar sein soll.

Diese Äquivalenz kommt in der obigen Formel schon zum Ausdruck, denn wegen   ist sie symmetrisch in   and  :

 

Nun haben wir aber das Erfülltsein der Gleichung nur für diejenigen   with   gefordert. Ist eine Menge   messbar, so können wir wegen   noch nicht die Messbarkeit des Komplements   folgern. Um die gewünschte Symmetrie zwischen der Approximierbarkeit einer Menge   and ihrem Komplement   herzustellen, muss die definierende Gleichung der Messbarkeit für every beliebige   erfüllt sein. Die Mengen  , für welche die Gleichung for all   we have that, sind die durch   exakt approximierten Mengen, deswegen werden diese auch  -messbare Mengen genannt. Diese Bedingung der Messbarkeit wurde of dem Mathematiker Constantin Carathéodory eingeführt.

Definition (Messbarkeitsbedingung nach C. Carathéodory)

Let   ein äußerer Inhalt. Eine Menge   heißt  -messbar, if for all   we have that:

 

Die Menge   ist die Menge der  -messbaren Mengen.

Hint

Oft wird die Gleichung in der Messbarkeitsbedingung äquivalent formuliert:

 

Außerdem findet man manchmal " " statt " ", d.h.

 

denn wegen Subadditivität we have that ja " " sowieso.

Warning

In der Literatur findet man die Messbarkeitsbedingung für sogenannte äußere Maße anstelle of äußeren Inhalten definiert. Äußere Maße werden wir noch kennenlernen, and unsere Definition der Messbarkeit überträgt sich unverändert darauf.

Anwendung der MessbarkeitsbedingungBearbeiten

Wir haben uns eine Bedingung überlegt, um die Mengen zu finden, auf denen ein äußerer Inhalt   additiv ist. In der Tat funktioniert sie, and der Beweis ist nicht schwer:

Theorem

Let   ein äußerer Inhalt. Dann ist   additiv auf  .

Proof

Wir zeigen die Aussage für zwei disjunkte Mengen, die Additivität für arbitrary endlich viele paarweise disjunkte Mengen folgt induktiv.

Let   disjunkt. We have that wegen der Messbarkeit of  :

 

Genauso gut kann man natürlich with der Messbarkeit of   argumentieren.

Wir können sogar schon etwas über die Struktur of   sagen:

Theorem

Let   ein äußerer Inhalt. Then, we have:

  1.  
  2.  
  3.  

Proof

Die ersten beiden Eigenschaften folgen fast unmittelbar aus der Messbarkeitsdefinition:

Let   beliebig. Wegen   and   we have that:

 

Let nun  . Verwendet man die äquivalente Messbarkeitsbedingung  , so sieht man, dass aus Symmetriegründen   we have that.

Let schließlich   and   beliebig. Mehrfache Anwendung der Eigenschaft  -messbarer Teilmengen ergibt:

 

Wir haben also schon eine  -Algebra ohne " ": alles, was fehlt, ist die Abgeschlossenheit gegenüber abzählbar unendlichen Vereinigungen. Ein Mengensystem with diesen Eigenschaften heißt entsprechend Algebra:

Definition (Algebra)

Ein Mengensystem   heißt Algebra, if we have that:

  1.  
  2.  
  3.  

Induktiv folgt aus   natürlich die Abgeschlossenheit gegenüber beliebigen endlichen Vereinigungen. Jede Algebra ist ein Ring; every ring   with   ist eine Algebra.

Zusammengefasst haben wir herausgefunden:

Theorem (Zwischenresultat)

Let   ein äußerer Inhalt. Dann ist   eine Algebra and   endlich additiv, also ein Inhalt darauf.

-Subadditivität and äußere MaßeBearbeiten

Jetzt haben wir schon ziemlich viel erreicht, es fehlt nur noch die  -Additivität and Abgeschlossenheit gegenüber abzählbaren Vereinigungen. We have that verlockend, einfach zum Grenzwert   über zu gehen and das so auch für abzählbar unendlich viele Mengen zu folgern. Aber es ist nicht klar, ob die Subadditivität (als verallgemeinerte Monotonie) auch beim Übergang zu Grenzwerten erhalten bleibt!

Example (Äußerer Jordan-Inhalt)

Let   der äußere Jordan-Inhalt auf  , der uns in allgemeinerer Form for   schon oben in einem Example begegnet ist. Das dort betrachtete Mengensystem   der Quaderfiguren im   entspricht hier der Menge aller endlichen Vereinigungen of halboffenen Intervallen der Form  . Aus obigem Example wissen wir, dass   tatsächlich ein äußerer Inhalt, also endlich subadditiv ist. Betrachtet man außerdem Mengen der Form   als approximierende Überdeckungen für Ein-Punkt-Mengen  , so sieht man, dass

 

gilt. Daraus folgt, dass   nicht nur den halboffenen, sondern auch beliebigen Intervallen even ihre elementargeometric Länge zuordnet (denn die Randpunkte spielen keine Rolle). Wir betrachten nun die Menge  .

Since   subadditiv ist (vgl. das Example oben), we have that für every endliche Überdeckung of   with Mengen  :

 

Allerdings we have that diese Ungleichung nicht mehr, wenn man zu abzählbar unendlichen Überdeckungen übergeht.

Es leuchtet ein, dass every endliche Überdeckung of   with Mengen   ganz   überdecken muss, da   dicht in   liegt. Die genauestmögliche Überdeckung of   ist also offenbar das Intervall   selbst, and damit we have that  . Let nun   eine Aufzählung der Elemente of   (diese Menge ist abzählbar). Dann ist  , aber es we have that

 

Die Subadditivität bleibt also nicht beim Übergang zu unendlichen Überdeckungen erhalten!

Historische Notiz: Bei der Definition des äußeren Jordan-Inhalts statt endlicher Überdeckungen abzählbar unendliche zu betrachten, war die entscheidende Idee bei der Entwicklung der Integrationstheorie nach Lebesgue. Wir werden gleich sehen, warum.

Die Argumentation, die wir im vorherigen Abschnitt für die endliche Additivität benutzt haben, funktioniert also unter Umständen nicht, wenn wir die Additivität für unendlich viele disjunkte Mengen wollen. Denn damit wir daraus auch die  -Additivität and Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen folgern können, ist erforderlich, dass sich die Subadditivität auch unter Grenzwerten erhält. Mit anderen Worten, die Ungleichung in der Definition der Subadditivität soll auch für Überdeckungen with (abzählbar) unendlich vielen Mengen gelten. Das Example zeigt, dass das im Allgemeinen nicht klar ist and extra gefordert werden muss. Wir erweitern also den Begriff der Subadditivität auf Überdeckungen with abzählbar vielen Mengen and bezeichnen diese Eigenschaft entsprechend als  -Subadditivität:

Definition ( -Subadditivität einer Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion   heißt  -subadditiv, if for all   with   we have that:

 

Bevor wir untersuchen, ob wir with dieser Eigenschaft unser Ziel einer auf    -additiven Mengenfunktion erreichen, führen wir für äußere Inhalte with dieser Eigenschaft noch eine neue Bezeichnung ein. Wir haben auf der Potenzmenge definierte subadditive Mengenfunktionen with   vorhin als äußeren Inhalt bezeichnet, da liegt es nahe, for  -subadditive Mengenfunktionen with   eine daran angelehnte Bezeichnung zu wählen: äußeres Maß. Das ist ein für die Maßfortsetzung sehr zentraler Begriff.

Definition (Äußeres Maß)

Eine Mengenfunktion   heißt äußeres Maß, if we have that:

  1.  ,
  2.   ist  -subadditiv.

Warning

Auch hier we have that: Ein äußeres Maß ist kein Maß im eigentlichen Sinne, denn es ist im Allgemeinen nicht  -additiv auf  .

Wegen   ist every äußere Maß auch endlich subadditiv (und damit monoton): wähle   als überdeckende Mengen.

Konstruktion eines äußeren MaßesBearbeiten

Um ausgehend of einer auf einem beliebigen Mengensystem   with   definierten Mengenfunktion   with   einen äußeren Inhalt   zu konstruieren, haben wir with endlichen Überdeckungen gearbeitet and beliebige   with Mengen aus   approximiert:

 

Die dadurch definierte Mengenfunktion   ist tatsächlich subadditiv auf der gesamten Potenzmenge with  , ist also ein äußerer Inhalt. Wir haben gesehen, dass sie   fortsetzt, also with   auf dem Mengensystem   übereinstimmt, wenn   ebenif die Eigenschaften eines äußeren Inhalts hat, also zusätzlich zu   noch subadditiv auf   ist.

Nun wollen wir eine auf der Potenzmenge definierte  -subadditive Mengenfunktion   with   konstruieren. Eine Mengenfunktion with diesen Eigenschaften bezeichnen wir als äußeres Maß. Es soll also auch für abzählbar unendliche Überdeckungen einer Menge  ,   gelten, dass

 

Beim Nachweis des Subadditivität des wie oben konstruierten äußeren Inhalts haben wir ausgenutzt, dass der Wert   über das Infimum über alle möglichen endlichen Überdeckungen einer Menge   gebildet wird. Aus der Definition folgte unmittelbar die zur Subadditivität sehr ähnliche Ungleichung

 

für eine of Mengen   überdeckte Menge  . Wir können aber of obiger Definition nicht erwarten, dass die damit konstruierte Mengenfunktion   auch  -subadditiv ist: Weil das Infimum nur über endliche Überdeckungen gebildet wird, ist nicht garantiert, dass die Ungleichung auch beim Übergang zu abzählbar unendlichen Überdeckungen erhalten bleibt. Mit dem Jordan-Inhalt auf   and der Menge   haben wir schon ein Example dafür gesehen.

Um also die  -Subadditivität of   folgern zu können and die Ungleichung auch für unendliche Überdeckungen zu erhalten, bilden wir das Infimum auch über diese and verbessern die Definition zu:

 

Beachte, dass wir wegen   auch endliche Überdeckungen darin eingeschlossen haben: wähle  . Die so konstruierte Mengenfunktion   ist tatsächlich  -subadditiv, and der Beweis ist analog zum Nachweis der Subadditivität des oben konstruierten äußeren Inhalts:

Theorem

Let   ein Mengensystem with   and   eine Mengenfunktion with  . Dann ist die auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion

 

ein äußeres Maß.

Proof

Wir zeigen die beiden Eigenschaften eines äußeren Maßes, zuerst dass   ist and dann die  -Subadditivität. Dafür halten wir zunächst sequencesdes fest: Let   eine Überdeckung of  , d.h. es gelte  . Then, we have wegen

 

gemäß der Definition of  , dass

 

Since außerdem wegen der Nichtnegativität of   für beliebige   alle Elemente in   nichtnegativ sind, ist auch immer  .

Indem wir die Überdeckung   of   betrachten, folgt with diesen zwei Aussagen direkt

 

Jetzt zeigen wir die  -Subadditivität. Let dafür   eine beliebige Mengenfolge,  . Wir werden zeigen, dass  .

O.B.d.A. sei   for all  . Denn ist   für ein  , so folgt wegen   auch  , sodass we have that

 

Let nun   beliebig.

Aus der Definition of   mithilfe des Infimums folgt für every  : Es gibt eine Überdeckung of   with Mengen  , sodass

 

Since every einzelne der sequences   die Menge   überdeckt, ist

 

Das heißt,   ist eine abzählbare Überdeckung of  , bestehend aus Mengen aus  . Daraus folgt

 

Since diese Ungleichung for all   we have that, folgt durch einen Grenzübergang   die Behauptung

 

Aus denselben Gründen wie bei der Konstruktion eines äußeren Inhalts muss auch hier   die Eigenschaften eines äußeren Maßes auf   aufweisen, um durch   fortgesetzt zu werden:

Theorem

Let   ein Mengensystem with  , sei   eine  -subadditive Mengenfunktion with   and sei   definiert wie oben. Dann ist   eine Fortsetzung of  .

Proof

Let  . Wir zeigen nun  . Since   of   überdeckt wird, we have that  .

Wir zeigen die andere Ungleichung. Let dazu   eine beliebige Überdeckung of  . Then, we have wegen der  -Subadditivität of  , dass

 

Since dies for all solche Überdeckungen   we have that, we have that auch

 

Um das oben definierte äußere Maß   als Fortsetzung of   zu kennzeichnen, schreiben wir wieder   dafür. Zusammengefasst haben wir bewiesen:

Theorem (von der Konstruktion des äußeren Maßes)

Let   ein Mengensystem with   and   eine  -subadditive Mengenfunktion with  . Dann ist

 

ein äußeres Maß, das   fortsetzt.

Warning

Auch hier we have that: Die im theorem konstruierte Mengenfunktion ist eine mögliche Fortsetzung of   zu einem äußeren Maß. Es muss aber nicht die einzig mögliche sein.

Vom äußeren Maß zum MaßBearbeiten

Mit der zusätzlichen Eigenschaft der  -Additivität ausgestattet, können wir nun auch zeigen, dass   eine  -Algebra ist and   sogar  -additiv darauf ist. Der Beweis beruht tatsächlich auf der Idee, ausgehend vom Zwischenresultat zur endlichen Additivität einen Grenzübergang zu machen:

Theorem

Let   ein äußeres Maß. Dann ist   eine  -Algebra.

Proof

Since every äußere Maß insbesondere ein äußerer Inhalt ist, we have that das oben bewiesene Zwischenresultat and wir wissen schon, dass   eine Algebra ist. Wir müssen also nurnoch die Abgeschlossenheit of   gegenüber abzählbar unendlichen Vereinigungen beweisen, d.h. dass Vereinigungen messbarer Mengen wieder messbar sind. Es soll also for all   and alle   gelten:

 

Die Hauptarbeit besteht darin, " " nachzuweisen, denn wegen endlicher Subadditivität we have that " " ja sowieso. Wir zeigen die Aussage zuerst für unendliche Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen aus  . Let also   paarweise disjunkt. We have that for all  :

 

Dabei haben wir in den ersten beiden Gleichheiten benutzt, dass endliche Vereinigungen of Mengen aus   wieder in   liegen and dass sich   auf   endlich additiv verhält. Die letzte Abschätzung kommt aufgrund der monotonicity of   zustande, denn es we have that

 

Since die oben gezeigte Abschätzung for all   we have that, bleibt die Ungleichung auch beim Grenzübergang   erhalten and wir haben

 

Beachte, dass es wirklich notwendig war, vor dem Grenzübergang die endliche Additivität auszunutzen, damit klar ist, dass die Abschätzung erhalten bleibt! We have that nun   ein äußeres Maß, also  -subadditiv, and wir erhalten aus einer weiteren Abschätzung des ersten Summanden

 

wobei die letzte Ungleichung aus der endlichen Subadditivität folgt. We have that also überall Gleichheit and wir haben die Messbarkeit of   für paarweise disjunkte   gezeigt.

 
Überlappende Mengen   werden durch "herausschneiden" in disjunkte Mengen   überführt

Um die Aussage für beliebige abzählbar unendliche Vereinigungen zu erhalten, nutzen wir wiederum das schon bewiesene Zwischenresultat, nach dem   eine Algebra ist. Um eine Vereinigung "künstlich" disjunkt zu machen, nehmen wir aus every Menge   den Teil heraus, der bereits in der Vereinigung der ersten   Mengen enthalten ist.

Dafür benutzen wir den Zusammenhang  . We have that also wegen Schnitt-, Vereinigungs- and Komplementstabilität der Algebra:

 

Dann ist   eine Vereinigung paarweiser disjunkter Mengen aus   and liegt nach dem oben Gezeigten ebenif in  . Wir haben also auch für nicht-disjunkte  , dass

 

und sind fertig.

Aus der oben gemachten Abschätzung folgt durch geeignete Wahl of   direkt die  -Additivität of   auf  :

Theorem

Let   ein äußeres Maß. Dann ist    -additiv auf  .

Proof

Let   paarweise disjunkt. Im oberen Beweis haben wir mithilfe der  -Subadditivität für disjunkte Mengen die folgende Abschätzung erreicht:

 

We have that also überall Gleichheit and es folgt

 

für alle  . Die Wahl of   liefert die Behauptung.

Zusammengefasst haben wir also den folgenden theorem bewiesen, der nach dem Mathematiker Constantin Carathéodory benannt ist:

Theorem (von C. Carathéodory, 1914)

Let   ein äußeres Maß. Dann ist   eine  -Algebra and   ein Maß darauf.

ZwischenresultatBearbeiten

Wir fassen die bisherigen Definitionen and Ergebnisse kurz zusammen.

Konstruktion eines äußeren MaßesBearbeiten

Wir haben die Eigenschaft der  -Subadditivität kennengelernt. Sie verallgemeinert die Subadditivität auf Überdeckungen (Approximationen) einer Menge with abzählbar unendlich vielen Mengen and kann aufgefasst werden als eine Form der Subadditivität, die beim Übergang zu Grenzwerten erhalten bleibt.

Definition ( -Subadditivität einer Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion   heißt  -subadditiv, if for all   with   we have that:

 

Ein äußeres Maß ist eine auf der gesamten Potenzmenge definierte  -subadditive Mengenfunktion. Es kann interpretiert werden als Approximation des Volumens der Teilmengen of  , ist aber im Allgemeinen kein Maß (nicht  -additiv) auf der Potenzmenge.

Definition (Äußeres Maß)

Eine Mengenfunktion   heißt äußeres Maß, if we have that:

  1.  ,
  2.   ist  -subadditiv.

Mit fast every auf einem Mengensystem definierten Mengenfunktion   kann man ein äußeres Maß konstruieren. Die Idee der Konstruktion ist die Eigenschaft eines äußeren Maßes als äußere Approximation durch möglichst genaue Überdeckungen. Hat   selbst die Eigenschaften eines äußeren Maßes ( -Subadditivität), so ist das damit konstruierte äußere Maß eine Fortsetzung of  .

Theorem (Von der Konstruktion eines äußeren Maßes)

Let   ein Mengensystem with   and   eine Mengenfunktion with  . Dann ist die auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion

 

ein äußeres Maß. Ist   zusätzlich  -subadditiv auf  , so ist das so definierte äußere Maß eine Fortsetzung of   and wir schreiben auch   dafür.

theorem of CarathéodoryBearbeiten

Mithilfe der Messbarkeitsbedingung of Carathéodory kann man diejenigen Mengen finden, auf denen sich ein äußeres Maß additiv verhält. Die Mengen, für welche die Bedingung erfüllt ist, können aufgefasst werden als exakt durch das äußere Maß approximierbare oder messbare Mengen.

Definition (Messbarkeitsbedingung nach C. Carathéodory)

Let   ein äußeres Maß. Eine Menge   heißt  -messbar, if for all   we have that:

 

Die Menge   ist die Menge der  -messbaren Mengen.

Die Menge der bzgl. eines äußeren Maßes messbaren Mengen ist eine  -Algebra. Weiter ist ein äußeres Maß   auf der Menge der messbaren Mengen ein Maß: Nach Definition der Messbarkeitsbedingung verhält sich eine subadditive Mengenfunktion auf den messbaren Mengen additiv. Bleibt die Subadditivität auch im Übergang zum Grenzwert erhalten, we have that also  -Subadditivität, so kann aus der Additivität mithilfe eines Grenzübergangs die  -Additivität gefolgert werden.

Theorem (von C. Carathéodory, 1914)

Let   ein äußeres Maß. Dann ist   eine  -Algebra and   ein Maß darauf.

Der FortsetzungssatzBearbeiten

Wir wissen nun: Ist   eine auf einem beliebigen Mengensystem   with   definierte  -subadditive Mengenfunktion with  , dann können wir damit ein äußeres Maß   auf der Potenzmenge konstruieren, das   fortsetzt. Dafür definieren wir für beliebige  

 

Wir können die bezüglich eines äußeren Maßes messbaren Mengen definieren. Diese bilden eine  -Algebra and das äußere Maß ist  -additiv (ein Maß) darauf. Im sequencesden behalten wir die Bezeichnungen  ,   and   bei and verwenden sie im eben gebrauchten Sinn.

Das Ziel ist jetzt, diese Resultate anzuwenden, um die Fortsetzung zu konstruieren. Dafür wollen wir   auf die of   erzeugte  -Algebra einschränken and so ein Maß auf   bekommen. Noch sind wir aber nicht ganz fertig! We have that noch nicht klar, ob das Mengensystem  , auf dem die fortzusetzende Mengenfunktion definiert ist, in der  -Algebra   der   messbaren Mengen enthalten ist. Ist das nicht der Fall, we have that also  , so ist natürlich auch  . Dann können wir   auch nicht geeignet einschränken. Umgekehrt folgt aus den Eigenschaften des  -Operators, (  ist eine  -Algebra): Ist  , so ist auch  . Was wir also zusätzlich brauchen, ist die Messbarkeit der Mengen aus  . Mit anderen Worten: Es soll

 

für alle   and alle   gelten. Wenn das erfüllt ist, haben wir unser Ziel einer Fortsetzung of   zu einem Maß auf   erreicht.

Anstatt einfach die Gültigkeit der obigen Gleichung als Voraussetzung zur Konstruktion einer Fortsetzung aufzunehmen, benutzen wir eine etwas schwächere Bedingung der Messbarkeit der Mengen aus  . Dafür approximieren wir die beliebige Menge   durch Mengen  . Dann genügt es für die Messbarkeit einer Menge  , wenn die obige Gleichheit nur for all Mengen   we have that, anstatt für beliebige  . Um das einzusehen, benutzen wir jetzt diese abgeschwächte Messbarkeitsbedingung, um daraus die Messbarkeit der Mengen aus   zu folgern.

Let also   die Menge, deren Messbarkeit wir zeigen wollen. Let ferner   arbitrary and seien  , sodass

 

Das Ziel ist,

 

zu zeigen, indem wir ausnutzen, dass die Gleichung für die   an Stelle of   erfüllt ist. We have that wegen der Subadditivität and  -Subadditivität des äußeren Maßes  :

 

Nun haben wir angenommen, dass die Gleichung der Messbarkeit für Mengen aus