Notwendige und hinreichende Bedingungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Notwendige und hinreichende BedingungenBearbeiten

 
Comic zu hinreichenden und notwendigen Bedingungen (Comic von Patrick Wagner)

In der Mathematik ist oft von hinreichenden und notwendigen Bedingungen die Rede. Nimm an, wir haben einen Zusammenhang   wie das typische Beispiel „Wenn es regnet, ist die Straße nass.“ gegeben. Hier ist die Prämisse   eine hinreichende Bedingung für die Konklusion  . Dies bedeutet, dass das Auftreten von   ausreichend dafür ist, dass auch   auftritt. So ist bei Regen die Straße nass (Regen ist hinreichend dafür, dass die Straße nass ist). Außerdem ist die Konklusion   eine notwendige Bedingung für die Prämisse  . Dies bedeutet, dass es für das Auftreten von   zwingend erforderlich ist, dass   gilt. Damit es geregnet hat, muss auf jeden Fall die Straße nass sein (eine nasse Straße ist notwendig für Regen).

 

Die Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingung ist für dich insbesondere bei der Beweisführung wichtig. Wenn du zum Beispiel eine Aussage beweisen möchtest, kannst du schauen, ob du für diese Aussage eine hinreichende Bedingung kennst, die du beweisen kannst. Und wenn du beweisen möchtest, dass eine gewisse Aussage nicht gilt, kannst du versuchen zu beweisen, dass eine für diese Aussage notwendige Bedingung nicht gilt. Beachte hierbei, dass viele mathematische Sätze in der Form einer Implikation formuliert sind (zum Beispiel „Wenn die Funktion   an   differenzierbar ist und dort ein Extremum besitzt, so hat   an   die Ableitung  “).

VerständnisfragenBearbeiten

Verständnisfrage: Sei   eine notwendige Bedingung für  . Ist dann   auch eine notwendige Bedingung für   oder ist sie hinreichend für   oder kann man das nicht so genau sagen?

Wenn   eine notwendige Bedingung für   ist, so gilt  . Damit ist   hinreichend für  .   muss aber nicht notwendig für   sein, da sonst auch   gelten müsste, was aber nicht der Fall sein muss (die Implikation ist nicht immer umkehrbar).

Verständnisfrage: Betrachte folgende Implikationsaussagen. Welche sind notwendige und welche hinreichende Bedingungen dafür, dass eine Zahl durch 6 teilbar ist?

  1. Ist eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, dann ist sie auch durch 6 teilbar.
  2. Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
  3. Eine durch 36 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.

Antwort:

  1. Die Bedingung „Die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar“ ist notwendig und hinreichend für die Teilbarkeit durch 6.
  2. Die Bedingung „Die Zahl ist durch 3 teilbar“ ist notwendig für die Teilbarkeit durch 6.
  3. Die Bedingung „Die Zahl ist durch 36 teilbar“ ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 6 (Die Aussage kann auch so formuliert werden: „Wenn eine Zahl durch 36 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar“).

Hinweis

Die folgenden Begriffe werden dir sicherlich im ersten Semester der Analysis begegnen, und du wirst sie oft benutzen müssen. In dieser Buchreihe behandeln wir sie im Bereich Analysis 1 in den Kapiteln "Grenzwert: Konvergenz und Divergenz" und Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe.

Verständnisfrage: Finde notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, dass „eine Reihe   konvergiert“ in Analogie zur obigen Verständnisaufgabe.

  1. Wenn   konvergiert, ist   eine Nullfolge.
  2. Wenn   absolut konvergiert, konvergiert  .
  3. Wenn   nicht konvergiert, konvergiert   auch nicht.

Hinweis: Um eine Lösung zu finden, kannst du zunächst obige Aussagen in eine aussagenlogische Form bringen. Wenn zum Beispiel   dafür steht, dass   konvergiert, und   dafür steht, dass   eine Nullfolge ist, so lautet die erste Aussage  . Nach dem, was du im obigen Abschnitt gelernt hast, ist   eine notwendige Bedingung für  , also dass „  eine Nullfolge ist“, ist eine notwendige Bedingung dafür, dass „  konvergiert“.

  1. Die Bedingung „  ist eine Nullfolge“ ist notwendig.
  2. Die Bedingung „  ist absolut konvergent“ ist hinreichend.
  3. Die Bedingung „  ist konvergent“, ist notwendig.