Notwendige und hinreichende Bedingungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Notwendige und hinreichende Bedingungen

Comic zu hinreichenden und notwendigen Bedingungen (Comic von Patrick Wagner)

In der Mathematik ist oft von hinreichenden und notwendigen Bedingungen die Rede. Nimm an, wir haben einen Zusammenhang $A\implies B$ wie das typische Beispiel „Wenn es regnet, ist die Straße nass.“ gegeben. Hier ist die Prämisse $A$ eine hinreichende Bedingung für die Konklusion $B$. Dies bedeutet, dass das Auftreten von $A$ ausreichend dafür ist, dass auch $B$ auftritt. So ist bei Regen die Straße nass (Regen ist hinreichend dafür, dass die Straße nass ist). Außerdem ist die Konklusion $B$ eine notwendige Bedingung für die Prämisse $A$. Dies bedeutet, dass es für das Auftreten von $A$ zwingend erforderlich ist, dass $B$ gilt. Damit es geregnet hat, muss auf jeden Fall die Straße nass sein (eine nasse Straße ist notwendig für Regen).

$\overbrace {\underbrace {A} _{{\text{hinreichende Bedingung für }}B}\implies \underbrace {B} _{{\text{notwendige Bedingung für }}A}} ^{\text{Implikation}}$

Die Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingung ist für dich insbesondere bei der Beweisführung wichtig. Wenn du zum Beispiel eine Aussage beweisen möchtest, kannst du schauen, ob du für diese Aussage eine hinreichende Bedingung kennst, die du beweisen kannst. Und wenn du beweisen möchtest, dass eine gewisse Aussage nicht gilt, kannst du versuchen zu beweisen, dass eine für diese Aussage notwendige Bedingung nicht gilt. Beachte hierbei, dass viele mathematische Sätze in der Form einer Implikation formuliert sind (zum Beispiel „Wenn die Funktion $f$ an $x_{0}$ differenzierbar ist und dort ein Extremum besitzt, so hat $f$ an $x_{0}$ die Ableitung $0$“).

Verständnisfragen

Verständnisfrage: Sei $X$ eine notwendige Bedingung für $Y$. Ist dann $Y$ auch eine notwendige Bedingung für $X$ oder ist sie hinreichend für $X$ oder kann man das nicht so genau sagen?

Wenn $X$ eine notwendige Bedingung für $Y$ ist, so gilt $Y\implies X$. Damit ist $Y$ hinreichend für $X$. $Y$ muss aber nicht notwendig für $X$ sein, da sonst auch $Y\Leftarrow X$ gelten müsste, was aber nicht der Fall sein muss (die Implikation ist nicht immer umkehrbar).

Verständnisfrage: Betrachte folgende Implikationsaussagen. Welche sind notwendige und welche hinreichende Bedingungen dafür, dass eine Zahl durch 6 teilbar ist?

1. Ist eine Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, dann ist sie auch durch 6 teilbar.
2. Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
3. Eine durch 36 teilbare Zahl ist durch 6 teilbar.

Antwort:

1. Die Bedingung „Die Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar“ ist notwendig und hinreichend für die Teilbarkeit durch 6.
2. Die Bedingung „Die Zahl ist durch 3 teilbar“ ist notwendig für die Teilbarkeit durch 6.
3. Die Bedingung „Die Zahl ist durch 36 teilbar“ ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 6 (Die Aussage kann auch so formuliert werden: „Wenn eine Zahl durch 36 teilbar ist, dann ist sie auch durch 6 teilbar“).

Hinweis

Die folgenden Begriffe werden dir sicherlich im ersten Semester der Analysis begegnen, und du wirst sie oft benutzen müssen. In dieser Buchreihe behandeln wir sie im Bereich Analysis 1 in den Kapiteln "Grenzwert: Konvergenz und Divergenz" und Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe.

Verständnisfrage: Finde notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, dass „eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert“ in Analogie zur obigen Verständnisaufgabe.

1. Wenn $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.
2. Wenn $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut konvergiert, konvergiert $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.
3. Wenn $\sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}$ nicht konvergiert, konvergiert $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ auch nicht.

Hinweis: Um eine Lösung zu finden, kannst du zunächst obige Aussagen in eine aussagenlogische Form bringen. Wenn zum Beispiel $K$ dafür steht, dass $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, und $N$ dafür steht, dass $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, so lautet die erste Aussage $K\implies N$. Nach dem, was du im obigen Abschnitt gelernt hast, ist $N$ eine notwendige Bedingung für $K$, also dass „$(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist“, ist eine notwendige Bedingung dafür, dass „$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert“.

1. Die Bedingung „$(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge“ ist notwendig.
2. Die Bedingung „$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist absolut konvergent“ ist hinreichend.
3. Die Bedingung „$\sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}$ ist konvergent“, ist notwendig.