Aufgaben zu Gleichungsumformungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Die Note 6 ist genauso gut wie die Note 1Bearbeiten

Aufgabe 1Bearbeiten

Aufgabe

Ein Schüler möchte beweisen, dass die Note 6 eigentlich genauso gut wie die Note 1 ist. Er will also   zeigen. Hierzu präsentiert er dir folgenden Beweis:

Seien   beliebige reelle Zahlen mit  . Es ist dann:

 

Damit ist  , also die Note 6 so gut wie die Note 1. qed.

Wo liegt der Fehler?

Beweis

Es ist nach Voraussetzung im Beweis   und damit  . Als im letzten Umformungsschritt durch den Term   geteilt wurde, wurde also durch 0 geteilt, was nicht definiert ist.

Aufgabe 2Bearbeiten

Aufgabe

Nachdem du seinen Fehler aufgedeckt hast, gibt er noch nicht auf und präsentiert dir einen weiteren Beweis:

Es ist offensichtlich   und damit muss nur noch   gezeigt werden, um zu beweisen, dass   ist. Widerspruchsbeweis: Sei  . Setze   und  . Es ist:

 

Die letzte Aussage ist falsch und damit folgt aus   ein Widerspruch. Es muss also   sein. Da außerdem   ist, folgt  . qed.

Welcher Fehler wurde im obigen Beweis gemacht?

Beweis

Wegen   und   ist  . In der zweiten Ungleichungsumformung wurden also beide Seiten der Ungleichung mit 0 multipliziert. Dies ist aber keine valide Umformung für eine Ungleichung, denn aus   folgt nur dann  , wenn   ist.