Limit of functions – Serlo

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A New Attempt with a Rough PlanBearbeiten

IntuitionBearbeiten

We have an arbitrary function  . This article deals with the question "How does   behave in the neighborhood of a point  , or near infinity?" And "Does   tends to a particular value as we approach   along the x-axis, or does it continue on to infinity?"

We will consider three example functions at the origin:

First ExampleBearbeiten

 

Regardless of who we approach   along the x-axis,   tends towards  .

Second ExampleBearbeiten

 

Even though   is not defined at  , the function still tends towards the value   at the point  .

Third ExampleBearbeiten

 

This case is not as easy as the previous two. From the left   tends towards  , from the right towards  . If we assign the functional value of   to the value of   itself, i.e set  , then   can jump back and forth between   and   as well as between   and  .

Application ExamplesBearbeiten

Limits at infinity:

In order to produce flash on a camera, capacitors are discharged within fractions of a second. Physically, the discharge of a capacitor can be written as  .

For a positive initial voltage   it doesn't matter how large or small we choose the time unit  . It holds   and in particular  . How can we mathematically express that the voltage and therefore also the charge of the capacitor approaches  ? To this we have to investigate  , i.e. the limit of   at infinity.

  as a real number:

In introductory calculus, the area under the graph of a function on the interval   is often approximated by the area of rectangles of equal width.

The thinner the rectangles, the more precisely they approximate the area under the curve. If we write   for the width of a rectangle, we know that the area of a rectangle is the width times the height. The height of the rectangle is precisely the functional value of   at the edge of the rectangle. For rectangle width   we can calculate an approximation of the area under the curve of   on the interval   by the formula:  , as long as we make sure the boundaries of summation fit the index  . We can also calculate and give an explicit formula for the functional values of the function   at the arguments   since we don't allow rectangles to have a width  . In essence, we have formulated the integral calculation as a problem wherein we want to find the limit of   in  .

Transition to MathematicsBearbeiten

How can we as humans consider how a function "behaves" near a point? E.g. does the function increase? decrease? go to infinity? have a hole or jump discontinuity? Is the point a minimum or maximum? In typical introductory math courses, a simple method is to choose a few points near a given point   and compute their functional values to obtain some relative idea or model of how the function looks. Now we want to formalize this procedure:

Let's consider Folgen   and substitute the sequence elements   into  . Since these points should approach  , let's consider functions for which   holds. For example, it would be unwise to look at   at the point   but to use test values like  .

By using the  's as our arguments that we will set into the function, this yields yet another sequence  . We ask whether or not   converges to a functional value in   (remember if   goes to infinity at the point   then this sequence does not converge to a functional value). I.e. this is the same as asking whether   exists.

We haven't yet discussed how many sequences we have to set into  . Do we get enough information if we only choose one sequence and observe how it behaves as it tends towards  ?. Let's consider the following example:

To-Do:

The GIF shall work without clicking


The sign function is given by  

If we choose the sequence   with   and substitute this into  , then we always get the value  . If we only looked at this one sequence, then we would assume that   converges to the value of 1 at the point  . If we choose the sequence   with  , then we always get the value   and now we see that the function   doesn't have a unique limit at the point  . So it is not sufficient to consider just one sequence. Thus, the function has to be have the same for all possible sequences, so that we can determine the existence of the limit value.

Definition by SequencesBearbeiten

Definition (Limit of a Sequence)

Let   be a function with  ,   and  .   has a limit   at the point   , if for every sequence   with   and   it holds:  . If this is the case, then we write  

Let   be a function with   and  .   has the limit value   at infinity , if for every sequence   with   and   it holds:  . If this is the case, we write  

Kurzer Nachtrag zur Definition über FolgenBearbeiten

Als letzen Feinschliff mussten wir noch beachten, dass der Ausdruck   nur sinnvoll ist, falls   im Definitionsbereich von   liegt. Deshalb fordern wir  . Auch sollten wir   nur in Punkten   untersuchen, an die wir uns tatsächlich annähern können. Ist   z.B. nur auf   definiert, so ist es uns nicht möglich zu erfahren, was   in der Umgebung von   macht. Was allerdings möglich ist, ist nach einem Streben von   im Punkt   zu fragen. Unsere   müssen also in  , dem Abschluss von   liegen.

Definition: über Epsilon Delta (Andere Person)Bearbeiten

Spielraum bei der DefinitionBearbeiten

Dieser Abschnitt existiert, weil verschiedene Autoren und verschiedene Lehrbücher unterschiedliche Definitionen benutzen. Es kann gut sein, dass du in der Vorlesung nicht die Definition aus diesem Artikel gelernt hast, sondern eine der folgenden Variationen.

Es gibt die Möglichkeit, statt   nur   zu erlauben.

Unabhängig von der ersten Entscheidung hat man die Möglichkeit, die betrachteten Folgen   noch weiter einzuschränken. Wollen wir das Verhalten von   in der Nähe von   betrachten, so können wir darüber diskutieren, ob es erlaubt ist,   selbst als Wert "nahe an  " in   einzusetzen. Manche Autoren legen deshalb fest:

Für die betrachtetetn Folgen   gilt     (statt  )

Anmerkung: Stetigkeit und Grenzwerte von FunktionenBearbeiten

Vergleichen wir unsere Intuition mit dem Folgenkriterium der Stetigkeit, so stellen wir fest, dass es auch bei der Stetigkeit um das Streben von   in einem Punkt   geht. Vergleichen wir zusätzlich beide Definitionen über Folgen , so finden wir auch hier sehr große Ähnlichkeiten. Bei der Stetigkeit von   im Punkt   wird nur zusätzlich gefordert, dass   gilt, weil der Ausdruck   existieren muss. (Da  , gilt insbesondere  .) In der Tat gibt es Autoren, die Stetigkeit mithilfe von Grenzwerten von Funktionen definieren. Stetigkeit von   in   bedeutet nämlich nichts anderes, als dass   gilt. Dies ist sogar unabhängig davon, welche Variante wir bei der Definition über Folgen wählen. Dies liegt bei der ersten Variationsmöglichkeit daran, dass wir die Einschränkung   für die Frage nach Stetigkeit sowieso treffen müssen. Es ist zudem egal, ob wir   oder   fordern: Wenn für alle erlaubten Folgen in     gegen   strebt, so gilt dies auch für alle erlaubten Folgen in  . Umgekehrt: Wenn für alle erlaubten Folgen in     gegen   strebt, so gilt dies auch für alle Folgen in  .

Auch sei gesagt, dass die Definition von Stetigkeit über Grenzwerte von Funktionen ebenfalls mit der Epsilon-Delta-Definition dieses Kapitels funktioniert.

Bsp: Die Indikator-Funktion von  Bearbeiten

Links und Rechtsseitige GrenzwerteBearbeiten

Verwendung von einseitigen GrenzwertenBearbeiten

"Später für Integrale: Raum der Regelfunktionen. Regelfunktion ist relativ abstrakt. Klassifizierbar als: f Regelfunktion gdw für alle   rechts und linksseitiger Grenzwert existieren.

Evtl hilfreichBearbeiten

Motivation und HerleitungBearbeiten

Intuitive ErklärungBearbeiten

Wir werden nun den Grenzwerte einer Funktion   in einem Punkt   betrachten. Dabei geht es darum, zu untersuchen wie sich die Funktion   in der Nähe dieses Punktes verhält. Wir gehen mit den  -Werten beliebig nahe an   heran, und sehen uns dabei die Funktionswerte   an.

Dabei ergeben sich Fragen, wie: Streben diese Funktionswerte irgendwo hin, d.h. haben sie ein Ziel? Gibt es je nach Annäherungsart (von links, von rechts, ...) verschiedene Ziele?

Der stetige FallBearbeiten

Betrachten wir zunächst den Fall, dass   in   stetig ist. Als Beispiel wählen wir   und  . Wie verhält sich  , falls wir   gegen   gehen lassen? Nun ist es klar, dass sich   dem Wert   annähert. Dabei ist es vollkommen egal, ob wir uns von links oder rechts annähern.

Ebenso hätte es keinen Unterschied gemacht, wenn wir uns abwechselnd von links und rechts dem Wert   genähert hätten.   nähert sich dann genauso dem Wert  . Mathematisch „sauber“ formuliert bedeutet dies: Für jede Folge   mit   gilt  . Der Grund dafür ist, dass die Exponentialfunktion folgenstetig im Ursprung ist. Zur Erinnerung:

Definition (Folgenkriterium der Stetigkeit an einer Stelle)

Eine Funktion   mit   ist stetig an der Stelle  , wenn für alle Folgen   mit   und   gilt:

 

Es liegt nun auf der Hand den „Grenzwert von   für   gegen  “ als   zu definieren. Es folgt: Eine stetige Funktion   besitzt daher in   immer den Grenzwert  .

Verständnisaufgabe: Bestimme die folgenden Grenzwerte:

  1.  
  2.  

Lösungen:

  1. Da   stetig in   ist, gilt für jeder Folge   mit Gliedern aus   und  :  . Also ist  
  2. Da die Funktionen   und   stetig im Nullpunkt sind, ist auch die zusammengesetzte Funktion   dort stetig. Für jeder reelle Nullfolge   gilt daher:  . Damit ist  .

Nun stellen sich allerdings noch weitere Fragen, wie: Lässt sich der Grenzwert auch in einem Punkt berechnen, in dem die Funktion nicht stetig ist? Lässt sich der Grenzwert auch in Punkten bestimmen, die nicht im Definitionsbereich der Funktion liegen?

Der unstetige FallBearbeiten

In der Praxis bedeutet die Unstetigkeit einer Funktion   in einem Punkt  , in den meisten Fällen, dass die Funktion dort einen Sprung hat. Betrachten wir dazu das Beispiel   Diese Funktion „springt“ im Ursprung auf den Funktionswert  , ist aber sonst überall konstant gleich null. Nähern wir uns nun dem Ursprung von rechts bzw. links an, so ist klar, dass   immer konstant gleich null bleibt:

Nun kommen wir zu einem entscheidenden Punkt: Soll   den Wert null annehmen dürfen, oder nicht. In unserer Charakterisierung mit Folgen, die wir im stetigen Fall benutzt hatten, bedeutet dies: Betrachten wir nur solche Nullfolgen   mit   für alle  , oder ist auch   für beliebig viele   erlaubt?

  • Im ersten Fall würde für jede Nullfolge   (mit  ) gelten:  . Definieren wir  , so existiert dieser Grenzwert.
  • Im zweiten Fall hingegen gilt beispielsweise für die konstante Nullfolge  :  . Hingegen für die Nullfolge  :  . Der Grenzwert von   für   würde nicht existieren, da er nicht eindeutig wäre.

Dieser Punkt ist in der Analysis-Literatur nicht eindeutig festgelegt. In der moderneren Literatur wird meistens wie im zweiten Fall vorgegangen. Daher wollen auch in unserer Definition des Grenzwertes solche Folgen   mit   zulassen. Unsere (vorläufige) Definition des Grenzwerts einer Funktion in einem Punkt des Definitionsbereichs lautet somit:

Eine Funktion   mit   besitzt in   den Grenzwert  , in Zeichen  , falls für alle Folgen   mit   und   gilt:  

Verständnisaufgabe: Bestimme die folgenden Grenzwerte, falls vorhanden:

  1.   mit  
  2.   mit  

Lösungen:

  1. Bei   handelt es sich um die im Nullpunkt stetige Betragsfunktion  . Daher gilt für jeder Nullfolge  :  . Damit ist  .
  2. Dieser Grenzwert existiert nicht. Für die Nullfolge   gilt  . Für die Nullfolge   hingegen ist  .

MotivationBearbeiten

Man könnte nun fragen, wofür wir Grenzwerte von Funktionen überhaupt brauchen. Im ersten Semester begegnen sie einem überwiegend bei Stetigkeit bzw. stetiger Fortsetzbarkeit, allerdings kann man mit ihnen z.B. auch uneigentliche Integrale berechnen. Das praktische an Grenzwerten von Funktionen ist, dass man am Ende ein sehr einfache Schreibweise dafür hat, dass man   beliebig nahe am Punkt   betrachtet. Man kann mit ihnen also das Verhalten einer Funktion beim Streben nach einem Punkt charakterisieren.

Vorbereitung auf das FolgenkriteriumBearbeiten

Nun geht es darum, Grenzwerte von Funktionen mathematisch zu beschreiben.

Wir gehen bei der Betrachtung von   mit unseren  -Werten sehr nahe an   heran. Es bietet sich an, dies mithilfe von Folgen  zu beschreiben, die den Grenzwert   haben. Da man die  -Werte in   einsetzen möchte, sollte die Folge innerhalb des Definitionsbereiches laufen. Die  -Werte sollten ein Ziel haben. Dies bedeutet, dass die Folge   auch einen Grenzwert haben muss. Weiterhin war für uns wichtig, wie sehr die Funktion entschlossen ist, die  -Werte zu lenken. Wir wollen etwas nur einen Grenzwert nennen, wenn die Funktionswerte immer gegen den gleichen Wert streben, egal auf welche Art wir uns   nähern. Es ist also noch nicht ausreichend, wenn für jede Folge   mit Grenzwert   gilt, dass die Folge  einen Grenzwert hat. Zusätzlich dazu müssen alle diese Funktionswertfolgen den gleichen Grenzwert haben.

Definition über das FolgenkriteriumBearbeiten

Definition (Grenzwert von Funktionen)

Sei   eine Funktion,   und  .   hat in   den Grenzwert  , wenn für jede Folge   mit   und   gilt:  .