Aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Es gibt zwei mögliche Schreibweisen, um Mengen zu definieren: die aufzählende Mengenschreibweise und die beschreibende Mengenschreibweise.

Aufzählende Mengenschreibweise Bearbeiten

Grundlegende ErklärungBearbeiten

Die aufzählende Mengenschreibweise (Video vom Podcast The Wicked Mu)
 
Beispiel einer aufzählenden Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise werden alle Objekte aufgeschrieben, die zu einer Menge zusammengefasst werden sollen. Dabei werden diese Objekte in geschweifte Klammern   gesetzt und durch Kommata , oder Semikolons ; getrennt. Semikolons bieten sich besonders dann an, wenn in der Menge Kommazahlen als Elemente vorkommen. Die obige Beispielmenge   bestehend aus der Trommel, der Spielkarte, der Digitalkamera und der Gitarre können wir zum Beispiel so schreiben:

 

Weitere Beispiele der aufzählenden Mengenschreibweise sind:

Beispiel (Beispiele für die aufzählende Mengenschreibweise)

  – Menge der Zahlen  ,  ,   und  
  – Menge der Zahlen  ,  ,   und  
  – Menge der Zahlen   sowie   und  

Besonderheiten der aufzählenden MengenschreibweiseBearbeiten

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise spielt die Reihenfolge, in der die Elemente der Menge aufgezählt werden, keine Rolle. Auch ist es unerheblich, wie oft ein Objekt aufgeschrieben wird. Das mehrfache Aufschreiben eines Objekts ist nämlich gleichbedeutend mit einer einfachen Nennung:

 

Diese Tatsachen sind keine Konventionen, sondern folgen bereits zwingend aus Prinzipien, die wir bereits über Mengen kennen gelernt haben. Hierzu ein paar Verständnisfragen, die zugegebenermaßen nicht leicht zu beantworten sind:

Verständnisfrage: Warum spielt die Reihenfolge der aufgeschriebenen Objekte bei der aufzählenden Mengenschreibweise keine Rolle?

Hinweis: Man kann es mit Hilfe der Extensionalität von Mengen erklären.

Dies folgt aus der Extensionalität der Menge. Die Reihenfolge, mit der die Elemente einer Menge notiert werden, beeinflusst nämlich nicht, welche Objekte am Ende Teil einer Menge sind. So besitzen beispielsweise die Mengen   und   dieselben Elemente und müssen demnach identisch sein, unabhängig davon, dass sie auf unterschiedliche Weise definiert wurden.

Verständnisfrage: Warum spielt es bei der aufzählenden Mengenschreibweise keine Rolle, wie oft ein Element aufgeschrieben wird?

Hinweis: Diese Frage kann mit der Extensionalität von Mengen beantwortet werden.

Auch diese Tatsache folgt aus der Extensionalität von Mengen. Sobald ein Objekt mindestens einmal notiert wurde, ist es ein Element der definierten Menge. Dies ändert sich nicht, wenn man dasselbe Objekt mehrfach notiert.

Verständnisfrage: Es sei  . Was folgt dann für   und  ?

Wegen   und   ist auch   (folgt aus dem Extensionalitätsprinzip). Nun ist letzte Aussage dann und nur dann wahr, wenn   ist. Also sind beide Objekte   und   identisch.

Verständnisfrage: Es sei  . Was kannst du dann für die Objekte  ,  ,   und   sagen?

Wegen   ist   oder  . Analog ist   oder  . Damit gibt es vier verschiedene Möglichkeiten, von denen eine zutreffen muss:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Es ist auch   möglich, wobei dies alle der vier Möglichkeiten impliziert und damit bereits durch die obigen Möglichkeiten abgedeckt ist.

Aufzählende Mengenschreibweise bei unendlichen MengenBearbeiten

Die aufzählende Mengenschreibweise bei unendlichen Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Der Nachteil der aufzählenden Mengenschreibweise ist, dass mit ihr nur Mengen mit einer endlichen Anzahl an Elementen eindeutig definiert werden können. Möchte man mit der aufzählenden Mengenschreibweise eine unendliche Menge definieren, so muss man zwangsläufig Elemente auslassen. Der Leser wird dann dazu aufgefordert, die Aufzählung der Elemente in Gedanken fortzuführen. So könnte man für die Menge   der ganzen Zahlen schreiben:

 

Jedoch ist die aufzählende Schreibweise für unendliche Mengen nicht eindeutig. Insbesondere ist dann die aufzählende Mengenschreibweise problematisch, wenn zu wenig Elemente angegeben sind, als dass alle Leser intuitiv auf dieselbe Menge schließen. Dies illustriert folgendes Beispiel:

Frage: Welche Menge ist mit dem Ausdruck   gemeint?

Am plausibelsten ist die Menge der positiven geraden Zahlen:

 

Möglich ist aber auch die Menge der palindromischen natürlichen Zahlen[1]:

 

oder die Menge der positiven Zahlen, die nur aus geraden Ziffern bestehen[2]:

 

Durch den Ausdruck   kann also die vom Autor gemeinte Menge nicht eindeutig beschrieben werden, denn es wurde nirgends definiert, wie die Aufzählung der Elemente fortgesetzt werden sollte. Außerdem kann nicht objektiv festgelegt werden, was eine sinnvolle Fortsetzung einer Folge ist. Dementsprechend solltest du die beschreibende der aufzählenden Mengenschreibweise bei unendlichen Mengen vorziehen, weil diese nicht das Problem der Uneindeutigkeit hat.

Warnung

Es kommt manchmal zu Missverständnissen bei einelementigen Mengen. So ist  , denn   ist die einelementige Menge, die die Menge der natürlichen Zahlen enthält, und   ist die unendliche Menge der natürlichen Zahlen.

Verständnisfragen zur aufzählenden MengenschreibweiseBearbeiten

Verständnisfrage: Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

  1.  
  2.  
  3.  

Man kann die Frage beantworten, wenn man sieht, welche Elemente in den einzelnen Mengen enthalten sind (jeweils unterschiedlich farblich markiert):

  1.   – Die Elemente der Menge sind die Zahlen  ,   und  .
  2.   – Die Menge besteht aus der Zahl   und der Menge  .
  3.   – Die Elemente der Menge sind die Mengen  ,   und  .

Dementsprechend lauten die Antworten:

  1. falsche Aussage
  2. falsche Aussage
  3. wahre Aussage

Verständnisfrage: Wie viele Elemente besitzen folgende Mengen?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Auch hier hilft die farbliche Markierung der einzelnen Elemente:

  1.   – Die Elemente der Menge sind die Zahlen  ,   und  .
  2.   – Die Menge besteht aus der Zahl   und der Menge  .
  3.   – Die Elemente der Menge sind die Mengen  ,   und  .
  4.   – Die Menge besteht aus der Menge  .

Entsprechend dazu sind die Antworten:

  1. drei Elemente und zwar  ,   und  
  2. zwei Elemente und zwar   und  
  3. drei Elemente und zwar  ,   und  
  4. ein Element und zwar die Menge  

Verständnisfrage: Welche der folgenden Gleichungen stimmen?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Antwort:

  1. stimmt: Beide Mengen sind identisch, weil sie dieselben Elemente enthalten.
  2. stimmt nicht: Die linke Menge enthält die Zahl  , welche kein Element der rechten Menge ist.
  3. stimmt nicht: Die rechte Seite enthält die Zahl  , die nicht Teil der linken Menge ist. Beachte, dass   als die nicht-negative Wurzel einer Zahl definiert ist. Es ist also  .
  4. stimmt: Beide Mengen sind identisch, weil sie dieselben Elemente enthalten.

Verständnisfrage: Wie viele Elemente besitzt die Menge  ?

Viele werden hier im ersten Moment „zwei“ als Antwort geben. Doch wenn   ist, dann ist die Menge   einelementig. Nimm zum Beispiel  . Es ist dann

 

Die richtige Antwort lautet also:

„Wenn   ist, besitzt   zwei Elemente. Ist  , dann ist   einelementig.“

Diese Aufgabe zeigt deutlich, warum wir uns in der Mathematik nicht auf unsere Intuition verlassen können und jeden unserer Gedanken kritisch hinterfragen müssen.

Beschreibende Mengenschreibweise Bearbeiten

Erklärung und BeispieleBearbeiten

Die beschreibende Mengenschreibweise (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Durch die beschreibende Mengenschreibweise wird eine Menge aller Objekte definiert, die eine bestimmte Eigenschaft   besitzen. Dabei ist   eine Aussageform mit einer freien Variablen (in diesem Fall  ). Man schreibt   und meint damit die Menge   aller Objekte  , die die Eigenschaft   erfüllen. Es gilt das sogenannte Abstraktionsprinzip:

Definition (Abstraktionsprinzip)

Sei   eine beliebige Aussageform. Die Menge   ist die Menge aller Objekte, für die   gilt. Für   gilt das so genannte Abstraktionsprinzip:

 

Dieses bedeutet:   ist genau dann Element der Menge  , wenn   wahr ist.   wird dabei die definierende Bedingung der Menge   genannt.

Anstatt eines senkrechten Striches wird oft auch ein Doppelpunkt verwendet. So kann auch   für die Menge   geschrieben werden. Die Aussprache von   lautet: „Menge aller   mit  “. Es folgen einige Beispiele:

Menge Formel Formel mit Aussprache
Die Menge aller reellen Zahlen zwischen   und      
Die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen    
Die Menge aller Quadratzahlen    
Die Menge aller irrationalen Zahlen    

Varianten der beschreibenden MengenschreibweiseBearbeiten

Sollen mehrere Bedingungen an die Elemente einer Menge gestellt werden, so ist es üblich diese Bedingungen mit Kommata zu trennen anstatt sie mit der Konjunktion   zu verknüpfen (zur Erinnerung: Die Konjunktion ist das logische „und“). Möchtest du also die Menge   aller Objekte   mit den Eigenschaften  ,   bis   notieren, so kannst du   aufschreiben. Diese Schreibweise ist gleichbedeutend mit  .

Möchtest du eine Grundmenge explizit angeben, aus der die Elemente der Menge stammen sollen, so kannst du die Schreibweise   verwenden. Durch diese Schreibweise wird die Menge aller Objekte   der Menge   definiert, die die Eigenschaft   erfüllen. Diese Schreibweise ist eine Kurzschreibweise für  . Beispielsweise kann die obige Menge   der Menge der irrationalen Zahlen auch durch die Schreibweise   beschrieben werden.

Anders als bei der aufzählenden Mengenschreibweise, ist diese Mengenschreibweise auch für unendliche Mengen eindeutig. Deshalb sollte man für unendliche Mengen vor allem diese Mengenschreibweise verwenden.

Verständnisfragen zur beschreibenden MengenschreibweiseBearbeiten

Verständnisfrage: Wie lautet die Mengenschreibweise für folgende Mengen (sowohl beschreibend als auch aufzählend als Antwort möglich)?

  1. Menge aller natürlichen Zahlen größer als  .
  2. Menge aller Funktionswerte des Sinus.
  3. Menge aller reellen Lösungen der Gleichung  .

  1.  
  2.   oder   (Wegen der Extensionalität von Mengen sind beide Mengen identisch)
  3.   oder   (Wegen der Extensionalität von Mengen sind beide Mengen identisch)

Verständnisfrage: Es sei  . Welchen Zusammenhang kannst du dann für die Eigenschaften   und   folgern?

Wegen   muss nach dem Extensionalitätsprinzip für alle Objekte   gelten:

 

  ist also genau dann ein Element von  , wenn es ein Element von   ist. Nun ist ja   genau dann ein Element von  , wenn   wahr ist. Analog gilt  . Es muss also für alle   gelten:

 

Dies bedeutet, dass genau dann   wahr ist, wenn auch   wahr ist (und umgekehrt).

Verständnisaufgabe: Finde eine Möglichkeit, um die Menge   in der beschreibenden Mengenschreibweise aufzuschreiben.

Eine Möglichkeit ist

 

Durch die Aussageform   kann ein Element aus der Menge   beschrieben werden. Durch eine ähnliche Vorgehensweise kannst du jede endliche Menge in der beschreibenden Mengenschreibweise notieren.

Verständnisfrage: Es gilt:   Warum?

Hinweis: Nutze das Extensionalitäts- und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Wegen des Extensionalitätsprinzip folgt die Gleichheit aus  . Das aber ist das Abstraktionsprinzip mit   als definierender Bedingung für  . Die Gleichheit   macht deutlich, dass es bei Mengen nur auf die Elemente ankommt!