Teilfolge – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Einführendes Beispiel

Einführendes Beispiel zu Teilfolgen (YouTube-Video vom YouTube-Kanal "MJ Education“)

Manchmal ist es notwendig, nur über eine Unterfolge einer Folge zu sprechen. Solche Unterfolgen werden in der Mathematik Teilfolge genannt. Dieser Name ist ganz intuitiv: Teilfolgen bezeichnen einen Teil einer Folge. Eine Teilfolge entsteht dadurch, dass in einer gegebenen Folge beliebige Folgenglieder entfernt werden. Beim Streichen der Folgenglieder müssen aber unendlich viele Folgenglieder übrig bleiben. Die übrig geliebenen Folgenglieder bilden dann eine Teilfolge der ursprünglichen Folge. Nehmen wir zum Beispiel die Folge $a_{n}=(-1)^{n}$:

$-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ \ldots$

Wir interessieren uns nun für die Teilfolge jedes zweiten Folgenglieds. Diese entsteht, indem wir alle Folgenglieder mit ungeradem Index streichen:

${\begin{array}{rccccccc}{\text{Originalfolge}}\colon &{\cancel {-1}},\ &{\color {OliveGreen}1},\ &{\cancel {-1}},\ &{\color {OliveGreen}1},&{\cancel {-1}},\ &{\color {OliveGreen}1},\ &\ldots \\{\text{Teilfolge}}\colon &&{\color {OliveGreen}1},\ &&{\color {OliveGreen}1},&&{\color {OliveGreen}1},\ &\ldots \end{array}}$

So entsteht eine Teilfolge, die konstant $1$ ist.

Mathematische Beschreibung

Erklärung der mathematischen Schreibweise $a_{n_{k}}$ für Teilfolgen (YouTube-Video vom YouTube-Kanal "MJ Education")

Wie können Teilfolgen notiert werden? Schauen wir uns zunächst die Indizes der Folgenglieder an, die in der Teilfolge enthalten sein sollen:

${\begin{array}{rccccccccccccc}{\text{Index }}n\colon &{\cancel {1}}&\ &{\color {RedOrange}2}&\ &{\cancel {3}}&\ &{\color {RedOrange}4}&\ &{\cancel {5}}&\ &{\color {RedOrange}6}&\ &\ldots \\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\{\text{Folgenglied }}a_{n}\colon &{\cancel {-1}}&\ &{\color {OliveGreen}1}&\ &{\cancel {-1}}&\ &{\color {OliveGreen}1}&\ &{\cancel {-1}}&\ &{\color {OliveGreen}1}&\ &\ldots \end{array}}$

Jetzt suchen wir eine Folge $\left(n_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$, die diese Indizes beschreibt. Im obigen Beispiel betrachten wir alle geraden Indizes. Also ist $n_{k}=2k$:

${\begin{array}{rccccccccccccc}{\text{Neuer Index }}k\colon &1&\ &2&\ &3&\ &4&\ &\ldots \\[0.5em]&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\[0.5em]{\text{Indexfolge }}n_{k}\colon &{\color {RedOrange}2}&\ &{\color {RedOrange}4}&\ &{\color {RedOrange}6}&\ &{\color {RedOrange}8}&\ &\ldots \end{array}}$

Diese Folge setzen wir in $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ein. Dadurch entsteht die Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$:

${\begin{array}{rccccccccccccc}{\text{Neuer Index }}k\colon &1&&2&&3&&\ldots \\[0.5em]&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\[0.5em]{\text{Indexfolge }}n_{k}\colon &{\color {RedOrange}2}&&{\color {RedOrange}4}&&{\color {RedOrange}6}&&\ldots \\[0.5em]&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\[0.5em]{\text{Teilfolge }}a_{n_{k}}\colon &{\color {OliveGreen}(-1)^{2}=1}&&{\color {OliveGreen}(-1)^{4}=1}&&{\color {OliveGreen}(-1)^{6}=1}&&\ldots \end{array}}$

Zunächst bilden wir also die Folge $\left(n_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ der relevanten Indizes einer Teilfolge. Diese Teilfolge setzen wir dann in die Originalfolge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ für $n$ ein, sodass wir die Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ erhalten.

In unserem Beispiel ist ${\color {RedOrange}n_{k}=2k}$. Wir setzen also ${\color {RedOrange}2k}$ für $n$ in $a_{n}=(-1)^{n}$ ein. So erhalten wir die Teilfolge ${\color {OliveGreen}a_{2k}=(-1)^{2k}=1}$.

Definition

Definition von Teilfolgen (YouTube-Video vom YouTube-Kanal: "MJ Education")

Definition (Teilfolge)

Sei $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige Folge. Jede Folge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ heißt Teilfolge von $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, wenn $\left(n_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen ist.

Dieser Begriff ist wichtig für die Analysis, weil durch ihn Häufungspunkte charakterisiert werden können. Was Häufungspunkte genau sind, werden wir im nächsten Kapitel näher untersuchen.

Hinweis

Jede Folge ist eine Teilfolge von sich selbst. Wenn man nämlich $n_{k}=k$ wählt, dann ist $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(a_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$. Für $n_{k}=k$ ist also die Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ mit der ursprünglichen Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ identisch. Das zeigt, dass jede Folge eine Teilfolge von sich selbst ist.

Aufgabe (Teilfolgen)

Gib fünf unterschiedliche Teilfolgen der Folge $\left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ an.

Lösung (Teilfolgen)

Die Folge $\left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ besitzt unendlich viele Teilfolgen. Fünf davon sind

${\begin{aligned}\left({\tfrac {1}{2k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }&=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{8}},{\tfrac {1}{10}},\ldots \right)\\\left({\tfrac {1}{2k-1}}\right)_{k\in \mathbb {N} }&=\left({\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {1}{7}},{\tfrac {1}{9}},\ldots \right)\\\left({\tfrac {1}{k^{2}}}\right)_{k\in \mathbb {N} }&=\left({\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{9}},{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{25}},\ldots \right)\\\left({\tfrac {1}{k+2}}\right)_{k\in \mathbb {N} }&=\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{7}},\ldots \right)\\\left({\tfrac {1}{p(k)}}\right)_{k\in \mathbb {N} }&=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{5}},{\tfrac {1}{7}},{\tfrac {1}{11}},\ldots \right),{\text{ wobei }}p(k){\text{ die }}k{\text{-te Primzahl ist}}\end{aligned}}$

Konvergenz von Teilfolgen

Für Teilfolgen gibt es den folgenden wichtigen Satz:

Satz (Konvergenz von Teilfolgen)

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge. $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert genau dann, wenn jede Teilfolge konvergiert. Der Grenzwert der Folge stimmt mit den Grenzwerten ihrer Teilfolgen überein.

Beweis (Konvergenz von Teilfolgen)

Um die Äquivalenz

${\begin{array}{c}(a_{n})_{n\,\in \,\mathbb {N} }{\text{ konvergiert}}\\[1ex]\iff \\[1ex]{\text{Jede Teilfolge von }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ konvergiert}}\end{array}}$

zu beweisen, beweisen wir die zwei Implikationen:

1. Wenn $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, konvergiert auch jede Teilfolge von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.
2. Wenn jede Teilfolge von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, konvergiert $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Wir können den Beweis so führen, weil die Aussage $A\iff B$ äquivalent zu $(A\implies B)\land (B\implies A)$ ist.

Beweisschritt: Konvergenz der Folge impliziert Konvergenz aller Teilfolgen gegen denselben Grenzwert.

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge mit Grenzwert $a$. Wir müssen beweisen, dass alle Teilfolgen von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auch konvergieren.

Sei also $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ eine Teilfolge von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Wir wollen nun zeigen, dass $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ auch gegen $a$ konvergiert. Sei $\epsilon >0$ gegeben. Da $a$ der Grenzwert von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist, existiert ein Index $N\in \mathbb {N}$, sodass für alle $n\geq N$ die Ungleichung $|a_{n}-a|<\epsilon$ erfüllt ist.

Da nach Definition die Folge $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine streng monoton steigende Folge ist, ist $n_{k}\geq k$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Damit ist $n_{k}\geq N$ für alle $k\geq N$, denn aus $n_{k}\geq k$ und $k\geq N$ folgt $n_{k}\geq k\geq N$. Somit ist $\left|a_{n_{k}}-a\right|<\epsilon$ für alle $k\geq N$.

Insgesamt haben wir so bewiesen, dass es für alle $\epsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit $\left|a_{n_{k}}-a\right|<\epsilon$ für alle $k\geq N$ gibt. Nach Definition des Grenzwertes besitzt die Teilfolge $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ den Grenzwert $a$ und konvergiert somit. Da die Teilfolge $\left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ beliebig gewählt war, gilt dieser Beweisschritt für alle Teilfolgen von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Beweisschritt: Konvergenz aller Teilfolgen impliziert Konvergenz der Folge.

Wir wissen, dass alle Teilfolgen von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren. Nun ist aber die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Teilfolge von sich selbst. Also muss auch diese konvergieren.

Im ersten Beweisschritt haben wir gezeigt, dass der Grenzwert der konvergenten Teilfolgen dann mit dem Grenzwert von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ übereinstimmt.

Beispiel (Konvergenz von Teilfolgen)

Da $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, gilt auch für die beiden Grenzwerte

${\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }a_{2k}&=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2k}}=0\\\lim _{k\to \infty }a_{2k-1}&=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2k-1}}=0\end{aligned}}$

Hinweis

Aus obigem Satz folgt unmittelbar, dass eine konvergente Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ihren Grenzwert nicht ändert, wenn man endlich viele Folgeglieder streicht. Durch Streichen von endlich vielen Folgegliedern entsteht nämlich eine Teilfolge $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Diese Teilfolge hat nach dem eben bewiesenen Satz denselben Grenzwert.

Aus dem obigen Satz folgt direkt:

Satz (Divergenz bei Divergenz einer Teilfolge)

Wenn eine Teilfolge divergiert, muss auch die ursprüngliche Folge divergieren.

Verständnisfrage: Warum folgt aus dem obigen Satz, dass die ursprüngliche Folge divergiert, wenn eine Teilfolge divergiert?

Wir wissen: Wenn eine Folge konvergiert, konvergiert auch jede Teilfolge. Würde eine konvergente Folge existieren, für die eine Teilfolge divergiert, erhielten wir also einen Widerspruch. Damit wissen wir, dass die ursprüngliche Folge divergieren muss, wenn eine Teilfolge von ihr divergiert.

Beispiel (Divergenz von Teilfolgen)

Betrachten wir die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}=(-1)^{n}n$. Diese hat die Folge $(a_{2k})_{k\in \mathbb {N} }=(2k)_{k\in \mathbb {N} }$ als Teilfolge. Da $(2k)_{k\in \mathbb {N} }$ eine unbeschränkte Folge ist, divergiert diese Teilfolge. Nach dem gerade bewiesenen Satz divergiert dann auch $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Anwendung: Konvergenz von Mischfolgen

Im Kapitel „Beispiele und Eigenschaften von Folgen“ haben wir gesehen, wie wir aus zwei Folgen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Mischfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bilden können. Diese ist definiert als

$a_{n}={\begin{cases}b_{\frac {n+1}{2}}&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\c_{\frac {n}{2}}&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}$

Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist also aus den beiden Teilfolgen $(a_{2n-1})_{n\in \mathbb {N} }=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(a_{2n})_{n\in \mathbb {N} }=(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zusammengesetzt.

Wir stellen uns nun die Frage, wie die Konvergenz der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit der Konvergenz der Folgen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zusammenhängt. Damit $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, müssen auf jeden Fall folgende beiden Bedingungen erfüllt sein:

• Zum einen müssen die beiden Teilfolgen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren, weil wir schon wissen, dass Teilfolgen konvergenter Folgen konvergieren.
• Zum anderen müssen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen denselben Grenzwert konvergieren. Damit nämlich $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, müssen alle ihre Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.

Ist eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt, so ist die Mischfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ divergent. Doch diese beiden Bedingungen sind nicht nur notwendig, sondern auch schon hinreichend für die Konvergenz der Mischfolge! Dies werden wir nun beweisen. Der Grenzwert der Mischfolge stimmt dann mit dem Grenzwert der beiden Teilfolgen überein.

Satz (Konvergenz von Mischfolgen)

Seien $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zwei Folgen und sei $a\in \mathbb {R}$. Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert durch

$a_{n}={\begin{cases}b_{\frac {n+1}{2}}&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\c_{\frac {n}{2}}&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}$

konvergiert genau dann gegen $a$, wenn die Folgen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergieren.

Beweis (Konvergenz von Mischfolgen)

Beweisschritt: Wenn $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergiert, dann konvergieren auch die Folgen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$.

Mit $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{2n-1})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{2n})_{n\in \mathbb {N} }$ sind sowohl $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als auch $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Teilfolgen von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Da $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergiert, konvergieren nach dem Satz über die Konvergenz von Teilfolgen auch alle Teilfolgen von $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$. Somit konvergieren auch $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$.

Beweisschritt: Wenn die Folgen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergieren, dann konvergiert auch $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$.

Weil sowohl $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als auch $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $a$ konvergieren, gelten die beiden Aussagen:

• $\forall \epsilon >0\,\exists N_{1}\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N_{1}:|b_{n}-a|<\epsilon$
• $\forall \epsilon >0\,\exists N_{2}\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N_{2}:|c_{n}-a|<\epsilon$

Wegen $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{2n-1})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{2n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist damit:

• $\forall \epsilon >0\,\exists N_{1}\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N_{1}:|a_{2n-1}-a|<\epsilon$
• $\forall \epsilon >0\,\exists N_{2}\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N_{2}:|a_{2n}-a|<\epsilon$

Sei nun $\epsilon >0$ beliebig. Nach den obigen Aussagen gibt es damit ein $N_{1}$ mit $|a_{2n-1}-a|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{1}$. Außerdem gibt es ein $N_{2}$ mit $|a_{2n}-a|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{2}$. Setzen wir nun $N=\max\{2N_{1}-1,2N_{2}\}$. Sei $m\geq N$ beliebig. Wenn $m$ ungerade ist, dann ist $m=2n-1$ für ein $n\in \mathbb {N}$. Wegen $m\geq 2N_{1}-1$ ist $n\geq N_{1}$ und damit ist

$|a_{m}-a|=|a_{2n-1}-a|<\epsilon$

Wenn $m$ gerade ist, dann ist $m=2n$ für ein $n\in \mathbb {N}$. Wegen $m\geq 2N_{2}$ ist $n\geq N_{2}$ und damit

$|a_{m}-a|=|a_{2n}-a|<\epsilon$

Damit ist $|a_{m}-a|<\epsilon$ für alle $m\in \mathbb {N}$. Dies beweist $\lim _{m\to \infty }a_{m}=a$.

Verständnisfrage: Im obigen Beweis haben wir $N=\max\{2N_{1}-1,2N_{2}\}$ gewählt. Warum können wir nicht $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ setzen?

Im obigen Beweis haben wir ausgenutzt, dass $|a_{2n-1}-a|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{1}$ ist. Dies bedeutet, dass ab dem Folgenglied $a_{2N_{1}-1}$ für alle ungeraden Folgenglieder von $(a_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ die Ungleichung $|a_{m}-a|<\epsilon$ erfüllt ist. Analog können wir aus der Tatsache, dass $|a_{2n}-a|<\epsilon$ für alle $n\geq N_{2}$ ist, schließen, dass ab dem Folgenglied $a_{2N_{2}}$ für alle geraden Folgenglieder von $(a_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ die Ungleichung $|a_{m}-a|<\epsilon$ erfüllt ist. Um also $|a_{m}-a|<\epsilon$ zu beweisen, benötigen wir $m\geq 2N_{1}-1$ und $m\geq 2N_{2}$. Deswegen wählen wir $N=\max\{2N_{1}-1,2N_{2}\}$, damit aus $m\geq N$ sowohl $m\geq 2N_{1}-1$ als $m\geq 2N_{2}$ folgt.

Beispiel (Konvergenz von Mischfolgen)

Betrachte die Mischfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {1}{n}}$. Dies ist eine Mischfolge, da

$a_{n}=(-1)^{n}{\frac {1}{n}}={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{ für ungerade }}n\\{\frac {1}{n}}&{\text{ für gerade }}n\end{cases}}$

Damit ist $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zusammengesetzt aus den beiden Teilfolgen $b_{n}=a_{2n-1}=-{\tfrac {1}{2n-1}}$ und $c_{n}=a_{2n}={\frac {1}{2n}}$. Nun ist

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }b_{n}&=\lim _{n\to \infty }-{\frac {1}{2n-1}}=0\\\lim _{n\to \infty }c_{n}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n}}=0\end{aligned}}$

Beide Teilfolgen konvergieren gegen Null, und damit muss auch $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen Null konvergieren.