Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Nach den Körper- und Anordungsaxiomen möchte ich nun die Vollständigkeit der reellen Zahlen beschreiben.

Wieso brauchen wir ein Vollständigkeitsaxiom?

Den Grund finden wir, indem wir uns zunächst eine andere Frage stellen: Können wir mit den bisher vorgestellten Axiomen bereits die Existenz von ${\sqrt {2}}$ beweisen? Die Antwortet lautet: „Nein“. Wenn wir nämlich die Existenz von ${\sqrt {2}}$ beweisen könnten, so würde jedes Modell der bisherigen Axiome auch die Zahl ${\sqrt {2}}$ enthalten. Nun sind aber die rationalen Zahlen ein solches Modell, weil sie alle Körper- und Anordnungsaxiome erfüllen. Jedoch ist ${\sqrt {2}}$ bekanntlich keine rationale Zahl (siehe Wikipedia-Artikel „Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid“). Es folgt, dass die Existenz von ${\sqrt {2}}$ mit den Körper- und Anordnungsaxiomen unbeweisbar ist, weil wir sonst einen Widerspruch hätten. Analog ist auch die Existenz der Kreiszahl $\pi$ oder der eulerschen Zahl $e$ nicht beweisbar, da auch sie irrational sind. Wir brauchen also zusätzliche Axiome, um diese Lücken zu schließen.

Ist die Existenz rationaler Zahlen gesichert?

Wie sieht es nun mit der Existenz rationaler Zahlen aus? Können wir wenigstens diese beweisen, wenn wir schon nicht die Existenz irrationaler Zahlen annehmen können? Hier lautet die Antwort: „Ja“.

Die Körperaxiome sichern uns die Existenz der Zahlen $0$ und $1$. Hier wurde nämlich direkt in den Axiomen definiert, dass $0$ und $1$ existieren. Da $1$ existiert, existiert auch jede Summe $1+1+\ldots +1$. Im Abschnitt zu den Anordnungsaxiomen haben wir bereits bewiesen, dass $0<1$ ist. Damit folgt

$0<1<1+1<1+1+1<1+1+1+1<\ldots$

Jede Summe von Einsern ist also positiv und paarweise unterschiedlich. Damit können wir die natürlichen Zahlen über

$n=\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n{\text{-mal}}}$

einführen. Weil nun auch jede reelle Zahl ein Negatives hat, muss es zu jeder natürlichen Zahl $n$ auch ihr Negatives $-n$ geben. Damit ist die Existenz ganzer Zahlen gewährleistet. Weil wir nach den Körperaxiomen auch beliebig dividieren können, folgt die Existenz von Brüchen ${\tfrac {a}{b}}$ mit ganzen Zahlen $a$ und $b$, wobei $b\neq 0$ ist. Insgesamt folgt so aus den Anordnungs- und Körperaxiomen die Existenz rationaler Zahlen.

Hinweis

Der obige Abschnitt ist kein Beweis im strengen mathematischen Sinn, sondern vielmehr eine Skizze, wie die rationalen Zahlen in jedem angeordneten Körper gefunden werden können. Damit dieses Kapitel nicht zu lang wird, möchte ich aber an dieser Stelle auf einen ausführlichen Beweis verzichten.

Die Körper- und Anordnungsaxiome garantieren uns also die Existenz rationaler Zahlen. Was fehlt, ist, durch zusätzliche Axiome die Lücken zwischen den rationalen Zahlen zu schließen.

Wie kann die Lückenfreiheit reeller Zahlen beschrieben werden?

Sackgasse: Weg über den Begriff „Lücke“

Wie können wir die Lücken schließen? Eine Möglichkeit wäre es zu sagen, dass die reellen Zahlen lückenfrei sein sollen. Hier haben wir aber das Problem, dass wir den Begriff „Lücke“ bisher noch nicht definiert haben. Diesen Begriff haben wir nur intuitiv verwendet. Eine Definition des Konzepts „Lücke“ ist aber schwierig, denn dieses Konzept beschreibt etwas, das selbst nicht existiert. Ich möchte deswegen diesen Weg vermeiden.

Sackgasse: Weg über den Konstruktionsbegriff

Eine weitere Möglichkeit wäre es zu sagen, dass alles, was irgendwie konstruiert werden kann, auch existiert. Beispielsweise ist ${\sqrt {2}}$ gleich der Länge der Diagonalen eines Quadrates mit der Seitenlänge Eins und kann so mit Lineal und Zirkel auf der Zahlengeraden eingezeichnet werden:

Konstruktion von Wurzel 2 auf der Zahlengeraden

Hier haben wir aber das Problem, den Begriff der Konstruktion richtig zu definieren. Dieser Begriff müsste nämlich mächtig genug sein, um alle reellen Zahlen konstruieren zu können (in der Algebra wirst du sehen, dass es reelle Zahlen wie $\pi$ gibt, die nicht mit Zirkel und Lineal auf der Zahlengeraden eingetragen werden können). Gleichzeitig müsste der Konstruktionsbegriff auch einfach in seiner Handhabung sein. Dieser Weg scheint zu schwierig zu sein.

Lösung: Weg über Approximationen

$\pi$ kann approximiert werden, indem man einen Kreis mit Polygonen mit immer größerer Seitenanzahl umschließt und die Umfänge der Polygone bestimmt

Wir können aber auch die Tatsache verwenden, dass die bereits formulierten Axiome uns die Existenz der rationalen Zahlen garantieren. Jede reelle Zahl kann nämlich beliebig durch rationale Zahlen angenähert werden. Nimm zum Beispiel die Zahl ${\sqrt {2}}$. Aus der Schule weißt du, dass es für diese Zahl eine Darstellung als unendlichen Dezimalbruch gibt:

${\sqrt {2}}=1{,}414213562373\ldots$

Dabei musst du dir anstatt der Pünktchen die fehlende unendliche Folge von Ziffern vorstellen. Wenn du nun von dieser unendlichen Dezimalbruchdarstellung einen endlichen Dezimalbruch nimmst, erhältst du eine rationale Zahl, die den unendlichen Dezimalbruch approximiert. So ist $1{,}414={\tfrac {1414}{1000}}$ eine rationale Zahl, deren Abstand zu ${\sqrt {2}}$ kleiner gleich ${\tfrac {1}{1000}}$ ist. Je mehr Nachkommastellen du in den endlichen Dezimalbruch aufnimmst, um so genauer ist deine Approximation. Wenn du allgemein von einem unendlichen Dezimalbruch den endlichen Dezimalbruch mit $n$ Nachkommastellen wählst, erhältst du eine rationale Zahl, deren Abstand vom unendlichen Dezimalbruch kleiner gleich $10^{-n}={\tfrac {1}{10^{n}}}$ ist. Damit ist jeder unendliche Dezimalbruch durch rationale Zahlen approximierbar. Weil nun jede reelle Zahl eine unendliche Dezimalbruchdarstellung besitzt, ist auch jede reelle Zahl durch rationale Zahlen annäherbar.

Gleichzeitig ist jede Zahl, die durch rationale Zahlen angenähert wurde, selbst wieder reell. Dies kannst du dir aus der intuitiven Idee der Zahlengeraden erklären. Alle rationalen Zahlen liegen nämlich auf der Zahlengeraden, und wenn etwas mit Punkten auf der Zahlengeraden approximiert wird, dann liegt dieser approximierte Punkt wieder auf der Zahlengeraden (und ist damit eine reelle Zahl). Damit könnte das Vollständigkeitsaxiom vom Schema her folgendermaßen aussehen:

„Alles, was mit rationalen Zahlen approximiert werden kann, muss existieren.“

Mit diesem Axiom wäre die Existenz jeder reellen Zahl gewährleistet. Wir müssen nun noch eine mathematische Definition für das intuitive Konzept der Approximation finden.

Intervallschachtelungen mit rationaler Genauigkeit

Definition

Die ersten vier Intervalle einer Intervallschachtelung.

Um das Konzept der Approximation mathematisch zu definieren, wähle ich den Weg über Intervallschachtelungen. Eine Intervallschachtelung ist eine spezielle Folge von Intervallen $I_{1}$, $I_{2}$, $I_{3}$ usw. Jedes dieser Intervalle $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ ist eine konkrete Approximation. Die Angabe des Intervalls $[a_{n},b_{n}]$ bedeutet dabei, dass die zu approximierende Zahl $x$ im Intervall $[a_{n},b_{n}]$ liegt, dass also $a_{n}\leq x\leq b_{n}$ ist. Die zu einem Intervall gehörenden Zahlen $a_{n}$ und $b_{n}$ stellen also jeweils eine untere beziehungsweise eine obere Schranke für die zu approximierende Zahl dar. Die Angabe dieser beiden Zahlen hat folgenden Vorteil: Der Fehler der Approximation ist direkt ersichtlich. Wenn man nämlich in jedem Schritt nur eine Zahl als Approximation angeben würde, wüsste man nicht, wie gut diese Approximation ist. Dieses Problem hat man bei Intervallen nicht. Die Breite eines Intervalls ist ein gutes Maß für die Qualität der Approximation.

Nun soll die Approximation mit jedem angegebenen Intervall immer genauer werden. Wenn wir bereits wissen, dass die approximierte Zahl im Intervall $I_{N}$ liegt, dann wollen wir dieses Wissen auch in den folgenden Schritten nutzen. Wir fordern deshalb

$I_{N+1}\subseteq I_{N}$

Es soll also gelten

$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq I_{4}\ldots$

Auch müssen wir garantieren, dass die Approximation beliebig genau wird. Deswegen soll auch folgende Anforderung erfüllt sein:

„Für alle positiven rationalen Zahlen $q$ gibt es mindestens ein Intervall $I_{N}$ mit der Breite kleiner gleich $q$.“

Wir wollen nämlich durch eine Approximation genau eine reelle Zahl beschreiben. Deswegen müssen wir verhindern, dass alle Intervalle eine Mindestbreite haben, weil es sonst mehrere reelle Zahlen geben würde, die in allen Intervallen liegen. Damit würden mehrere Zahlen durch die Intervallfolge gleichermaßen approximiert, was wir nicht wollen.

In den meisten Beispielen für Intervallschachtelungen können wir nur garantieren, dass die Intervalle kleiner als jede positive rationale Zahl werden. Deswegen haben wir in der obigen Eigenschaft auch nur rationale Zahlen $q>0$ und nicht beliebige reelle Zahlen $\epsilon >0$ gewählt. Wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, werden so auch infinitesimale, also unendlich kleine Zahlen ausgeschlossen. So sparen wir uns im Vergleich zu anderen Lehrbüchern ein Axiom.

Eine Folge von Intervallen mit den obigen Eigenschaften nennt man Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit:

Definition (Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit)

Eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen $I_{1}=[a_{1},b_{1}]$, $I_{2}=[a_{2},b_{2}]$, $I_{3}=[a_{3},b_{3}]$... mit folgenden Eigenschaften

• Alle Intervalle sind Teilmengen ihres Vorgängers:
  $\forall n\in \mathbb {N} :I_{n+1}\subseteq I_{n}$
• Für jede rationale Zahl $q>0$ gibt es ein Intervall $I_{N}$ mit der Breite kleiner $q$:
  $\forall q\in \mathbb {Q} ^{+}\exists N\in \mathbb {N} :b_{N}-a_{N}<q$

Hinweis

In vielen anderen Lehrbüchern wirst du einen anderen Begriff der Intervallschachtelung finden. Dort werden die Intervalle kleiner als jede positive reelle Zahl und nicht nur kleiner als jede positive rationale Zahl. Diese Art der Intervallschachtelung werde ich in einem späteren Kapitel erläutern. Zur besseren Unterscheidung werde ich für diese Intervallschachtelung immer den Begriff „Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit“ verwenden (es sei denn, die gemeinte Art der Intervallschachtelung erschließt sich aus dem Kontext). Die andere Art der Intervallschachtelung werde ich „Allgemeine Intervallschachtelung“ nennen.

Beachte, dass die Grenzen der Intervalle, also die Zahlen $a_{n}$ und $b_{n}$, durchaus irrational sein können. Wir haben nämlich in der obigen Definition keine Einschränkungen für die Zahlen $a_{n}$ und $b_{n}$ getroffen. Zwar wissen wir aktuell noch nicht, ob es irrationale Zahlen wie ${\sqrt {2}}$ oder $\pi$ gibt, wenn wir aber durch geeignete Approximationen deren Existenz bewiesen haben, dann können wir diese Zahlen nutzen, um weitere reelle Zahlen zu approximieren. Diese Entscheidung wurde auch getroffen, um Beweise im späteren Kapitel zur „allgemeinen Intervallschachtelung“ zu vereinfachen.

Verständnisfrage: Warum folgt aus der obigen Definition, dass wenn ein Intervall $I_{N}$ eine Breite kleiner $q$ hat, auch alle nachfolgenden Intervalle eine Breite kleiner $q$ haben?

Weil alle nachfolgenden Intervalle Teilmengen von $I_{N}$ sind und damit eine Breite kleiner gleich $I_{N}$ haben.

Verständnisaufgabe: Sei $q$ eine beliebige rationale Zahl. Finde eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit für $q$.

Eine einfache Möglichkeit ist die Folge $I_{n}=[q,q]$, wo jedes Intervall gleich dem einelementigen Intervall $[q,q]=\{q\}$ ist. Beachte, dass diese Intervallschachtelung nur deswegen möglich ist, weil wir in der Definition abgeschlossene und keine offenen Intervalle gefordert haben. Deswegen ist es auch die Wahl von abgeschlossenen Intervallen in der Definition sinnvoll.

Eine andere Möglichkeit ist die Intervallschachtelung $I_{n}=\left[q-{\tfrac {1}{n}},q+{\tfrac {1}{n}}\right]$. Dies zeigt, dass es für eine Zahl mehrere mögliche Intervallschachtelungen rationaler Genauigkeit geben kann.

Intervallschachtelung aus unendlichem Dezimalbruch

Im obigen Abschnitt habe ich bereits dargelegt, dass aus jedem unendlichen Dezimalbruch eine Approximierbarkeit der durch den Dezimalbruch dargestellten Zahl folgt. Nimm beispielsweise wieder die Zahl ${\sqrt {2}}$. Diese besitzt die Dezimalbruchdarstellung

${\sqrt {2}}=1{,}414213562373\ldots$

Ich habe bereits erwähnt, dass wenn man einen endlichen Dezimalbruch mit $n$ Nachkommastellen wählt, dieser endliche Dezimalbruch ${\sqrt {2}}$ mit einem Fehler von maximal $10^{-n}$ approximiert. Genauer: Wenn $r$ der endliche Dezimalbruch mit $n$ Nachkommastellen ist, dann liegt ${\sqrt {2}}$ zwischen $r$ und $r+10^{-n}$. Es gilt

${\begin{aligned}1{,}4\leq &{\sqrt {2}}\leq 1{,}5\\1{,}41\leq &{\sqrt {2}}\leq 1{,}42\\1{,}414\leq &{\sqrt {2}}\leq 1{,}415\\&\ \vdots \end{aligned}}$

Damit ist

${\begin{aligned}I_{1}&=[{\tfrac {14}{10}},{\tfrac {15}{10}}]\\I_{2}&=[{\tfrac {141}{100}},{\tfrac {142}{100}}]\\I_{3}&=[{\tfrac {1414}{1000}},{\tfrac {1415}{1000}}]\\&\ \vdots \end{aligned}}$

eine Folge von Intervallen, die ${\sqrt {2}}$ approximieren. Jedes Intervall ist dabei Teilmenge des Vorgängers, und da beim $n$-ten Intervall die Breite des Intervalls gleich $10^{-n}$ ist, werden die Breiten der Intervalle kleiner als jede positive rationale Zahl. Damit ist obige Folge von Intervallen eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit. Analog kann man aus jedem unendlichen Dezimalbruch eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit für die durch den Dezimalbruch dargestellte Zahl gewinnen.

Alternative Intervallschachtelung für Wurzel 2

Alternativ kann auch eine Intervallschachtelung über eine Art Algorithmus gewonnen werden. Ich möchte dir an dieser Stelle einen solchen Algorithmus vorstellen, weil dir diese Methode in der Analysis häufiger begegnen wird. Stelle dir also vor, dass wir wieder ${\sqrt {2}}$ approximieren wollen. Zunächst wissen wir, dass $1\leq {\sqrt {2}}\leq 2$ ist, denn es ist

$\underbrace {1^{2}} _{=\ 1}\leq 2\leq \underbrace {2^{2}} _{=\ 4}$

Damit muss ${\sqrt {2}}$ im Intervall $[1,2]$ liegen. Nun nehmen wir die Mitte ${\tfrac {3}{2}}$ des Intervalls $[1,2]$ und schauen, ob sie kleiner oder größer als ${\sqrt {2}}$ sein muss. Dies tun wir, indem wir ${\tfrac {3}{2}}$ quadrieren und schauen, ob das größer oder kleiner 2 ist. Da $\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{2}={\tfrac {9}{4}}$ größer als 2 ist, muss auch ${\tfrac {3}{2}}$ größer als ${\sqrt {2}}$ sein. Es gilt also $1\leq {\sqrt {2}}\leq {\tfrac {3}{2}}$ und somit erhalten wir $\left[1,{\tfrac {3}{2}}\right]$ als zweites Intervall der Intervallschachtelung.

Dieses Verfahren können wir nun beliebig wiederholen. Jedes Mal teilen wir das aktuelle Intervall in zwei Hälften und schauen, in welcher der beiden Hälften sich die Zahl ${\sqrt {2}}$ befinden muss. Diese Intervallhälfte wählen wir als neues Intervall der Intervallschachtelung.

Jedes Intervall ist Teilmenge des Vorgängerintervalls, und weil in jedem Schritt die Breite des Intervalls halbiert wird, wird die Intervallbreite kleiner als jede positive rationale Zahl. Damit gewinnen wir durch den Algorithmus eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit für ${\sqrt {2}}$.

Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit

Nun sind wir soweit, die Vollständigkeit von $\mathbb {R}$ als Axiom zu definieren. In unserer Vorstellung soll jede Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit genau eine reelle Zahl approximieren. Deswegen fordern wir, dass genau eine reelle Zahl durch alle Intervalle der Intervallschachtelung approximiert wird, dass also genau eine reelle Zahl in allen Intervallen liegt. Diese Forderung nennen wir „Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit“:

Definition (Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit)

Für jede Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt.

Dieses Axiom beschreibt die minimale Vervollständigung der rationalen zu den reellen Zahlen. Um das zu sehen, können wir den Satzteil „es existiert genau eine reelle Zahl“ aufsplitten in „es existiert mindestens eine reelle Zahl“ und „es existiert höchstens eine reelle Zahl“. Der erste Aspekt beschreibt die Vollständigkeit der reellen Zahlen und der zweite Aspekt die Minimalität dieser Vervollständigung:

• Die reellen Zahlen sind vollständig: „Zu jeder Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit existiert mindestens eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt.“
• Die Vervollständigung ist minimal: „Zu jeder Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit existiert höchstens eine reelle Zahl, die in allen Intervallen liegt.“

Insgesamt beschreibt also das Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit die minimale Vervollständigung der rationalen zu den reellen Zahlen.

Alternative Beschreibung der Vollständigkeit

In vielen Lehrbüchern wirst du zwei Axiome anstatt eines zur Beschreibung der Vollständigkeit finden. Die Vollständigkeit selbst wird dabei meistens durch das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip (nicht zu verwechseln mit dem hier vorgestellten Axiom!) oder über das so genannte Konvergenzkriterium von Cauchy beschrieben. Die Minimalität der Vervollständigung wird über das archimedische Axiom definiert. Diese Axiome werde ich in den kommenden Kapiteln behandeln.

Beachte aber, dass für uns diese Axiome Theoreme sein werden, da wir bereits ein Axiom zur Vollständigkeit haben. Darauf solltest du vor allem beim archimedischen Axiom achten, weil bereits in dessen Namen das Wort „Axiom“ vorkommt.