Aussagen formalisieren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir möchten nun zeigen, wie Aussagen in natürlicher Sprache in die formale Schreibweise der Logik übersetzt und wie umgekehrt formale Ausdrücke in die natürliche Sprache umformuliert werden können. Hier kann wie beim Lernen einer Fremdsprache vorgegangen werden: Die einzelnen Wörter und Satzfragmente in natürlicher Sprache übersetzt man in die dazu äquivalente Form der Logik und umgekehrt. Dabei werden zur Übung auch Ausdrücke betrachtet, wie sie in der Analysis 1 betrachtet werden.

VokabellisteBearbeiten

Die folgende Vokabelliste listet Satzfragmente in natürlicher Sprache mit ihren Übersetzungen in der formalen Ausdrucksweise der Logik gleich:

natürliche Sprache formale Schreibweise
nicht    
  und    
  oder   („oder“ im Sinne von „und/oder“)  
Wenn  , dann    
  dann, wenn  
Aus   folgt  
  impliziert  
  ist hinreichend für  
  ist notwendig für  
Genau dann  , wenn    
Dann und nur dann  , wenn  
  ist gleichwertig mit  
  ist äquivalent zu  
  ist notwendig und hinreichend für  
Für alle   ist    
Jedes   erfüllt  
Es ist   für alle  
Für alle   aus   ist    
Jedes   der Menge   erfüllt  
Es ist   für alle  
Für alle   ab   ist    
Jedes   größer oder gleich   erfüllt  
Es gibt ein   mit    
Es existiert ein  , so dass   gilt
Für mindestens ein   gilt  
Es gibt ein   aus   mit    
Für mindestens ein   gilt  
Es gibt ein   ab   mit    
Für wenigstens ein   ab   gilt  
Es gibt genau ein   mit    
Es existiert genau ein  , so dass   gilt
Für genau ein   gilt  
Es gibt genau ein   aus   mit    
Für genau ein   gilt  

BeispieleBearbeiten

Übersetzung von formaler in natürliche SpracheBearbeiten

Wir möchten dir an Beispielen zeigen, wie du die obige Vokabelliste anwenden kannst, um Aussagen aus der formalen in die natürliche Sprache zu übersetzen.

Beispiel (Beispiel 1: Übersetzung von formaler in natürliche Sprache)

Wir übersetzen nun die Aussage   schrittweise in natürliche Sprache:

 

Beispiel (Beispiel 2: Übersetzung von formaler in natürliche Sprache)

Das folgende Beispiel zeigt die schrittweise Übersetzung der Aussage

 

in die Aussage „Für jede reelle Zahl   gibt es eine reelle Zahl   mit  “:

 

Übersetzung von natürlicher in formale SpracheBearbeiten

Bei der Übersetzung einer Aussage aus natürlicher Sprache in die formale Schreibweise gehen wir die umgekehrte Richtung der obigen beiden Beispiele. Auch hier kann mit Hilfe der Vokabelliste schrittweise die Aussage übersetzt werden. Gegebenenfalls müssen wir die Aussage zunächst umformulieren, damit die Regeln aus der Vokabelliste anwendbar sind. Das folgende Beispiel demonstriert eine solche Übersetzung:

Beispiel (Übersetzung von natürlicher in formale Sprache)

Das folgende Beispiel demonstriert die Formalisierung der Aussage „Alle ungeraden Zahlen ab 3 sind Primzahlen“. Dabei nutzen wir das Prädikat  , welches für „  ist eine Primzahl“ steht:

 

ÜbungsaufgabenBearbeiten

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen der formalen Logik in die natürliche Sprache

  1.  
  2.  
  3.  

1. Aussage:

 

2. Aussage:

 

3. Aussage:

 

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen der natürlichen Sprache in die formale Schreibweise der Logik

  • Zu jedem   gibt es ein  , so dass für alle   die Ungleichung   erfüllt ist.
  • Zu jedem   und   gibt es ein  , so dass   für alle   mit  .
  • Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.

Antwort:

  •  
  •  
  •  

Häufige Fehler beim ÜbersetzenBearbeiten

Aussage in natürlicher Sprache   Falsche Übersetzung   Richtige Übersetzung Erklärung
  und   sind reelle Zahlen.     Der Junktor   kann nur Aussagen miteinander verbinden.
Für alle natürlichen Zahlen   und ganzen Zahlen   gilt …     Wird „und“ für eine Aufzählung benutzt, dann darf es nicht mit   übersetzt werden.
Für alle   mit   gilt …    
oder auch
 
Das Symbol | aus der Mengenschreibweise   kann nicht für Aussagen eingesetzt werden. Hier ist eine Implikation notwendig.
Es ist   für alle  .  .  . Die Quantoren müssen immer vor dem Ausdruck stehen, den sie quantifizieren.