Aussagen formalisieren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir möchten nun zeigen, wie Aussagen in natürlicher Sprache in die formale Schreibweise der Logik übersetzt und wie umgekehrt formale Ausdrücke in die natürliche Sprache umformuliert werden können. Hier kann wie beim Lernen einer Fremdsprache vorgegangen werden: Die einzelnen Wörter und Satzfragmente in natürlicher Sprache übersetzt man in die dazu äquivalente Form der Logik und umgekehrt. Dabei werden zur Übung auch Ausdrücke betrachtet, wie sie in der Analysis 1 betrachtet werden.

Vokabelliste

Die folgende Vokabelliste listet Satzfragmente in natürlicher Sprache mit ihren Übersetzungen in der formalen Ausdrucksweise der Logik gleich:

natürliche Sprache	formale Schreibweise
nicht $A$	$\neg A$
$A$ und $B$	$A\land B$
$A$ oder $B$ („oder“ im Sinne von „und/oder“)	$A\lor B$
Wenn $A$, dann $B$	$A\Rightarrow B$
$B$ dann, wenn $A$
Aus $A$ folgt $B$
$A$ impliziert $B$
$A$ ist hinreichend für $B$
$B$ ist notwendig für $A$
Genau dann $A$, wenn $B$	$A\iff B$
Dann und nur dann $A$, wenn $B$
$A$ ist gleichwertig mit $B$
$A$ ist äquivalent zu $B$
$A$ ist notwendig und hinreichend für $B$
Für alle $x$ ist $A(x)$	$\forall x:\,A(x)$
Jedes $x$ erfüllt $A(x)$
Es ist $A(x)$ für alle $x$
Für alle $x$ aus $M$ ist $A(x)$	$\forall x\in M:\,A(x)$
Jedes $x$ der Menge $M$ erfüllt $A(x)$
Es ist $A(x)$ für alle $x\in M$
Für alle $x$ ab $3$ ist $A(x)$	$\forall x\geq 3:A(x)$
Jedes $x$ größer oder gleich $3$ erfüllt $A(x)$
Es gibt ein $x$ mit $A(x)$	$\exists x:\,A(x)$
Es existiert ein $x$, so dass $A(x)$ gilt
Für mindestens ein $x$ gilt $A(x)$
Es gibt ein $x$ aus $M$ mit $A(x)$	$\exists x\in M:\,A(x)$
Für mindestens ein $x\in M$ gilt $A(x)$
Es gibt ein $x$ ab $3$ mit $A(x)$	$\exists x\geq 3:A(x)$
Für wenigstens ein $x$ ab $3$ gilt $A(x)$
Es gibt genau ein $x$ mit $A(x)$	$\exists !x:\,A(x)$
Es existiert genau ein $x$, so dass $A(x)$ gilt
Für genau ein $x$ gilt $A(x)$
Es gibt genau ein $x$ aus $M$ mit $A(x)$	$\exists !x\in M:\,A(x)$
Für genau ein $x\in M$ gilt $A(x)$

Beispiele

Übersetzung von formaler in natürliche Sprache

Wir möchten dir an Beispielen zeigen, wie du die obige Vokabelliste anwenden kannst, um Aussagen aus der formalen in die natürliche Sprache zu übersetzen.

Beispiel (Beispiel 1: Übersetzung von formaler in natürliche Sprache)

Wir übersetzen nun die Aussage $a<b\land b<c\Rightarrow a<c$ schrittweise in natürliche Sprache:

${\begin{aligned}&a<b\land b<c\Rightarrow a<c\\[0.5em]&\quad {\color {Purple}\downarrow \,{\mathsf {Bindungsreihenfolge\,beachten}}}\\[0.5em]&(a<b\land b<c)\Rightarrow a<c\\[0.5em]&\quad {\color {Purple}\downarrow \,A\Rightarrow B\longleftrightarrow {\text{Wenn }}A{\text{, dann }}B}\\[0.5em]&{\text{Wenn }}a<b\land b<c{\text{, dann }}a<c\\[0.5em]&\quad {\color {Purple}\downarrow \,A\land B\longleftrightarrow A{\text{ und }}B}\\[0.5em]&{\text{Wenn }}a<b{\text{ und }}b<c{\text{, dann }}a<c\\[0.5em]\end{aligned}}$

Beispiel (Beispiel 2: Übersetzung von formaler in natürliche Sprache)

Das folgende Beispiel zeigt die schrittweise Übersetzung der Aussage

$\forall x\in \mathbb {R} \,\exists y\in \mathbb {R} :\,x+y=0$

in die Aussage „Für jede reelle Zahl $x$ gibt es eine reelle Zahl $y$ mit $x+y=0$“:

${\begin{aligned}&\forall x\in \mathbb {R} \,\exists y\in \mathbb {R} :\,x+y=0\\[0.5em]&\quad {\color {Purple}\downarrow \,\forall x\in \mathbb {R} :A(x)\longleftrightarrow {\text{Für alle }}x{\text{ aus }}\mathbb {R} {\text{ gilt }}A(x)}\\[0.5em]&{\text{Für alle }}x{\text{ aus }}\mathbb {R} {\text{ gilt }}\exists y\in \mathbb {R} :\,x+y=0\\[0.5em]&\quad {\color {Purple}\downarrow \,\exists y\in \mathbb {R} :A(y)\longleftrightarrow {\text{Es gibt mindestens ein }}y{\text{ aus }}\mathbb {R} {\text{ mit }}A(y)}\\[0.5em]&{\text{Für alle }}x{\text{ aus }}\mathbb {R} {\text{ gilt }}({\text{Es gibt mindestens ein }}y{\text{ aus }}\mathbb {R} {\text{ mit }}x+y=0)\\[0.5em]&\quad {\color {Purple}\downarrow \,{\mathsf {Aussage\ sch{\ddot {o}}ner\ formulieren}}}\\[0.5em]&{\text{Für jede reelle Zahl }}x{\text{ gibt es eine reelle Zahl }}y{\text{ mit }}x+y=0\\[0.5em]\end{aligned}}$

Übersetzung von natürlicher in formale Sprache

Bei der Übersetzung einer Aussage aus natürlicher Sprache in die formale Schreibweise gehen wir die umgekehrte Richtung der obigen beiden Beispiele. Auch hier kann mit Hilfe der Vokabelliste schrittweise die Aussage übersetzt werden. Gegebenenfalls müssen wir die Aussage zunächst umformulieren, damit die Regeln aus der Vokabelliste anwendbar sind. Das folgende Beispiel demonstriert eine solche Übersetzung:

Beispiel (Übersetzung von natürlicher in formale Sprache)

Das folgende Beispiel demonstriert die Formalisierung der Aussage „Alle ungeraden Zahlen ab 3 sind Primzahlen“. Dabei nutzen wir das Prädikat $P(x)$, welches für „$x$ ist eine Primzahl“ steht:

${\begin{aligned}&{\text{Alle ungeraden Zahlen ab 3 sind Primzahlen}}\\[0.3em]&\quad {\color {Purple}\left\downarrow \,{\mathsf {Allquantor}}\,\forall \;{\mathsf {eingef{\ddot {u}}hrt\,und\,Text\,umformuliert}}\right.}\\[0.3em]&\forall x:({\text{ist}}\,x\,{\text{ungerade und ist}}\,x\,{\text{größer als oder gleich}}\,3,\,{\text{dann ist}}\,x\,{\text{Primzahl}})\\[0.3em]&\quad {\color {Purple}\left\downarrow \,{\mathsf {Junktoren}}\,\land \;{\mathsf {und}}\,\Rightarrow \,{\mathsf {eingesetzt}}\right.}\\[0.3em]&\forall x:(x\,{\text{ist ungerade}}\land \,x\,{\text{ist größer als oder gleich}}\,3\Rightarrow x\,{\text{ist Primzahl}})\\[0.3em]&\quad {\color {Purple}\left\downarrow \,{\mathsf {Pr{\ddot {a}}dikate}}\,\geq \;{\mathsf {und}}\,P\,{\mathsf {eingesetzt,mit}}\,P:={\text{ist Primzahl}}\right.}\\[0.3em]&\forall x:(x\,{\text{ist ungerade}}\land \,x\geq 3\Rightarrow P(x))\\&\quad {\color {Purple}\left\downarrow \,(x\,{\text{ist ungerade}})\,{\mathsf {umgeschrieben}}\right.}\\[0.3em]&\forall x:(({\text{es gibt keine Zahl, die mit 2 multipliziert x ergibt)}}\land \,x\geq 3\Rightarrow P(x))\\&\quad {\color {Purple}\left\downarrow \,{\mathsf {Negation}}\,\neg \,{\mathsf {eingesetzt}}\right.}\\[0.3em]&\forall x:(\neg ({\text{es gibt eine Zahl die mit 2 multipliziert x ergibt}})\land \,x\geq 3\Rightarrow P(x))\\&\quad {\color {Purple}\left\downarrow \,{\mathsf {Existenzquantor}}\,\exists \,{\mathsf {eingesetzt}}\right.}\\[0.3em]&\forall x:(\neg \exists y:{\text{2 mal y ist x}}\land \,x\geq 3\Rightarrow P(x))\\&\quad {\color {Purple}\left\downarrow \,{\mathsf {Multiplikation}}\,\cdot \,{\mathsf {und}}\,={\mathsf {eingesetzt}}\right.}\\[0.3em]&\forall x:(\neg \exists y:2\cdot y=x\land \,x\geq 3\Rightarrow P(x))\\\end{aligned}}$

Übungsaufgaben

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen der formalen Logik in die natürliche Sprache

1. $\exists y\in \mathbb {R} \,\forall x\in \mathbb {R} :\,x+y=x$
2. $a>0\land b>0\Rightarrow a+b>0$
3. $\forall \epsilon >0\,\exists \delta >0\,\forall x,y\in D:\,|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$

1. Aussage:

${\begin{array}{l}\exists y\in \mathbb {R} \,\forall x\in \mathbb {R} :\,x+y=x\\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Es gibt ein }}y\in \mathbb {R} {\text{, so dass }}\forall x\in \mathbb {R} :\,x+y=x.\\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Es gibt ein }}y\in \mathbb {R} {\text{, so dass für alle }}x\in \mathbb {R} {\text{ gilt, dass }}x+y=x.\\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Es gibt eine reelle Zahl }}y{\text{,}}\\[0.5em]{\text{so dass für alle reellen Zahlen }}x{\text{ die Gleichung }}x+y=x{\text{ erfüllt ist.}}\end{array}}$

2. Aussage:

${\begin{array}{l}a>0\land b>0\Rightarrow a+b>0\\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Wenn }}a>0\land b>0{\text{ ist, dann ist }}a+b>0.\\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Wenn }}a>0{\text{ und }}b>0{\text{ ist, dann ist }}a+b>0.\end{array}}$

3. Aussage:

${\begin{array}{l}\forall \epsilon >0\,\exists \delta >0\,\forall x,y\in D:\,|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \mathrm {.} \\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Zu jedem }}\epsilon >0\,\exists \delta >0:\,\forall x,y\in D:\,|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \mathrm {.} \\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Zu jedem }}\epsilon >0{\text{ gibt es ein }}\delta >0{\text{,}}\\[0.5em]{\text{so dass }}\forall x,y\in D:\,|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \mathrm {.} \\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Zu jedem }}\epsilon >0{\text{ gibt es ein }}\delta >0{\text{,}}\\[0.5em]{\text{so dass für alle }}x,y\in D{\text{ gilt: }}|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon \mathrm {.} \\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Zu jedem }}\epsilon >0{\text{ gibt es ein }}\delta >0{\text{,}}\\[0.5em]{\text{so dass für alle }}x,y\in D{\text{ gilt: Wenn }}|x-y|<\delta {\text{ ist, dann ist }}|f(x)-f(y)|<\epsilon \mathrm {.} \\[0.5em]\quad \downarrow \\[0.5em]{\text{Zu jedem }}\epsilon >0{\text{ gibt es ein }}\delta >0{\text{,}}\\[0.5em]{\text{so dass für alle }}x,y\in D{\text{ mit }}|x-y|<\delta {\text{ gilt }}|f(x)-f(y)|<\epsilon \mathrm {.} \end{array}}$

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen der natürlichen Sprache in die formale Schreibweise der Logik

• Zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $N\in \mathbb {N}$, so dass für alle $n\geq N$ die Ungleichung $|a-a(n)|<\epsilon$ erfüllt ist.
• Zu jedem $\epsilon >0$ und $x\in D$ gibt es ein $\delta >0$, so dass $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ für alle $y\in D$ mit $|x-y|<\delta$.
• Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.

Antwort:

• $\forall \epsilon >0:\,\exists N\in \mathbb {N} :\,\forall n\in \mathbb {N} :\,n\geq N\Rightarrow |a-a(n)|<\epsilon$
• $\forall \epsilon >0:\,\forall x\in D:\,\exists \delta >0:\,\forall y\in D:\,|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$
• $\forall x:\,x{\text{ ist ein Mensch }}\Rightarrow \exists y:\,y{\text{ ist ein Mensch }}\land y{\text{ liebt }}x$

Häufige Fehler beim Übersetzen

Aussage in natürlicher Sprache	Falsche Übersetzung	Richtige Übersetzung	Erklärung
$x$ und $y$ sind reelle Zahlen.	$x\land y\in \mathbb {R}$	$x,y\in \mathbb {R}$	Der Junktor $\land$ kann nur Aussagen miteinander verbinden.
Für alle natürlichen Zahlen $n$ und ganzen Zahlen $k$ gilt …	$\forall n\in \mathbb {N} \land k\in \mathbb {Z} :\ldots$	$\forall n\in \mathbb {N} \,\forall k\in \mathbb {Z} :\ldots$	Wird „und“ für eine Aufzählung benutzt, dann darf es nicht mit $\land$ übersetzt werden.
Für alle $x$ mit $x<1$ gilt …	$\forall x\mid x<1:\ldots$	$\forall x:(x<1\Rightarrow \ldots )$ oder auch $\forall x<1:\ldots$	Das Symbol $\mid$ aus der Mengenschreibweise $\{x\mid A(x)\}$ kann nicht für Aussagen eingesetzt werden. Hier ist eine Implikation notwendig.
Es ist $|a_{n}|<\epsilon$ für alle $n\geq N$.	$|a_{n}|<\epsilon \ \forall n\geq N$.	$\forall n\geq N:|a_{n}|<\epsilon$.	Die Quantoren müssen immer vor dem Ausdruck stehen, den sie quantifizieren.