Vektorraum: Eigenschaften – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel werde ich dir Eigenschaften von Vektorräumen vorstellen, die direkt aus den Axiomen der Vektorräume hergeleitet werden können. Jeder Vektorraum muss also diese Eigenschaften erfüllen.

Überblick

Wir verwenden in diesem Abschnitt wieder die Operationssymbole „$\boxplus$“ und „$\boxdot$“ zur Unterscheidung der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation mit der Körperaddition „$+$“ und der Körpermultiplikation „$\cdot$“.

Wir wollen nun aus den insgesamt acht Axiomen des Vektorraums einfache Eigenschaften und Rechenregeln ableiten. Da wir in den Axiomen nur die Existenz des Nullvektors und des additiven Inversen gefordert haben, stellen sich zunächst folgende Fragen: Ist der Nullvektor eindeutig oder gibt es mehrere Nullvektoren? Ist das inverse Element der Addition eindeutig oder kann es mehrere geben? Die Antwort auf beide Fragen lautet:

• In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor $0_{V}\in V$. Es kann also nicht mehr als einen Nullvektor in einem Vektorraum geben.
• Das Inverse bezüglich der Addition ist eindeutig. Zu jedem Vektor $v\in V$ gibt es also genau einen anderen Vektor $w\in V$ mit $v+w=0$.

Weitere Sätze, die wir im Folgenden beweisen werden, sind:

• Für jedes $v\in V$ gilt: $0_{K}\boxdot v=0_{V}$.
• Für alle $\rho \in K$ gilt: $\rho \boxdot 0_{V}=0_{V}$.
• Aus $\rho \boxdot v=0_{V}$ folgt, dass $\rho =0_{K}$ oder $v=0_{V}$ ist.
• Für alle $\rho \in K$ und alle $v\in V$ gilt: $(-\rho )\boxdot v=-(\rho \boxdot v)=\rho \boxdot (-v)$.

Sei im Folgenden stets $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$.

Eindeutigkeit des Nullvektors

Beweis der Eindeutigkeit des Nullvektors in einem Vektorraum (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Der Nullvektor ist in einem Vektorraum eindeutig)

Im Vektorraum $V$ ist der Nullvektor $0_{V}$ eindeutig

Beweis (Der Nullvektor ist in einem Vektorraum eindeutig)

Nehmen wir an, wir haben zwei Vektoren $0_{V}$ und $0'_{V}$ mit der Nulleigenschaft, d.h. $0_{V}$ und $0'_{V}$ erfüllen für alle Vektoren $v\in V$ die Gleichung $v\boxplus 0_{V}=v$ beziehungsweise die Gleichung $v\boxplus 0'_{V}=v$.

Setzen wir in der ersten Gleichung $v\boxplus 0_{V}=v$ für den Vektor $v$ den konkreten Vektor $0'_{V}$ ein und in der zweiten Gleichung $v\boxplus 0'_{V}=v$ für den Vektor $v$ den Vektor $0_{V}$ ein, so erhalten wir $0'_{V}\boxplus 0_{V}=0'_{V}$ und $0_{V}\boxplus 0'_{V}=0_{V}$.

Wegen des Kommutativgesetzes der Vektoraddition ist $0_{V}\boxplus 0'_{V}=0'_{V}\boxplus 0_{V}$ und dementsprechend ist

$0_{V}=0_{V}\boxplus 0'_{V}=0'_{V}\boxplus 0_{V}=0'_{V}$

Damit ist $0_{V}=0'_{V}$.

Wir haben ingesamt gezeigt, dass in einem Vektorraum $V$ zwei Vektoren mit der Nulleigenschaft gleich sind. Damit ist der Nullvektor eindeutig.

Das Inverse ist eindeutig

Beweis der Eindeutigkeit des additiven Inversen in einem Vektorraum (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Das Inverse ist eindeutig)

Das Inverse bezüglich der Addition ist eindeutig. Zu jedem Vektor $v\in V$ gibt es genau einen Vektor $w\in V$ mit $v\boxplus w=0_{V}$.

Beweis (Das Inverse ist eindeutig)

Seien $v,w,x\in V$. Wir nehmen an, dass $v$ und $w$ zwei additive Inverse zu $x$ sind. Es sei also $x\boxplus v=0_{V}$ und $x\boxplus w=0_{V}$. Wir zeigen nun, dass $v=w$ sein muss und dass es damit nur ein additives Inverses geben kann.

${\begin{aligned}v&=\,v\,\boxplus \,0_{V}&&\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Nullelment im Vektorraum und }}{x\boxplus w=0_{V}}}\\[0.3em]&=\,v\boxplus (x\boxplus w)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Assoziativgesetz der Vektoraddition}}}\\[0.3em]&=\,(v\boxplus x)\boxplus w\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Kommutativgesetz der Vektoraddition}}}\\[0.3em]&=\,(x\boxplus v)\boxplus w\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {x\boxplus v=0_{V}}}\\[0.3em]&=\,0_{V}\boxplus w=\,w\\\end{aligned}}$

Damit sind die beiden additiven Inversen $v$ und $w$ identisch.

Hinweis

Im obigen Beweis haben wir $w$ beziehungsweise $v$ für das additive Inverse von $x$ geschrieben. Wir haben aber gesehen, dass es genau ein additives Inverse gibt. Dieses wird normalerweise mit $-x$ notiert und wir werden auch in den folgenden Kapitel diese Schreibweise für das additive Inverse benutzen.

Die Nullskalierung ergibt den Nullvektor

Nullskalierung ergibt den Nullvektor - Beweis (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Die Nullskalierung ergibt den Nullvektor)

Für jedes $v\in V$ gilt: $0_{K}\boxdot v=0_{V}$.

Beweis (Die Nullskalierung ergibt den Nullvektor)

${\begin{aligned}&0_{V}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Vektoraddition mit dem Inversen von }}{0_{K}\boxdot v}}\\[0.3em]=\ &0_{K}\boxdot v\boxplus (-0_{K}\boxdot v)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Ersetze }}{0_{K}}{\text{ durch }}{0_{K}+0_{K}}}\\[0.3em]=\ &(0_{K}+0_{K})\boxdot v\boxplus (-0_{K}\boxdot v)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Skalares Distributivgsetz }}}\\[0.3em]=\ &(0_{K}\boxdot v\boxplus 0_{K}\boxdot v)\boxplus (-0_{K}\boxdot v)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Assoziativgesetz der Vektoraddition}}}\\[0.3em]=\ &0_{K}\boxdot v\boxplus (0_{K}\boxdot v\boxplus (-0_{K}\boxdot v))\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{0 ist Add. mit dem Inversen: }}{0_{K}\boxdot v\boxplus (-0_{K}\boxdot v)=0_{V}}}\\[0.3em]=\ &0_{K}\boxdot v\end{aligned}}$

Damit ist $0_{V}=0_{K}\boxdot v$.

Verständnisfrage: Kann ein Vektor $\rho \cdot v\neq 0$ so mit einem Skalar $\mu \in K$ skalar multipliziert werden, dass sich wieder der ursprüngliche Vektor $v\neq 0$ ergibt?

Die Antwort ist ja, denn wähle für $\mu =\rho ^{-1}$, dann gilt nach dem Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation

${\begin{aligned}\rho ^{-1}\boxdot (\rho \boxdot v)&=(\rho ^{-1}\cdot \rho )\boxdot v\\&=1\boxdot v\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Axiom: }}1\boxdot v=v\right.}\\[0.3em]&=v\end{aligned}}$

Nun kann $\rho ^{-1}$ nur dann gebildet werden, wenn $\rho \neq 0$ ist. Dies ist aber wegen $\rho \cdot v\neq 0$ der Fall. Für $\rho =0$ ist nämlich $\rho \cdot v=0$ und damit schließt die Prämisse $\rho \cdot v\neq 0$ den Fall $\rho =0$ aus.

Dies zeigt, warum es sinnvoll ist, Vektorräume $V$ über einem Körper $K$ zu definieren. In Körpern gibt es nämlich zu jedem Element ungleich der Null ein multiplikatives Inverses. Es gibt also zu allen $\rho \in K$ mit $\rho \neq 0$ ein Inverses $\mu \in K$ mit $\mu \cdot \rho =1$. Dass $K$ ein Körper ist, garantiert also, dass jede Skalierung (Streckung) $\rho \boxdot v$ durch die inverse Skalierung (mit den inversen Streckungsfaktor) $\mu$ zurückskaliert werden kann, so dass $\mu \boxdot (\rho \boxdot v)=v$ ist.

Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor

Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor - Beweis (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor)

Für alle $\rho \in K$ gilt: $\rho \boxdot 0_{V}=0_{V}$.

Beweis (Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor)

Sei $0_{V}$ das neutrale Element der Vektoraddition und $\rho \in K$ beliebig. Es ist:

${\begin{aligned}&0_{V}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Vektoraddition mit dem Inversen von }}{\rho \boxdot 0_{V}}}\\[0.3em]=\ &\rho \boxdot 0_{V}\boxplus (-\rho \boxdot 0_{V})\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Ersetze den Nullvektor }}{0_{V}}{\text{ durch }}{0_{V}\boxplus 0_{V}}}\\[0.3em]=\ &\rho \boxdot (0_{V}\boxplus 0_{V})\boxplus (-\rho \boxdot 0_{V})\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Vektorielles Distributivgsetz}}}\\[0.3em]=\ &(\rho \boxdot 0_{V}\boxplus \rho \boxdot 0_{V})\boxplus (-\rho \boxdot 0_{V})\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Assoziativgesetz der Vektoraddition}}}\\[0.3em]=\ &\rho \boxdot 0_{V}\boxplus (\rho \boxdot 0_{V}\boxplus (-\rho \boxdot 0_{V}))\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{0 ist Add. mit dem Inversen: }}{\rho \boxdot 0_{V}\boxplus (-\rho \boxdot 0_{V})=0_{V}}}\\[0.3em]=\ &\rho \boxdot 0_{V}\\\end{aligned}}$

Damit ist $0_{V}=\rho \boxdot 0_{V}$.

Nullteilerfreiheit der skalaren Multiplikation

Beweis der Nullteilerfreiheit der skalaren Multiplikation (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz

Sei für $\rho \in K$ und $v\in V$ die Gleichung $\rho \boxdot v=0_{V}$ erfüllt. Dann ist $\rho =0_{K}$ oder $v=0_{V}$.

In bereits bewiesenen Sätzen haben wir gezeigt, dass im Fall $\rho =0_{K}$ oder $v=0_{V}$ die Gleichung $\rho \boxdot v=0_{V}$ erfüllt ist. Nun zeigen wir umgekehrt, dass aus $\rho \boxdot v=0_{V}$ folgt, dass $\rho =0_{K}$ oder $v=0_{V}$ ist.

Beweis

Sei $\rho \boxdot v=0_{V}$. Wenn $\rho \neq 0_{K}$ ist, gibt es ein $\rho ^{-1}\in K$ mit $\rho ^{-1}\cdot \rho =1$. Dann ist:

${\begin{aligned}&v\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Axiom: }}1\boxdot v=v}\\[0.3em]=\ &1\boxdot v\\[0.3em]=\ &(\rho ^{-1}\rho )\boxdot v\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Assoziativgesetz für Skalare }}}\\[0.3em]=\ &\rho ^{-1}\boxdot (\rho \boxdot v)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\downarrow \rho \boxdot v=0_{V}}\\[0.3em]=\ &\rho ^{-1}\boxdot 0_{V}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\downarrow {\text{Bewiesener Satz, dass für alle }}\gamma \in K{\text{ gilt }}\gamma \boxdot 0_{V}=0_{V}}\\[0.3em]=\ &0_{V}\end{aligned}}$

Aus $\rho \neq 0_{K}$ folgt also $v=0_{V}$. Damit muss $\rho =0_{K}$ oder $v=0_{V}$ sein, denn es kann nicht gleichzeitig $\rho \neq 0_{K}$ und $v\neq 0_{V}$ sein.

Skalierung mit dem Negativem einer Zahl

Skalierung eines Vektors mit einem negativen Skalar (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Skalierung eines Vektors mit einem negativen Skalar)

Für alle $\rho \in K$ und alle $v\in V$ gilt

$(-\rho )\boxdot v=-(\rho \boxdot v)=\rho \boxdot (-v)$

Beweis (Skalierung eines Vektors mit einem negativen Skalar)

Nach dem skalaren Distributivgesetz der skalaren Multiplikation ist zum einen:

${\begin{aligned}&(\rho \boxdot v)\boxplus ((-\rho )\boxdot v)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\downarrow (\lambda +\rho )\boxdot v=(\lambda \boxdot v)\boxplus (\rho \boxdot v)}\\[0.3em]=\ &(\rho +(-\rho ))\boxdot v\\[0.3em]=\ &0_{K}\boxdot v\\[0.3em]=\ &0_{V}\end{aligned}}$

Dies zeigt, dass $(-\rho )\boxdot v$ das additive Inverse zu $\rho \boxdot v$ ist. Damit ist $(-\rho )\boxdot v=-(\rho \boxdot v)$. Zum anderen ist nach vektoriellem Distributivgesetz

${\begin{aligned}&(\rho \boxdot v)\boxplus (\rho \boxdot (-v))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\downarrow \lambda \boxdot (v\boxplus w)=(\lambda \boxdot v)\boxplus (\lambda \boxdot w)}\\[0.3em]=\ &\rho \boxdot (v\boxplus (-v))\\=\ &\rho \boxdot 0_{V}\\=\ &0_{V}\end{aligned}}$

Dies zeigt, dass $\rho \boxdot (-v)$ das additive Inverse zu $\rho \boxdot v$, also gleich $-(\rho \boxdot v)$ ist. Damit ist insgesamt

$(-\rho )\boxdot v=-(\rho \boxdot v)=\rho \boxdot (-v)$

Hinweis

Aus dem obigen Satz folgt direkt $(-1)\boxdot v=-v$. Es ist nämlich $(-1)\boxdot v=-(1\boxdot v)=-v$ (wobei wir $1\boxdot v=v$ benutzt haben).