Vektorraum: Eigenschaften – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel werde ich dir Eigenschaften von Vektorräumen vorstellen, die direkt aus den Axiomen der Vektorräume hergeleitet werden können. Jeder Vektorraum muss also diese Eigenschaften erfüllen.

Überblick Bearbeiten

Wir verwenden in diesem Abschnitt wieder die Operationssymbole „ “ und „ “ zur Unterscheidung der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation mit der Körperaddition „ “ und der Körpermultiplikation „ “.

Wir wollen nun aus den insgesamt acht Axiomen des Vektorraums einfache Eigenschaften und Rechenregeln ableiten. Da wir in den Axiomen nur die Existenz des Nullvektors und des additiven Inversen gefordert haben, stellen sich zunächst folgende Fragen: Ist der Nullvektor eindeutig oder gibt es mehrere Nullvektoren? Ist das inverse Element der Addition eindeutig oder kann es mehrere geben? Die Antwort auf beide Fragen lautet:

  • In jedem Vektorraum gibt es genau einen Nullvektor  . Es kann also nicht mehr als einen Nullvektor in einem Vektorraum geben.
  • Das Inverse bezüglich der Addition ist eindeutig. Zu jedem Vektor   gibt es also genau einen anderen Vektor   mit  .

Weitere Sätze, die wir im Folgenden beweisen werden, sind:

  • Für jedes   gilt:  .
  • Für alle   gilt:  .
  • Aus   folgt, dass   oder   ist.
  • Für alle   und alle   gilt:  .

Sei im Folgenden stets   ein Vektorraum über einem Körper  .

Eindeutigkeit des Nullvektors Bearbeiten

Beweis der Eindeutigkeit des Nullvektors in einem Vektorraum (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Der Nullvektor ist in einem Vektorraum eindeutig)

Im Vektorraum   ist der Nullvektor   eindeutig

Beweis (Der Nullvektor ist in einem Vektorraum eindeutig)

Nehmen wir an, wir haben zwei Vektoren   und   mit der Nulleigenschaft, d.h.   und   erfüllen für alle Vektoren   die Gleichung   beziehungsweise die Gleichung  .

Setzen wir in der ersten Gleichung   für den Vektor   den konkreten Vektor   ein und in der zweiten Gleichung   für den Vektor   den Vektor   ein, so erhalten wir   und  .

Wegen des Kommutativgesetzes der Vektoraddition ist   und dementsprechend ist

 

Damit ist  .

Wir haben ingesamt gezeigt, dass in einem Vektorraum   zwei Vektoren mit der Nulleigenschaft gleich sind. Damit ist der Nullvektor eindeutig.

Das Inverse ist eindeutig Bearbeiten

Beweis der Eindeutigkeit des additiven Inversen in einem Vektorraum (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Das Inverse ist eindeutig)

Das Inverse bezüglich der Addition ist eindeutig. Zu jedem Vektor   gibt es genau einen Vektor   mit  .

Beweis (Das Inverse ist eindeutig)

Seien  . Wir nehmen an, dass   und   zwei additive Inverse zu   sind. Es sei also   und  . Wir zeigen nun, dass   sein muss und dass es damit nur ein additives Inverses geben kann.

 

Damit sind die beiden additiven Inversen   und   identisch.

Hinweis

Im obigen Beweis haben wir   beziehungsweise   für das additive Inverse von   geschrieben. Wir haben aber gesehen, dass es genau ein additives Inverse gibt. Dieses wird normalerweise mit   notiert und wir werden auch in den folgenden Kapitel diese Schreibweise für das additive Inverse benutzen.

Die Nullskalierung ergibt den Nullvektor Bearbeiten

Nullskalierung ergibt den Nullvektor - Beweis (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Die Nullskalierung ergibt den Nullvektor)

Für jedes   gilt:  .

Beweis (Die Nullskalierung ergibt den Nullvektor)

 

Damit ist  .

Verständnisfrage: Kann ein Vektor   so mit einem Skalar   skalar multipliziert werden, dass sich wieder der ursprüngliche Vektor   ergibt?

Die Antwort ist ja, denn wähle für  , dann gilt nach dem Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation

 

Nun kann   nur dann gebildet werden, wenn   ist. Dies ist aber wegen   der Fall. Für   ist nämlich   und damit schließt die Prämisse   den Fall   aus.

Dies zeigt, warum es sinnvoll ist, Vektorräume   über einem Körper   zu definieren. In Körpern gibt es nämlich zu jedem Element ungleich der Null ein multiplikatives Inverses. Es gibt also zu allen   mit   ein Inverses   mit  . Dass   ein Körper ist, garantiert also, dass jede Skalierung (Streckung)   durch die inverse Skalierung (mit den inversen Streckungsfaktor)   zurückskaliert werden kann, so dass   ist.

Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor Bearbeiten

Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor - Beweis (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor)

Für alle   gilt:  .

Beweis (Jede Skalierung des Nullvektors ergibt den Nullvektor)

Sei   das neutrale Element der Vektoraddition und   beliebig. Es ist:

 

Damit ist  .

Nullteilerfreiheit der skalaren Multiplikation Bearbeiten

Beweis der Nullteilerfreiheit der skalaren Multiplikation (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz

Sei für   und   die Gleichung   erfüllt. Dann ist   oder  .

In bereits bewiesenen Sätzen haben wir gezeigt, dass im Fall   oder   die Gleichung   erfüllt ist. Nun zeigen wir umgekehrt, dass aus   folgt, dass   oder   ist.

Beweis

Sei  . Wenn   ist, gibt es ein   mit  . Dann ist:

 

Aus   folgt also  . Damit muss   oder   sein, denn es kann nicht gleichzeitig   und   sein.

Skalierung mit dem Negativem einer Zahl Bearbeiten

Skalierung eines Vektors mit einem negativen Skalar (Youtube-Videovom Youtube-Kanal Maths CA).

Satz (Skalierung eines Vektors mit einem negativen Skalar)

Für alle   und alle   gilt

 

Beweis (Skalierung eines Vektors mit einem negativen Skalar)

Nach dem skalaren Distributivgesetz der skalaren Multiplikation ist zum einen:

 

Dies zeigt, dass   das additive Inverse zu   ist. Damit ist  . Zum anderen ist nach vektoriellem Distributivgesetz

 

Dies zeigt, dass   das additive Inverse zu  , also gleich   ist. Damit ist insgesamt

 

Hinweis

Aus dem obigen Satz folgt direkt  . Es ist nämlich   (wobei wir   benutzt haben).