Beweisarchiv

Dieses Buch steht im Regal Mathematik.

Inhalt

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

Gruppen: Bahnensatz · Elementordnung 2 und Kommutativität · Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung · Klassifikation endlicher abelscher Gruppen · Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen · Sylow-Sätze · Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen · Lineare Abbildungen und Matrizen

Ringe: Binomischer Lehrsatz · Boolesche Ringe · Chinesischer Restsatz

Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

Beweisarchiv: Analysis

Ungleichungen: Grönwall'sche Ungleichung · Young'sche Ungleichung

Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes · Produktformel von Vieta · 1/n ist eine Nullfolge · Grundeigenschaften konvergenter Folgen

Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion · Kriterien für lokale Extrema · Satz von Rolle · Mittelwertsatz · L'Hospitalsche Regel · Taylor-Reihe mit Konvergenzradius Null · Charakterisierung konstanter Funktionen · Festlegbarkeit der Stammfunktion · Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Beweisarchiv: Arithmetik

Erklärungsversuch zu einer ramanujanschen Bruchnäherung zur Kreiszahl π

Erweiterte Rechenarten

Logarithmus: Logarithmengesetze ·

Lösungen von Gleichungen

Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Quadratische Gleichungen ·

Beweisarchiv: Funktionalanalysis

Hilberträume: · Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung · Parallelogrammgleichung · Über eine Abschwächung der heisenbergschen Vertauschungsrelation

Ein Supremumsprinzip im Zusammenhang mit drei Sätzen von Krein–Milman, Klee–Straszewicz und Bauer ·

Beweisarchiv: Funktionentheorie

Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz

Planimetrie

Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Tangentenviereck · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales

Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras

Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser

Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·

Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Inzidenzgeometrie ·

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

Trigonometrie

Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens

Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf

Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Beweisarchiv: Kombinatorik

Eine verallgemeinerte LYM-Ungleichung

Beweisarchiv: Kryptografie

Sicherheitsdefinitionen: Äquivalente Definitionen informationstheoretischer Sicherheit

Kryptosysteme: Korrektheit des RSA-Kryptosystems · Sicherheit des GMR-Signatursystems

Pseudozufall: Sicherheit des s²-mod-n-Generators

Beweisarchiv: Lie-Algebren

Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen

Beweisarchiv: Lineare Algebra

Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton · Korrektheit des Algorithmus von Faddejew-Leverrier · Kreisesatz von Gerschgorin

Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis

Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit

Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate

Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass

Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten

Beweisarchiv: Theoretische Informatik

Sprachen: Pumping-Lemma

Berechenbarkeit: Halteproblem

Beweisarchiv: Topologie

Grundlagen: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff · Top hat Limites · Produkt von Hausdorffräumen · Limes von Hausdorffräumen · Limes von kompakten Hausdorffräumen

Satz von Tychonoff · Über den weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum · Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle · Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen · Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung

Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz

Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von $\zeta (3)$ · Primzahlsatz

Zusammenfassung des Projekts

• Zielgruppe: Alle Personen, die mathematische Beweise nachschlagen wollen, also Schüler, Schülerinnen, Studierende und andere.
• Projektumfang: Beweise jeglicher Art, also aus der Mathematik, aus der Mengenlehre, aus der Physik, aus der theoretischen Informatik usw. Man beachte, dass keine weitere Beschränkung auf eine bestimmte Kategorie gelten soll, und dass jeder, der Lust hat, beliebig Erweiterungen vornehmen kann.
• Themenbeschreibung: Zusammenstellung von Beweisen aus Mathematik, Mengentheorie, Theoretischer Informatik – und gerne auch aus anderen naturwissenschaftlichen Gebieten.
• Lernziele: Beweise verstehen und lernen. Dazu diene dieses Nachschlagewerk, in denen solche vorgehalten werden.
• Abgrenzung zu anderen Wikibooks: Hier sollen nur und alleine Beweise eingestellt werden, also keine Einführungen in die Grundlagen und deren Diskussion. Das Beweisarchiv soll eine reine Zusammenstellung von Beweisen sein, auf die auch von anderen mathematischen oder EDV-Büchern aus verlinkt werden kann.
• Regeln:

• Man führe die Beweise möglichst allgemein.
• Um die Einheitlichkeit zu wahren, sollte man die folgende Gliederung benutzen:
  • Kurze Beschreibung des zu behandelnden Problems.
  • Danach die Behauptung.
  • Danach die Beweisführung.
• Alles sollte stets kurz und knapp ausgedrückt werden.
• Trotzdem sollten alle Schritte des Beweises allgemeinverständlich sein.
• Wenn in einem Beweis Hilfsätze oder andere mathematisch beweisbare Aussagen verwendet werden, sollten immer Links auf den zugehörigen Beweis verweisen.
• Jeder einzelne Beweis sollte auf einer eigenen Seite geführt werden.
• Zu einem Satz dürfen durchaus mehrere Beweise aufgeführt werden (z.B. direkter und indirekter Beweis).

• Aufbau des Buches:

• Beweisarchiv
  • Kategorie (z.B. Mengenlehre, Geometrie, Numerik...)
    • Unterkategorie (z.B. Problemklassen wie Assoziativgesetze, Funktionen usw.)
      • Die Beweise, jedes Problem auf einer eigenen Seite

Ich bitte darum, dass möglichst viele Leute sich am Wachsen des Buches beteiligen! --Patrixx 16:48, 17. Dez 2005 (UTC)