Beweisarchiv: Lineare Algebra: Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis

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Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis



Jeder Vektorraum hat eine Basis

Voraussetzungen

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Wir setzen ZFC voraus und verwenden das Auswahlaxiom in Form des Lemmas von Zorn. Weiter sei   ein beliebiger Vektorraum.

Behauptung

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  besitzt eine Basis.

Basen sind maximale, linear unabhängige Teilmengen eines Vektorraums, wir betrachten also die Menge

 

Weil die leere Menge immer linear unabhängig ist, gilt   und   ist nicht leer. Um das Lemma von Zorn anwenden zu können, muss eine Halbordnung auf   definiert werden. Die Inklusion   ist eine solche. Sei nun   eine Kette in  . Zu zeigen ist, dass   eine obere Schranke besitzt, also eine Menge, die alle Mengen von   enthält.   habe die Gestalt

 

mit   als beliebige Indexmenge. Weil wir eine Menge suchen, die alle Mengen von   enthält, bilden wir die Vereinigung aller Mengen von  :

 

  enthält offensichtlich alle Mengen von  , bleibt zu zeigen, dass   in   liegt. Dazu nehmen wir an,   liege nicht in  . Dann enthält     Vektoren, die linear abhängig sind. Betrachten wir die Gleichung

 

Weil   eine Kette ist, gilt   oder  , also   oder  . Es gibt also eine linear unabhängige Menge ( ), die   enthält. Fährt man so fort, so folgt, dass   eine Menge enthalten muss, die alle   enthält. Das ist aber ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit aller Mengen in  . Also ist  . Nun ist das Lemma von Zorn anwendbar:   besitzt also ein maximales Element, welches gerade die gesuchte Basis ist.