Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Kreisesatz von Gerschgorin

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Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton · Korrektheit des Algorithmus von Faddejew-Leverrier · Kreisesatz von Gerschgorin
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Das Kreisesatz von Gerschgorin oder auch Kreissatz von Gerschgorin bzw. Satz von Gerschgorin, in englischsprachigen Quellen auch Gershgorin circle theorem genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Linearen Algebra. Der Satz ist benannt nach dem weißrussischen Mathematiker Semjon Aronowitsch Gerschgorin und gibt Aufschluss über die Lage der Eigenwerte komplexwertiger Matrizen innerhalb der gaußschen Zahlenebene .[1]

Formulierung des Satzes

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Der Satz besagt folgendes:[1]

Es sei

 

eine komplexwertige Matrix  -Matrix zu einer natürlichen Zahl   . Dabei sei für jeden der Indizes  

 

und dazu

 

die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius   und Mittelpunkt  .

Dann gilt:

Zu jedem komplexen Eigenwert   der Matrix   gibt es eine Kreisscheibe  , die   enthält.

Beweis des Satzes

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Der Darstellung von Ortega und Rheinboldt folgend lässt sich der Beweis führen wie folgt:[1]

Sei

 

Eigenwert der Matrix

 

und sei

 

ein zugehöriger Eigenvektor und

 

mit

 

als komplexwertiger  -Einheitsmatrix.

Dann gilt einerseits

 

und andererseits wegen   für einen Index  

 .

Man hat also

 

und dann weiter

 .

und damit

  .

Folglich ist

 

und daher

    ,

was die Behauptung des Satzes beweist.

Quellen und Hintergrundliteratur

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  • S. Gerschgorin: Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. In: Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. 1, 1931, S. 749-754 ([1]).
  • James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Acadmic Press, New York and London, 1970). 30, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3. MR1744713
  • Richard S. Varga: Geršgorin and His Circles. 36, Springer Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-21100-4. MR2093409

Einzelnachweise

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  1. 1,0 1,1 1,2 James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution ... 2000, S. 49