Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Kreisesatz von Gerschgorin
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Das Kreisesatz von Gerschgorin oder auch Kreissatz von Gerschgorin bzw. Satz von Gerschgorin, in englischsprachigen Quellen auch Gershgorin circle theorem genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Linearen Algebra. Der Satz ist benannt nach dem weißrussischen Mathematiker Semjon Aronowitsch Gerschgorin und gibt Aufschluss über die Lage der Eigenwerte komplexwertiger Matrizen innerhalb der gaußschen Zahlenebene .[1]
Formulierung des Satzes
BearbeitenDer Satz besagt folgendes:[1]
Es sei
eine komplexwertige Matrix -Matrix zu einer natürlichen Zahl . Dabei sei für jeden der Indizes
und dazu
die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius und Mittelpunkt .
Dann gilt:
- Zu jedem komplexen Eigenwert der Matrix gibt es eine Kreisscheibe , die enthält.
Beweis des Satzes
BearbeitenDer Darstellung von Ortega und Rheinboldt folgend lässt sich der Beweis führen wie folgt:[1]
Sei
Eigenwert der Matrix
und sei
ein zugehöriger Eigenvektor und
mit
als komplexwertiger -Einheitsmatrix.
Dann gilt einerseits
und andererseits wegen für einen Index
- .
Man hat also
und dann weiter
- .
und damit
- .
Folglich ist
und daher
- ,
was die Behauptung des Satzes beweist.
Quellen und Hintergrundliteratur
Bearbeiten- S. Gerschgorin: Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. In: Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. 1, 1931, S. 749-754 ([1]).
- James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Acadmic Press, New York and London, 1970). 30, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3. MR1744713
- Richard S. Varga: Geršgorin and His Circles. 36, Springer Verlag, Berlin 2004, ISBN 3-540-21100-4. MR2093409