Beweisarchiv: Lineare Algebra: Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton

Beweisarchiv: Lineare Algebra

Endomorphismen: Satz von Cayley-Hamilton · Korrektheit des Algorithmus von Faddejew-Leverrier · Kreisesatz von Gerschgorin
Vektorräume: Jeder Vektorraum hat eine Basis



Satz von Cayley-Hamilton


VoraussetzungenBearbeiten

Es seien   ein Körper,   ein endlichdimensionaler  -Vektorraum und   ein  -linearer Endomorphismus von  .

BehauptungBearbeiten

  ist Nullstelle seines charakteristischen Polynoms, d.h. setzt man   formal in das charakteristische Polynom ein, erhält man den Nullendomorphismus.

BeweisBearbeiten

Es sei   die von   erzeugte kommutative Unteralgebra von  . Die zu beweisende Aussage kann wie folgt umformuliert werden: Die Determinante   des Endomorphismus   von   ist gleich null.

Der Beweis beruht auf der Konstruktion der komplementären Matrix: Zu jeder Matrix   gibt es eine Matrix  , deren Einträge Polynome in den Einträgen von   sind, so dass   gilt. Im betrachteten Fall folgt insbesondere

 

Das Bild ist aber im Kern der Abbildung

 

enthalten. Es gilt also   für alle  , aber das ist nichts anderes als die Aussage   in  .

Elementarer BeweisBearbeiten

Etwas weniger elegant, aber elementarer geht es so:

Zu   betrachte den Vektorraum  .

Da   endlichdimensional ist, erzeugen bereits   Vektoren   den Unterraum  .

Wählt man   minimal, bildet   eine Basis von  . Ansonsten hätte ein   eine Darstellung   im Widerspruch dazu, daß   minimal ist.

Nach Konstruktion gilt   und wir haben aufgrund der Basiseigenschaft

 . Damit hat   bezüglich   die Darstellung

 .

Mit einiger Rechnerei (Entwickeln nach der letzten Spalte, Stichwort Frobenius-Matrix) berechnet man das Charakteristische Polynom   von  :

 .

Setzen wir nun   in dieses Polynom ein, und wenden die entstehende lineare Abbildung auf   an, erhalten wir:

 

 

 

 .

Ergänzen wir die Basis von   zu einer Basis   von  , so hat   bezüglich   die Matrixdarstellung  . In der Blockmatrix taucht unser   auf. Wir sehen, daß   ein Teiler von   ist. Die   sind entsprechend dimensionierte Einheitsmatrizen. Damit folgt  .

Da wir anfangs   beliebig gewählt haben, ist die Abbildung   die Nullabbildung und der Satz ist bewiesen.