Es sei die von erzeugte kommutative Unteralgebra von . Die zu beweisende Aussage kann wie folgt umformuliert werden: Die Determinante des Endomorphismus von ist gleich null.
Der Beweis beruht auf der Konstruktion der komplementären Matrix: Zu jeder Matrix gibt es eine Matrix , deren Einträge Polynome in den Einträgen von sind, so dass gilt. Im betrachteten Fall folgt insbesondere
Das Bild ist aber im Kern der Abbildung
enthalten. Es gilt also für alle , aber das ist nichts anderes als die Aussage in .
Etwas weniger elegant, aber elementarer geht es so:
Zu betrachte den Vektorraum
.
Da endlichdimensional ist, erzeugen bereits Vektoren
den Unterraum .
Wählt man minimal, bildet
eine Basis von
. Ansonsten hätte ein eine Darstellung
im Widerspruch dazu, daß
minimal ist.
Nach Konstruktion gilt und wir haben aufgrund der Basiseigenschaft
.
Damit hat bezüglich die
Darstellung
.
Mit einiger Rechnerei (Entwickeln nach der letzten Spalte, Stichwort
Frobenius-Matrix) berechnet man das
Charakteristische Polynom von :
.
Setzen wir nun in dieses Polynom ein, und wenden die entstehende lineare
Abbildung auf an, erhalten wir:
.
Ergänzen wir die Basis von zu einer Basis
von , so hat bezüglich die Matrixdarstellung
. In der Blockmatrix taucht unser auf. Wir sehen, daß ein Teiler von
ist. Die sind entsprechend dimensionierte Einheitsmatrizen.
Damit folgt .
Da wir anfangs beliebig gewählt haben, ist die Abbildung die Nullabbildung und der Satz ist bewiesen.