Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Herleitung des WALLIS-Produktes

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Herleitung des Wallis-Produktes

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Das Wallis-Produkt ist eine Näherungsformel zur Berechnung von  .

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Konvergenz des Wallis-Produktes zu zeigen. Eine Herleitung mit analytischen Mitteln soll hier kurz vorgestellt werden. Es mag sein, dass die folgenden Schritte nicht sofort intuitiv nachvollziehbar sind, da gute mathematische Grundkenntnisse vorausgesetzt werden. Jedoch ist dieser Ansatz ein raffinierter Weg, den Grenzwert zu bestimmen, den es zu betrachten lohnt.

Vorbereitungen

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Man untersucht die Folge     mit    .


a)   Je zwei Glieder von   sind rekursiv verknüpft durch   mit den Anfangsbedingungen   und  .

Beweis: durch partielle Integration:

               

Umordnung des Resultates   ergibt  


b)   Man kann die Quotientenfolge   abschätzen durch  . Dies ist gleichbedeutend mit  .


Beweis:

Sei  . Dann gilt  .    

Wegen der Rekursionsformel gilt:  

Zusammengefasst gilt:  .

Der Quotient   wurde hierdurch per Sandwich eingegrenzt  .

Definition der WALLIS-Folge

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Nach diesen Vorbereitungen wird nun die "WALLIS-Folge" definiert zu    .

Die Konvergenz dieser Folge ist auf zwei Wegen ersichtlich. Deren Kombination führt direkt zum WALLIS-Produkt:

a)  

Analog zu   besitzt auch   eine rekursive Darstellung     mit Faktor    .

Beweis:  

                      


Mit Hilfe der rekursiven Verknüpfung   zweier Glieder von   kann man auch etwas über das Verhalten von   für große   sagen. Die Taktik hier ist die Verknüpfung konkreter Folgenglieder   durch den Rekursionsfaktor  , wobei alle unerwünschten Terme durch ständiges ineinander Einsetzen der Erkenntnisse eliminiert werden:

 

 

 

 

 

 

  mit        


b)    

Die Erkenntnis über den Quotienten   aus der Vorbereitung liefert        


Man hat nun zwei präzise Angaben über das Verhalten von   für große   erhalten.

Durch Gleichsetzen von   und   ergibt sich das WALLIS-Produkt zu    .

Durch elementare Umformungen erhält man die optisch ansprechendere Darstellung  .