Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Grundeigenschaften konvergenter Folgen

Beweisarchiv: Analysis

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Integralrechnung: Gaußsches Integral
Konvexität und Stetigkeit

Seien und sei eine konvergente Folge in . Dann gelten:

(a) Die Folge ist beschränkt.
(b) Die Folge der Beträge ist wieder konvergent mit .

Beweis Bearbeiten

Sei  .

(a) Direkter Beweis.

Wir nehmen uns ein   und finden nach der Definition der Konvergenz einer Folge das   mit   für alle   mit  . Damit liegt die Folge für   ganz im Intervall  . Nun definieren wir

  und
 .

Dann sind   und   und weiterhin   für alle  .
Die Mengen

  und
 

sind also beschränkt.
Nun definieren wir
  und
 .
Damit gilt   für alle  ,   ist also beschränkt.

(b) Direkter Beweis.

Mit der Definition der Konvergenz und der Konvergenz von   gibt es für alle   ein   so, dass   gilt für alle  . Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt auch
 .
Damit ist   gezeigt.