Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Mittelwertsatz
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Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung verallgemeinert den Satz von Rolle u.a. auf beliebige Sekantensteigungen.
Hier wird zunächst der erweiterte Mittelwertsatz gezeigt, der den einfachen als Spezialfall bzw. Korollar enthält.
Voraussetzung
BearbeitenSei und die Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall stetig sowie auf dem offenen Intervall differenzierbar.
Behauptung
BearbeitenDann gibt es ein mit
Hat in keine Nullstelle, so gilt für dieses auch
Beweis
BearbeitenBetrachte die Funktion die gegeben ist durch
Dann ist auf stetig und auf differenzierbar mit Ableitung
- .
Wir berechnen
sowie
Es ist also und nach dem Satz von Rolle gibt es dann ein mit . Dies bedeutet aber auch
was zu zeigen war.
Hat weiter keine Nullstelle in so gilt wiederum wegen des Satzes von Rolle gewiss nicht . Folglich können wir sowohl durch als auch dividieren und erhalten die Zusatzbehauptung.
Korollar
BearbeitenSei und die Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall stetig sowie auf dem offenen Intervall differenzierbar. Dann gibt es ein mit
Bemerkung: Oft findet man auch die folgende äquivalente Formulierung (die mutatis mutandis auch für gilt):
Sei auf dem abgeschlossenen Intervall stetig sowie auf dem offenen Intervall differenzierbar. Dann gibt es ein mit
Beweis
BearbeitenDefiniere und wende den Satz an.