Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Mittelwertsatz

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Konvexität und Stetigkeit


Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung verallgemeinert den Satz von Rolle u.a. auf beliebige Sekantensteigungen. Hier wird zunächst der erweiterte Mittelwertsatz gezeigt, der den einfachen als Spezialfall bzw. Korollar enthält.

Voraussetzung

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Sei   und die Funktionen   auf dem abgeschlossenen Intervall   stetig sowie auf dem offenen Intervall   differenzierbar.

Behauptung

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Dann gibt es ein   mit

 

Hat   in   keine Nullstelle, so gilt für dieses   auch

 

Betrachte die Funktion   die gegeben ist durch

 

Dann ist   auf   stetig und auf   differenzierbar mit Ableitung

 .

Wir berechnen

 

sowie

 

Es ist also   und nach dem Satz von Rolle gibt es dann ein   mit  . Dies bedeutet aber auch

 

was zu zeigen war.

Hat weiter   keine Nullstelle in   so gilt wiederum wegen des Satzes von Rolle gewiss nicht  . Folglich können wir sowohl durch   als auch   dividieren und erhalten die Zusatzbehauptung.

Korollar

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Sei   und die Funktion   auf dem abgeschlossenen Intervall   stetig sowie auf dem offenen Intervall   differenzierbar. Dann gibt es ein   mit

 

Bemerkung: Oft findet man auch die folgende äquivalente Formulierung (die mutatis mutandis auch für   gilt):

Sei   auf dem abgeschlossenen Intervall   stetig sowie auf dem offenen Intervall   differenzierbar. Dann gibt es ein   mit

 

Definiere   und wende den Satz an.

Wikipedia-Verweis

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