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Konvexität und Stetigkeit


Der geläufigste Beweis der Regeln von L'Hospital benutzt den Mittelwertsatz von Cauchy.

VoraussetzungBearbeiten

Sei   und seien die Funktionen   stetig und auf dem offenen Intervall   differenzierbar. Es sei   und es existiere der Grenzwert

 

BehauptungBearbeiten

Dann gilt

 

d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.

BeweisBearbeiten

Wir dürfen   und   nach   fortsetzen, indem wir   setzen. Nach Voraussetzung sind die Funktionen dann auch in   stetig.

Damit   existiert, darf für keine gegen   konvergente Folge von Stellen   der Nenner   sein, insb. gibt es ein   mit   für  .

Für   sind also   auf   stetig, auf   differenzierbar und   verschwindet nirgends in  . Es darf daher der (erweiterte) Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet werden, d.h. es gibt zu jedem   mit   ein   mit  , so dass gilt:

 ,

hierbei Letzteres wegen  .

Wenn  , dann  , also

 ,

was zu zeigen war.

Eine andere Version der Regel von L'Hospital, die nicht sofort aus der eben gezeigten folgt, ist die folgende:

VoraussetzungBearbeiten

Sei   und seien die Funktionen   auf dem offenen Intervall   stetig und differenzierbar. Es sei   und es existiere der Grenzwert

 

BehauptungBearbeiten

Dann gilt

 

d.h. der Grenzwert links existiert und hat den angegebenen Wert.

BeweisBearbeiten

Für jedes   gibt es ein  , sodass

 

Weil   gegen   divergiert, gibt es ein   mit

 

Nun definieren wir eine neue Funktion   mittels

 

Nach Wahl von   ist der Nenner niemals Null, die Funktion ist also sinnvoll definiert.

Nun gilt für alle  :

 

Dies lösen wir nach   auf und erhalten:

 

Nun nehmen wir den Betrag auf beiden Seiten und erhalten mit der Dreiecksungleichung:

 

Wir müssen nun noch zeigen, dass dieser Ausdruck kleiner als   wird, wenn   groß genug wird.

Weil   gegen unendlich geht, erhalten wir die folgenden Grenzwerte:

  und  .

Weil   gegen 1 konvergiert, wird es irgendwann kleiner als 2 sein. Und weil   gegen 0 konvergiert, wird es irgendwann kleiner als   sein. Kombinieren wir diese beiden Ideen, so wissen wir, dass es ein   gibt, sodass für alle   die beiden folgenden Abschätzungen gelten:

  und  .

Nun, wo wir die Zahl   fixiert haben, sei   eine beliebige reelle Zahl größer als  . Dann gilt:

 

Der Ausdruck   wird nun mit Cauchy's Mittelwertsatz behandelt:

 

Die Zahl   liegt irgendwo zwischen   und   und die letzte Abschätzung folgt aus der Definition von   am Beginn dieses Beweises.

Zusammengefasst heißt das nun, dass wir für jedes   eine Zahl   konstruiert haben, sodass für alle   gilt:

 

Das war zu zeigen.