Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Satz

Seien $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a<b$ und $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig. Sei $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig differenzierbar mit der Ableitung $F'=f$. Dann gilt für das Riemann-Integral

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Beweis

Seien $x\in [a,b]$ und $G:[a,b]\to \mathbb {R} ;x\mapsto \int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y$. Sei $h\in \mathbb {R}$ mit $h\neq 0$ und $x+h\in [a,b]$ und definiere $m_{h}:=\min\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}$, $M_{h}:=\max\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}$. Dann gilt nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

$G(x+h)-G(x)=\int _{a}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y-\int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y=\int _{x}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y$.

Wegen

$m_{h}\leq {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y\leq M_{h}$

gilt

$m_{h}\leq {\frac {G(x+h)-G(x)}{h}}\leq M_{h}$.

Da $f$ stetig ist, existiert nach dem $\epsilon -\delta$-Kriterium nun für jedes $\epsilon \in \mathbb {R}$ mit $\epsilon >0$ ein $\delta \in \mathbb {R}$ mit $\delta >0$ mit $|f(y)-f(x)|<\epsilon$ für alle $y\in [a,b]$ mit $|y-x|<\delta$. Mit anderen Worten existiert für jedes $\epsilon >0$ ein $h>0$ mit $M_{h}-m_{h}<\epsilon$. Damit ist $G$ am Punkt $x$ differenzierbar mit

$G'(x)=\lim _{h\to 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {G(x+h)-G(x)}{h}}=f(x)$.

Damit ist $G$ eine Stammfunktion von $f$.
Sei nun $F:I\to \mathbb {R}$ eine Stammfunktion von $f$. Dann existiert nach der Charakterisierung konstanter Funktionen eine Konstante $C\in \mathbb {R}$ mit $F(x)=G(x)+C$ für alle $x\in [a,b]$. Damit gilt erneut nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

$F(b)-F(a)=G(b)+C-G(a)-C=G(b)-G(a)=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x-\int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$.

$\Box$