Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Charakterisierung konstanter Funktionen

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Definition

Seien $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist $f$ konstant, wenn für alle $a,b\in \mathbb {R}$ gilt $f(a)=f(b)$.

Satz

$f$ ist genau dann konstant, wenn für die Ableitungsfunktion $f':I\to \mathbb {R}$ gilt $f'=0$.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Seien $f$ konstant und $x\in I$. Dann gilt $f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0$.

„$\Leftarrow$“: Seien $f'(x)=0$ für alle $x\in I$ und $a,b\in I$ mit $a\neq b$, dann können wir durch eventuelles Vertauschen $a<b$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein $\xi \in (a,b)$ mit $f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$. Also ist wegen$f'(\xi )=0$ auch $f(b)-f(a)=0$ und damit $f(a)=f(b)$.

$\Box$