Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Produktformel von Vieta

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Im Folgenden wird die Produktformel von Vieta sowie damit zusammenhängende Aussagen und Darstellungen bewiesen.

Zu beweisende Aussagen

Formel von Vieta

Mit der durch

${\begin{aligned}a_{1}&:={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\\a_{n}&:={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2a_{n-1}}}\qquad n\geq 2\end{aligned}}$

rekursiv definierten Zahlenfolge $a_{n}$ gilt:

$\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdots ={\frac {2}{\pi }}$

Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt:

${\frac {2}{\pi }}=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\right)\cdots$

Darstellung von Euler

Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall aus folgendem Resultat von Euler (s. Beweis unten) durch Einsetzen von $x={\tfrac {\pi }{2}}$:

${\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)=\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x}{4}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x}{8}}\right)\cdots \\{\frac {2}{\pi }}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2^{i+1}}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{16}}\right)\cdots \end{aligned}}$

Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative, direkte Darstellung für die Glieder der Zahlenfolge $a_{n}$ (s.o.):

$a_{n}=\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+1}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1$

Produktfreie Darstellung

Durch weitere Umformungen und Vereinfachungen erhält man aus der Produktformel von Vieta eine produktfreie Darstellung.

Definiere hierzu die rekursive Folge $b_{n}$

${\begin{aligned}b_{0}&:=0\\b_{n}&:={\sqrt {2+b_{n-1}}}\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1\end{aligned}}$

und aufbauend die Folge $c_{n}$

$c_{n}=2^{n}{\sqrt {2-b_{n-1}}}$

Dann gilt:

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{(n-1)-\mathrm {fache} \;\;\mathrm {Schachtelung} }}}=\pi$

Die ersten Glieder der Folge $c_{n}$ lauten:

${\begin{aligned}c_{1}&=2\cdot {\sqrt {2}}\\c_{2}&=4\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\\c_{2}&=8\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\end{aligned}}$

$\vdots \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots$

Beweise

Beweis der Darstellung von Euler

Der im folgenden präsentierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung:

Wegen

${\begin{aligned}\lim _{t\to 0}{\frac {\sin t}{t}}=1\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)&=x\cdot \left({\frac {\sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}{\frac {x}{2^{n}}}}\right)\end{aligned}}$

hat man zunächst

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)&=x\end{aligned}}$

Andererseits erhält man mit Hilfe der Verdopplungsformel für den Sinus induktiv:

${\begin{aligned}\sin x&=2\cdot \sin \left({\frac {x}{2}}\right)\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\\&=2\cdot \left(2\cdot \sin \left({\frac {x}{4}}\right)\cos \left({\frac {x}{4}}\right)\right)\cdot \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=2^{2}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{2}}}\right)\cdot \prod _{i=1}^{2}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\\&\qquad \vdots \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots \\&=2^{n}\cdot \sin \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\end{aligned}}$

Zusammenfassen dieser beiden Aussagen führt auf folgende Darstellung, die auf Euler zurückgeht:

${\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {x}{2^{i}}}\right)\end{aligned}}$

Analytischer Beweis der Produktformel von Vieta

Durch Einsetzen von $x={\tfrac {\pi }{2}}$ in die Eulersche Darstellung erhält man speziell:

${\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}&=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2^{i+1}}}\right)\end{aligned}}$

Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die Kosinus-Faktoren in dieser Produktdarstellung mit den rekursiv definierten $a_{n}$ übereinstimmen, d.h.

$a_{n}=\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+1}}}\right)\qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \;n\geq 1$

Es wichtig zu betonen, dass man hierbei keine nähre Kenntnis über den exakten Verlauf der Kosinus-Funktion benötigt.

Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion:

1. Schritt: Nachweis für $n=1$

$a_{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2^{2}}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2^{1+1}}}\right)\qquad \checkmark$

Diesen speziellen Wert des Kosinus kann man mittels elementarer geometrischer Überlegungen gewinnen.

2. Schritt: Schluss von $n$ auf $n+1$

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2a_{n}}}\\&={\sqrt {\frac {1+a_{n}}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {1+\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+1}}}\right)}{2}}}\qquad \mathrm {(Induktionsvoraussetzung)} \\&=\cos \left({\frac {\pi }{2^{n+2}}}\right)\qquad \checkmark \end{aligned}}$

Die letzte Umformung im obigen Induktionsschritt beruht auf der Halbierungsformel für den Kosinus.

Beweis der produktfreien Darstellung

Durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit 2 folgt aus der Vietaschen Produktformel unmittelbar folgende Produktformel für $\pi$:

$\pi =\lim _{n\to \infty }2\cdot \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}$

Die Behauptung ist offensichtlich wahr, wenn für die Zahlenfolge $c_{n}$

$c_{n}=2\cdot \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}$

gilt. Dies lässt sich durch vollständige Induktion zeigen:

1. Schritt: Nachweis für $n=1$

$2\cdot {\frac {1}{a_{1}}}=2\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2-0}}=2{\sqrt {2-b_{0}}}=c_{1}\qquad \checkmark$

2. Schritt: Schluss von $n$ auf $n+1$

${\begin{aligned}2\cdot \prod _{i=1}^{n+1}{\frac {1}{a_{i}}}&={\Bigl (}\underbrace {2\cdot \prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{a_{i}}}} _{=c_{n}}{\Bigr )}\cdot {\frac {1}{a_{n+1}}}=c_{n}\cdot {\frac {1}{a_{n+1}}}\\&=2^{n}{\sqrt {2-b_{n-1}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2a_{n}}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-b_{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+2a_{n}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-b_{n-1}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\qquad \qquad (\mathrm {wegen} \;b_{n}=2a_{n})\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-(b_{n}^{2}-2)}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\qquad (\mathrm {folgt} \;\mathrm {aus} \;\mathrm {Umformen} \;\mathrm {der} \;\mathrm {rekursiven} \;\mathrm {Definition} \;\mathrm {von} \;b_{n})\\&=2^{n+1}{\sqrt {4-b_{n}^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {(2+b_{n})(2-b_{n})}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2+b_{n}}}}\\&=2^{n+1}{\sqrt {2-b_{n}}}=c_{n+1}\qquad \checkmark \end{aligned}}$

Siehe auch

• Produktformel von Vieta
• Vieta
• Berechnung von Pi
• Wurzel 2