Beweisarchiv: Analysis: Konvexe Funktionen und Stetigkeit

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Konvexität und Stetigkeit

Diese beiden Beweise behandeln den Zusammenhang von Konvexität und Stetigkeit von reellwertigen Funktionen auf topologischen Vektorräumen.

Eine schwächere Definition der Konvexität

Sei $f$ eine reellwertige Funktion auf einer konvexen Teilmenge $C$ eines reellen topologischen Vektorraums. Ist $f$ stetig, so reicht für die Konvexität von $f$ bereits die Bedingung, dass ein beliebiges, aber fixes $\lambda \in \mathbb {R}$ mit $0<\lambda <1$ existiert, sodass für alle $x$,$y$ aus $C$ gilt:

$f\left(\lambda x+(1-\lambda )y\right)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y).$

Um dies zu sehen, betrachtet man die Menge $T$ aller „guten“ $t$, die durch

$T=\lbrace t\in [0,1]:f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\quad \forall x,y\in C\rbrace$

definiert ist.

Seien nun $u,v\in T$. Dann gilt auch $\lambda u+\left(1-\lambda \right)v\in T$, denn

${\begin{aligned}&f{\Big (}\left(\lambda u+\left(1-\lambda \right)v\right)x+\left(1-\lambda u-\left(1-\lambda \right)v\right)y{\Big )}\\&\quad =f{\Big (}\lambda (ux+(1-u)y)+(1-\lambda )(vx+(1-v)y){\Big )}\\&\quad \leq \lambda f{\Big (}ux+(1-u)y{\Big )}+(1-\lambda )f{\Big (}vx+(1-v)y{\Big )}\\&\quad \leq \lambda {\Big (}uf(x)+(1-u)f(y){\Big )}+(1-\lambda ){\Big (}vf(x)+(1-v)f(y){\Big )}\\&\quad ={\Big (}\lambda u+(1-\lambda )v{\Big )}f(x)+{\Big (}1-\lambda u-(1-\lambda )v{\Big )}f(y).\end{aligned}}$

Sein nun $t$ eine beliebige reelle Zahl mit $0<t<1$. Dann lässt sich eine Intervallschachtelung $[u_{n},v_{n}]$ mit $u_{n},v_{n}\in T$ konstruieren, die gegen $t$ konvergiert: Sei $u_{0}=0,v_{0}=1$ und $0\leq u_{n}\leq t<v_{n}\leq 1$ und $0<v_{n}-u_{n}\leq q^{n}$ mit $0<q:=\max \left(\lambda ,1-\lambda \right)<1$.

Sei $t_{n}:=\lambda u_{n}+\left(1-\lambda \right)v_{n}$.

Ist $t_{n}\leq t$, so setzt man $u_{n+1}:=t_{n}\!$, $v_{n+1}:=v_{n}\!$, und es gilt $v_{n+1}-u_{n+1}=\lambda (v_{n}-u_{n})\!$.

Ist $t_{n}>t\!$, so setzt man $u_{n+1}:=u_{n}\!$, $v_{n+1}:=t_{n}\!$, und es gilt $v_{n+1}-u_{n+1}=(1-\lambda )(v_{n}-u_{n})\!$.

$u_{n+1},t_{n+1}\!$ sind ebenfalls aus $T\!$, es gilt $t\in [u_{n+1},v_{n+1}]\!$ und $0<v_{n+1}-u_{n+1}\leq q^{n+1}$.

Die so konstruierte Intervallschachtelung konvergiert also gegen $t\!$; wegen der Stetigkeit von $f\!$ gilt daher $t\in T\!$. Da $t\!$ beliebig gewählt war, folgt also $T=[0,1]\!$, und $f\!$ ist konvex.

Stetigkeit beschränkter konvexer Funktionen in normierten Räumen

Setzt man für eine Funktion $f$ zusätzlich zur Bedingung, dass für ein fixes $\lambda \in (0,1)\!$ die Beziehung

$f\left(\lambda x+(1-\lambda )y\right)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

für alle $x$,$y$ aus einer konvexen Teilmenge $C$ eines normierten Vektorraums gilt, noch voraus, dass $f$ nach oben beschränkt ist, so folgt daraus bereits die Stetigkeit von $f$ in den inneren Punkten von $C$. Anschaulich wird dies daraus klar, dass man an einer Unstetigkeitsstelle eine beliebig steile Verbindungsgerade zwischen zwei Funktionswerten ziehen kann, wobei die Funktion zwischen den beiden Werten unterhalb der Verbindungsgeraden und außerhalb der beiden Werte oberhalb der Verbindungsgerade liegen muss. Kann die Verbindungsgerade nun beliebig steil werden, so stößt man irgendwann über die obere Schranke der Funktion.

Formal ist der Beweis allerdings etwas komplizierter. Zunächst beachte man, dass aus den obigen Voraussetzungen für natürliche Zahlen $n$ und

$x=\lambda ^{n}u+\left(1-\lambda ^{n}\right)y$

folgt, dass

$f(x)\leq \lambda ^{n}f(u)+\left(1-\lambda ^{n}\right)f(y)$

bzw.

$f(u)=f\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}x-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)y\right)\geq {\frac {1}{\lambda ^{n}}}f(x)-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)f(y).$

Sei nun $a$ ein beliebiger innerer Punkt von $C$ und

$B_{\rho }(a)=\lbrace x:\|x-a\|<\rho \rbrace$$\subseteq C$

eine zur Gänze in $C$ enthaltene offene Kugel um $a$. Wäre nun $f$ nicht stetig in $a$, so gäbe es ein $\varepsilon >0$, so dass für jedes $\delta >0$ ein $x$ existiert, so dass zwar $\|a-x\|<\delta$, aber $|f(x)-f(a)|>\varepsilon$. Sein nun $n\in \mathbb {N}$ so gewählt, dass

${\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1>{\frac {M-f(a)}{\varepsilon }},$

wobei $M$ eine obere Schranke für $f$ sei. Wählt man nun $\delta =\lambda ^{n}\rho \!$, so existiert also ein $x$ mit

$\|x-a\|<\lambda ^{n}\rho$,

aber

$|f(x)-f(a)|>\varepsilon .$

Angenommen, $f(x)>f(a)+\varepsilon$. Dann gilt für $y:={\frac {1}{\lambda ^{n}}}x-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)a$

$f(y)=f\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}x-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)a\right)\geq {\frac {1}{\lambda ^{n}}}f(x)-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)f(a)>f(a)+{\frac {1}{\lambda ^{n}}}\varepsilon >M.$

Das kann aber nicht sein, da $\|y-a\|={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\|x-a\|<\rho$. Daher liegt $y$ in $C$, und es muss $f(y)<M$ gelten.

Sei daher $f(x)<f(a)-\varepsilon$. Dann gilt für $z:={\frac {1}{\lambda ^{n}}}a-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)x$

$f(z)=f\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}a-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)x\right)\geq {\frac {1}{\lambda ^{n}}}f(a)-\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)f(x)>f(a)+\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)\varepsilon >M.$

Das kann aber auch nicht sein, da $\|z-a\|=\left({\frac {1}{\lambda ^{n}}}-1\right)\|x-a\|<\rho$. Daher liegt auch $z$ in $C$, und es muss ebenfalls $f(z)<M$ gelten.

$f$ muss daher stetig in $a$ sein.