Beweisarchiv: Analysis: Ungleichungen: Young'sche Ungleichung

Beweisarchiv: Analysis

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Konvexität und Stetigkeit


Die Young'sche Ungleichung gehört zu den fundamentalen Ungleichungen der Analysis. Sie hat viele Anwendungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, aber auch bei den gewöhnlichen Differentialgleichungen und wird beispielsweise auch für den standardmäßigen Beweis der Hölder-Ungleichung verwendet.

Allgemeine Fassung

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Sei   eine stetige, streng monoton wachsende und unbeschränkte Funktion mit  . Insbesondere existiert ihre Umkehrfunktion  , welche ebenfalls stetig, streng monoton wachsend und unbeschränkt ist. Dann gilt für alle   die Young'sche Ungleichung

 .

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn   ist.

Sei   eine Folge von stetig differenzierbaren Funktionen, welche monoton wachsend und gleichmäßig gegen   konvergiert. Dann gilt mit der Substitution   und anschließender partieller Integration

 .

Durch Grenzübergang   folgt

 ,

also

 

Im Fall   ist dieser Ausdruck gleich  . Für   ist  , da der Integrand auf   strikt größer als   ist. Für   verwende man analog  .

 

Spezialfall

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Sind   mit   und  , so gilt

 

mit Gleichheit genau dann, wenn  .

aus der allgemeinen Fassung

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Setze  . Die Umkehrfunktion lautet dann  . Die Gleichheitsbedingung   ist äquivalent zu  .

unmittelbar

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Ohne Einschränkung seien  . Wegen

 

ist die Exponentialfunktion strikt konvex. Da   und  , folgt

 .

Gleichheit gilt wegen der strikten Konvexität genau dann, wenn  .

als Spezialfall der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel

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Setze für   die Summanden   und   und die Gewichte   und  . Die Gleichheitsbedingung der arithmetisch-geometrischen Ungleichung überträgt sich unmittelbar.

 

Skalierte Version des Spezialfalls

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Für alle   mit   gilt

 

Setze im vorigen Spezialfall für   und  .

 


Wikipedia-Verweis

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