Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: 1/n ist eine Nullfolge

Beweisarchiv: Analysis

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\geq 1}}=0$.

Beweis

Wir verwenden einen direkten Beweis.
Sei also $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\geq 1}$ die gegebene Zahlenfolge. Dann gibt es mit der archimedischen Eigenschaft von $\mathbb {R}$ für alle $a,\varepsilon \in \mathbb {R}$ mit $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit $n_{0}\varepsilon >a$, also auch $n_{0}\varepsilon >1$ und damit folgt $n_{0}\geq 1$.
Damit ist für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq n_{0}$ auch ${\frac {1}{n}}<\varepsilon$ für beliebig kleine $\varepsilon >0$.

$\Box$