Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen

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Sind mit , so existiert eine natürliche Zahl mit .

Wir verwenden einen Widerspruchsbeweis.
Seien also   mit   und es gäbe keine solche natürliche Zahl   mit  , so gilt   für alle natürlichen Zahlen  , also ist   eine obere Schranke der Menge

 .

Da   nach oben beschränkt und wegen   nicht leer ist, hat   mit dem Vollständigkeitsaxiom ein Supremum   mit   für alle  . Nun nehme  , dann gibt es wegen   ein   mit  . Damit gilt aber  . Wegen   ist aber auch   im Widerspruch zu  .

 

Wikipedia-Verweis

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Archimedisches Axiom