Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

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Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

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Voraussetzung

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  sei eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe  .

Behauptung

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Die Ordnung der Untergruppe   (Anzahl der Elemente) ist ein Teiler der Gruppenordnung  .

Die Linksnebenklassenbildung, also die Abbildung   stellt eine Äquivalenzrelation auf   dar ( ), bei der jede Äquivalenzklasse die Mächtigkeit   hat. Da die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ganz   ergibt und die Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind, ist   ein Teiler von  .

Wikipedia-Verweise

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abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid