Beweisarchiv: Algebra: Körper: Die Existenz der reellen Wurzel

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Die Existenz der Wurzel in den reellen Zahlen wird hier unter der Voraussetzung eingesehen, dass ein vollständig angeordneter Körper ist.

Seien   mit   und   mit  . Dann existiert genau ein   mit   und  .

Hilfsaussage 1

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Sei   mit  . Dann ist   für alle   mit  .

Seien   mit   und   mit  , dann ist  . Ist nämlich  , folgt  , im Widerspruch zu  . Gilt nun  , so ist auch  , was man induktiv bis   fortführen kann.

Hilfsaussage 2

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Seien   mit   und   mit   und gelte  , so existiert auch ein   mit   und  .

Setze  , dann ist insbesondere  . Setze weiter   mit  , dann ist  . Für   soll   gelten. Können wir also ein   mit   finden, so haben wir die Aussage gezeigt. Sei nun   ein beliebiges Element aus  , dann ist   (binomischer Lehrsatz). Wir wollen nun   haben. Es gilt  .
Gilt für unser gewähltes   nun  , so ist auch   und wir haben mit   auch   und sind zufrieden.
Gilt jedoch  , so setze  , aber auch  . Nun nehme  , dann ist  . Nun folgt mit Hilfsaussage 1 auch  . Setze nun  , so ist  , also auch  .

Hilfsaussage 3

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Seien   mit   und   mit   und gelte  , so existiert ein   mit  .

Analog zum Beweis von Hilfsaussage 2, nur diesmal definieren wir   und nehmen  . Es gilt nun  , nun finden wir wie oben ein   mit   und haben  .

Beweis der Eindeutigkeit

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Gelte   und  , so ist für alle   mit   auch   und für alle   mit   ist  , in diesem Fall ist   also eindeutig bestimmt.

Beweis der Existenz

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Nun beweisen wir die Existenz der Wurzel. Zunächst sei  , so ist   für   erfüllt, in diesem Fall existiert   also. Gilt nun  , so definieren wir die Menge  . Diese Menge ist insbesondere nicht leer, denn es ist  , also  . Außerdem ist die Menge nach oben beschränkt. Ist  , so ist  , also ist   eine obere Schranke von  . Ist  , so ist  , also ist in diesem Fall   eine obere Schranke von  . Nach dem Vollständigkeitsaxiom können wir   definieren, und es gilt  . Ist nämlich  , so existiert nach Hilfsaussage 3 ein   mit   und  , also ist   eine kleinere obere Schranke von  , im Widerspruch zu  . Ist  , so existiert nach Hilfsaussage 2 ein   mit  , und es ist  , ebenfalls ein Widerspruch zu  .

Damit ist auch die Existenz der Wurzel eingesehen, die Zahl   nennt man dann natürlich die  -te Wurzel von  , also  .

Wikipedia-Verweis

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Wurzel (Mathematik)