Beweisarchiv: Algebra: Halbgruppen: linksneutral und rechtsneutral

Eindeutiges neutrales Element

Voraussetzung

$H\$ sei eine beliebige Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen Element $e_{l}\$ und mindestens einem rechtsneutralen Element $e_{r}\$ .

Behauptung

Alle linksneutralen und rechtsneutralen Elemente in $H\$ stimmen überein und bilden das eindeutig bestimmte neutrale Element $e:=e_{l}=e_{r}\$ von $H\$ . D.h. $H\$ ist bereits ein Monoid.

Beweis

Wegen der Linksneutralität von $e_{l}\$ gilt $e_{l}e_{r}=e_{r}\$ und wegen der Rechtsneutralität von $e_{r}\$ gilt $e_{l}e_{r}=e_{l}\$ . Daraus folgt $e_{l}=e_{l}e_{r}=e_{r}=:e\$ .

Für jedes beliebige linksneutrale Element $e'_{l}\$ gilt $e'_{l}e_{r}=e_{r}\$ und wegen der Rechtsneutralität von $e_{r}\$ gilt $e'_{l}e_{r}=e'_{l}\$ , also $e'_{l}=e'_{l}e_{r}=e_{r}=e_{l}\$ . Somit ist $e_{l}=e\$ das einzige linksneutrale Element von $H\$ .

Für jedes beliebige rechtsneutrale Element $e'_{r}\$ gilt $e_{l}e'_{r}=e_{l}\$ und wegen der Linksneutralität von $e_{l}\$ gilt $e_{l}e'_{r}=e'_{r}\$ , also $e'_{r}=e_{l}e'_{r}=e_{l}=e_{r}\$ . Somit ist $e_{r}=e\$ das einzige rechtsneutrale Element von $H\$ .

Da $e=e_{l}=e_{r}\$ sowohl links- als auch rechtsneutral ist, ist $e\$ das eindeutig bestimmte neutrale Element von $H\$ .

Hinweise

Da von dem Assoziativgesetz, das für eine Halbgruppe gilt, beim Beweis kein Gebrauch gemacht wurde, gilt die Behauptung bereits für jedes Magma $H\$ . Die Behauptung kann demnach auch wie folgt formuliert werden:
- Ein Magma mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element.
- Eine Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element ist ein Monoid.
- Eine Quasigruppe mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element ist eine Loop.
Falls das Kommutativgesetz gilt, kann die Voraussetzung für die Behauptung wie folgt abgeschwächt werden:
- Ein kommutatives Magma mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element.
- Eine kommutative Halbgruppe mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element ist ein (kommutatives) Monoid.
- Eine kommutative Quasigruppe mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element ist eine (kommutative) Loop.

Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel)

Falls kein Rechtsneutrales vorhanden ist, kann es durchaus mehrere Linksneutrale geben. Bei der folgenden Halbgruppe ist sogar jedes Element linksneutral:

$H\$ sei eine beliebige Menge mit $x,y,z\in H\$ . Die Verknüpfung $\circ$ sei definiert durch