Beweisarchiv: Algebra: Halbgruppen: linksneutral und rechtsneutral

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente
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Eindeutiges neutrales Element

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Voraussetzung

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  sei eine beliebige Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen Element   und mindestens einem rechtsneutralen Element  .

Behauptung

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Alle linksneutralen und rechtsneutralen Elemente in   stimmen überein und bilden das eindeutig bestimmte neutrale Element   von  . D.h.   ist bereits ein Monoid.

Wegen der Linksneutralität von   gilt   und wegen der Rechtsneutralität von   gilt  . Daraus folgt  .

Für jedes beliebige linksneutrale Element   gilt   und wegen der Rechtsneutralität von   gilt  , also  . Somit ist   das einzige linksneutrale Element von  .

Für jedes beliebige rechtsneutrale Element   gilt   und wegen der Linksneutralität von   gilt  , also  . Somit ist   das einzige rechtsneutrale Element von  .

Da   sowohl links- als auch rechtsneutral ist, ist   das eindeutig bestimmte neutrale Element von  .

Hinweise

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  • Da von dem Assoziativgesetz, das für eine Halbgruppe gilt, beim Beweis kein Gebrauch gemacht wurde, gilt die Behauptung bereits für jedes Magma  . Die Behauptung kann demnach auch wie folgt formuliert werden:
    • Ein Magma mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element.
    • Eine Halbgruppe mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element ist ein Monoid.
    • Eine Quasigruppe mit mindestens einem linksneutralen Element und mindestens einem rechtsneutralen Element ist eine Loop.
  • Falls das Kommutativgesetz gilt, kann die Voraussetzung für die Behauptung wie folgt abgeschwächt werden:
    • Ein kommutatives Magma mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element hat ein eindeutig bestimmtes neutrales Element.
    • Eine kommutative Halbgruppe mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element ist ein (kommutatives) Monoid.
    • Eine kommutative Quasigruppe mit mindestens einem links- oder rechtsneutralen Element ist eine (kommutative) Loop.

Mehrere linksneutrale Elemente (Beispiel)

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Falls kein Rechtsneutrales vorhanden ist, kann es durchaus mehrere Linksneutrale geben. Bei der folgenden Halbgruppe ist sogar jedes Element linksneutral:

  sei eine beliebige Menge mit  . Die Verknüpfung   sei definiert durch

 

Diese Verknüpfung ist assoziativ, denn

 
 

Also liegt eine Halbgruppe vor, in der jedes Element linksneutral ist.

Wikipedia-Verweise

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